第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學(xué)期望第二節(jié)方差第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣第一節(jié)數(shù)學(xué)期望1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)=隨機(jī)變量的平均值：以概率為權(quán)數(shù)的隨機(jī)變量加權(quán)平均值.1).離散型隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱為期望，記為E(X)，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，形式上是X的可能值的加權(quán)平均數(shù).實(shí)質(zhì)上,它體現(xiàn)了X取值的真正平均.又稱E(X)為X的平均值，簡(jiǎn)稱為均值.

E(X)完全由X的分布所決定，又稱為分布的均值.數(shù)學(xué)期望E(X)描述隨機(jī)變量X取值的平均大小.上一頁(yè)下一頁(yè)返回例1.某種產(chǎn)品即將投放市場(chǎng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查估計(jì)每件產(chǎn)品有60%的把握按定價(jià)售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低價(jià)甩出.上述三種情況下每件產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為5元，2元和-4元.問(wèn)廠家對(duì)每件產(chǎn)品可期望獲利多少？解設(shè)X表示一件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位:元),X的分布律為X52-4P0.60.20.2X的數(shù)學(xué)期望:雖然,任一件產(chǎn)品投放市場(chǎng)都有虧損的風(fēng)險(xiǎn)，但每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為2.6元,還是有利可圖的。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

(1).兩點(diǎn)分布設(shè)X~b(1,p)，則X的分布律為X01Pqp0<p<1,q=1-p,3).常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望上一頁(yè)下一頁(yè)返回(2).二項(xiàng)分布設(shè)X~b(n,p)，其分布律為上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回

(4).均勻分布設(shè)X~U(a，b)，其概率密度函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回X+Y234P02/31/3到站時(shí)刻8:10,9:108:30,9:308:50,9:50p1/63/62/6X1030507090P3/62/61/363/362/36定理1.

設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，即Y=g(X),g(x)是連續(xù)函數(shù)。隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1).一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回證明設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,且y=g(x)滿足第二章定理2.2的條件,則隨機(jī)變量函數(shù)Y的概率密度為上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回X-1023p1/81/43/81/42).2維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)Z是隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù)，即Z=g(X,Y)，其中g(shù)(x,y)是連續(xù)函數(shù).上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回

特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則

例5：設(shè)圓的直徑X～U(a,b)，求圓面積的期望.上一頁(yè)下一頁(yè)返回定理2.

設(shè)隨機(jī)變量X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y)存在.3.隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回例6.將n封不同信的n張信箋與n個(gè)信封進(jìn)行隨機(jī)匹配，記X表示匹配成對(duì)數(shù)，求E(X).上一頁(yè)下一頁(yè)返回第二節(jié)方差(variance)上一頁(yè)下一頁(yè)返回

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上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.方差的性質(zhì)設(shè)隨機(jī)變量X與Y的方差存在，則上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差X01P1-pp上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回4).計(jì)算(i)若(X,Y)為2維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…,(ii)若(X,Y)為2維連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x,y),上一頁(yè)下一頁(yè)返回Y\X01011-p00p上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回由此可知：X,Y相互獨(dú)立＝＞X,Y不相關(guān)；但反之不成立.上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回由此可得：若(X,Y)服從2維正態(tài)分布，則X，Y相互獨(dú)立＜＝＞X，Y不相關(guān).上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回

3.矩的計(jì)算1).離散型設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為則k階矩k階中心矩2).連續(xù)型設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為則K階矩k階中心矩設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,···Xn)

的1+1階混合中心矩為n維隨機(jī)變量(X1,X2,···,Xn)的協(xié)方差矩陣.都存在，則稱矩陣協(xié)方差矩陣具有以下性質(zhì)：（1）協(xié)方差矩陣為對(duì)稱矩陣;（2）協(xié)方差矩陣為非負(fù)定矩陣.