常用統(tǒng)計分布第一頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/20231第一節(jié)超幾何分布

適用：小群體的兩分變量。假定總體為K個成功類、（N-K）個為失敗類

1.超幾何分布為離散型隨機變量的概率分布，它的數學形式是第二頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202322.超幾何分布的數學期望值和方差如果用，則有第三頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/20233

[例]以隨機方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個委員會，求該委員會中女性委員人數的概