2013年專題新概念型問題

一、中考專題詮釋

所謂“新概念”型問題，主要是指在問題中概念了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的?些概念、新運(yùn)

算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進(jìn)行理解，根據(jù)新概念進(jìn)行運(yùn)算、推

理、遷移的一種題型.“新概念”型問題成為近年來中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點(diǎn).在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視

學(xué)生應(yīng)用新的知識解決問題的能力

二、解題策略和解法精講

“新概念型專題”關(guān)鍵要把握兩點(diǎn)：一是掌握問題原型的特點(diǎn)及其問題解決的思想方法；

二是根據(jù)問題情景的變化，通過認(rèn)真思考，合理進(jìn)行思想方法的遷移.

三、中考典例剖析

考點(diǎn)一：規(guī)律題型中的新概念

例1（2012?永州）我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1,3,9,19,33,…

就是一個數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，

那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差.如2,4,6,8,10就

是一個等差數(shù)列，它的公差為2.如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前個數(shù)的差組成的新數(shù)列是

等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列.例如數(shù)列1,3,9,19,33,它的后一個數(shù)

與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2,6,10,14,…，這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以，

數(shù)列1,3,9,19,33,…是一個二階等差數(shù)列.那么，請問二階等差數(shù)列1,3,7,13,...

的第五個數(shù)應(yīng)是.

對應(yīng)訓(xùn)練

1.（2012?自貢）若x是不等于1的實(shí)數(shù)，我們把」一稱為x的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是

\—X

1=1,-1的差倒數(shù)為一1—=--現(xiàn)己知X尸-X2是XI的差倒數(shù)，X3是X,的差

1-21-（-1）23

倒數(shù)，X4是X3的差倒數(shù)....依次類推，則X2OI2=__________.

考點(diǎn)二：運(yùn)算題型中的新概念

b

例2（2012?荷澤）將4個數(shù)a,b,c,d排成2行、2列,兩邊各加一條豎直線記成

d

bx+11-X

概念=ad-bc,上述記號就叫做2階行列式.若=8,則x=

1-xx+1

對應(yīng)訓(xùn)練

2.（2012?株洲）若（xi，yi）?（X2，y2）=x（X2+yiy2>則（4,5）?（6,8）=

考點(diǎn)三：探索題型中的新概念

例3(2012?南京)如圖，A、B是。。上的兩個定點(diǎn)，P是。O上的動點(diǎn)(P不與A、B

重合)、我們稱NAPB是。O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角.

(1)已知NAPB是。O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角，

①若AB是。O的直徑，則/APB=°；

②若。O的半徑是1,AB=Q,求NAPB的度數(shù)；

(2)已知5是。01外一點(diǎn)，以5為圓心作一個圓與。01相交于A、B兩點(diǎn)，/APB是

上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動角，直線PA、PB分別交05于M、N(點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與

點(diǎn)B均不重合)，連接AN,試探索/APB與/MAN、NANB之間的數(shù)量關(guān)系.

對應(yīng)訓(xùn)練

3.(20⑵陜西)如果一條拋物線y=ax2+bx+c(a#))與x軸有兩個交點(diǎn)，那么以該拋物線的

頂點(diǎn)和這兩個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.

(1)“拋物線三角形”一定是___________三角形；

(2)若拋物線y=-x?+bx(b>0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值：

(3)如圖，AOAB是拋物線y=-x2+b，x(b>>0)的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為

對稱中心的矩形ABCD?若存在，求出過0、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說

明理由.

考點(diǎn)四：開放題型中的新概念

例4（2012?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點(diǎn)R（X1,y.）與P2（x2,y2）

的“非常距離”，給出如下概念：

若|X「X2以力切，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離''為IX1-X2I；

若Ixi-xjVlyiM，則點(diǎn)P,與點(diǎn)P2的“非常距離”為lyi-yd.

例如：點(diǎn)Pi（l,2）,點(diǎn)P2（3,5）,甌I1-3KI2-5I,所以點(diǎn)巴與點(diǎn)P2的“非常距離”為12-51=3,

也就是圖1中線段PQ與線段P?Q長度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P漫與垂直于

x軸的直線P?Q皴）.

（1）已知點(diǎn)A（-g,0）,B為y軸上的一個動點(diǎn)，

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；

3

（2）已知C是直線y=」x+3上的一個動點(diǎn)，

4

①如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0,1）,布C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐

標(biāo)；

②如圖3,E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”

對應(yīng)訓(xùn)練

4.（2012?臺州）請你規(guī)定一種適合任意非零實(shí)數(shù)a,b的新運(yùn)算“aab”，使得下列算式成立:

74

1?2=2?1=3,（-3）?（-4）=（-4）?（-3）=--,（-3）?5=5?（-3）=--?...

615

你規(guī)定的新運(yùn)算a?b=（用a,b的一個代數(shù)式表示）.

考點(diǎn)五：閱讀材料題型中的新概念

例5（2012?常州）平面上有兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O,且NBOD=150。（如圖），現(xiàn)

按如下要求規(guī)定此平面上點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”：

（1）點(diǎn)O的''距離坐標(biāo)''為（0,0）；

（2）在直線CD上，且到直線AB的距離為p（p>0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（p,0）；

線AB上，且到直線CD的距離為q（q>0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（0,q）；

（3）到直線AB、CD的距離分別為p,q（p>0,q>0）的點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”為（p,q）.

設(shè)M為此平面上的點(diǎn)，其“距離坐標(biāo)”為（m,n）,根據(jù)上述對點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”的規(guī)定，解決

下列問題：

（1）畫出圖形（保留畫圖痕跡）：

①滿足m=l,且n=0的點(diǎn)M的集合；

②滿足m=n的點(diǎn)M的集合；

（2）若點(diǎn)M在過點(diǎn)。且與直線CD垂直的直線1上，求m與n所滿足的關(guān)系式.（說明：

圖中01長為一個單位長）

留用圖

對應(yīng)訓(xùn)練

5.(2012?欽州)在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)(x,y),若規(guī)定以下兩種變換:

①f(x,y)=(y,x).如f(2,3)=(3,2)；

②g(x,y)=(-x,-y),如g(2,3)=(-2,-3).

按照以上變換有：f(g(2,3))=f(-2,-3)=(-3,-2),那么g(f(-6,7))等于()

A.(7,6)B.(7,-6)C.(-7,6)D.(-7,-6)

四、中考真題演練

一、選擇題

1.(2012?六盤水)概念：f(a,b)=(b>a),g(m,n)=(-m,-n).例如f(2,3)=(3,

2),g(-1,-4)=(1,4).則g［f(-5,6)］等于()

A.(-6,5)B.(-5,-6)C.(6,-5)D.(-5,6)

2.(2012?湘潭)文文設(shè)計了一個關(guān)于實(shí)數(shù)運(yùn)算的程序，按此程序，輸入一個數(shù)后，輸出

的數(shù)比輸入的數(shù)的平方小1，若輸入則輸出的結(jié)果為()

A.5B.6C.7D.8

點(diǎn)評：本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題意得出輸出數(shù)的式子是解答此題的關(guān)鍵.

3.(2012?麗水)小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律.圖1中棋子圍城三角形，其棵數(shù)

3,6,9,12,…稱為三角形數(shù).類似地，圖2中的4,8,12,16,…稱為正方形數(shù).下列

數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()

oOOOO

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圖1

A.2010

二、填空題

4.(2012?常德)規(guī)定用符號［m］表示一個實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：號］=0,［3.14］=3.按

此規(guī)定［伍+1］的值為.

5.(2012?隨州)概念：平面內(nèi)的直線4與4相交于點(diǎn)。，對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,點(diǎn)M

到直線4、4的距離分別為a、b,則稱有序非實(shí)數(shù)對(a,b)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)

上述概念，距離坐標(biāo)為(2,3)的點(diǎn)的個數(shù)是()

A.2B.1C.4D.3

6.(2012?荊門)新概念：［a,b］為一次函數(shù)y=ax+b(a/0,a,b為實(shí)數(shù))的“關(guān)聯(lián)數(shù)”.若“關(guān)

聯(lián)數(shù)的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則關(guān)于x的方程」一+'=1的解為.

x-1m

7.(2012?自貢)如圖，4ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧

CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C,如ftAB=1,那么曲線CDEF的長是.

8.(2012?泉州)在4人8(2中，P是AB上的動點(diǎn)(P異于A、B),過點(diǎn)P的直線截△ABC,

使截得的三角形與AABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的AABC的相似線，簡記為

P(lx)(x為自然數(shù)).

(1)如圖①，/A=90。，ZB=ZC,當(dāng)BP=2PA時，P(「)、P(12)都是過點(diǎn)P的4ABC

的相似線(其中h_LBC,L〃AC),此外，還有條；

(2)如圖②，ZC=90°,/B=30。，當(dāng)—=時，P(lx)截得的三角形面積

BA

為AABC面積的

4

圖①圖②

三、解答題

9.(2012?銅仁地區(qū))如圖，概念：在直角三角形ABC中，銳角a的鄰邊與對邊的比叫做角

a的余切，記作ctana,即ctana=j岬鄰巴=上，根據(jù)上述角的余切概念，解下列問

角的對邊BC

題：

(1)ctan30°=；

3

(2)如圖，已知tanA=二，其中NA為銳角，試求ctanA的值.

4

B

a

C

10.(2012?無錫)對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)Pi(X1,yi))P2(x2)y2)，我們把Ixi-xzl+lyi.l

叫做Pi、P2兩點(diǎn)間的直角距離,記作d(P“P2).

(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P(x,y)滿足d(O,P)=1,請寫出x與y之間滿足的關(guān)

系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形；

(2)設(shè)P。(xo,y0)是一定點(diǎn)，Q(x,y)是直線y=ax+b上的動點(diǎn)，我們把d(P0,Q)的

最小值叫做Po到直線y=ax+b的直角距離.試求點(diǎn)M(2,1)到直線y=x+2的直角距離.

11.(2012?廈門)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,3)、B(6,3),連接AB.如

果點(diǎn)P在直線y=x-l上，且點(diǎn)P到直線AB的距離小于1,那么稱點(diǎn)P是線段AB的“臨近點(diǎn)”.

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(1)判斷點(diǎn)C是否是線段AB的“臨近點(diǎn)”，并說明理由；

2,2、

(2)若點(diǎn)Q(m,n)是線段AB的“臨近點(diǎn)”，求m的取值范圍.

6-

----------------------------1--------i----------->

-10123456x

-1

12.(2012?蘭州)如圖，概念：若雙曲線y=8(k>0)與它的其中一條對稱軸y=x相交于

X

A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長度為雙曲線y=勺(k>0)的對徑.

X

(1)求雙曲線丫=L的對徑.

X

(2)若雙曲線y=&(k>0)的對徑是10后，求k的值.

X

(3)仿照上述概念，概念雙曲線y=-(k<0)的對徑.

x

13.(2012?紹興)聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.

概念：到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.

舉例：如圖1,若PA=PB,則點(diǎn)P為aABC的準(zhǔn)外心.

應(yīng)用：如圖2,CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，J1PD=-AB,求NAPB

2

的度數(shù).

探究：已知4ABC為直角三角形，斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA

的長.

圖1

14.(2012?嘉興)將AABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，

得△AB，C，，即如圖①，我們將這種變換記為田，nJ.

(1)如圖①，對aABC作變換［60。，6|得△ABC,則SAABSSAABC=;直線BC

與直線BC所夾的銳角為度；

(2)如圖②，AABC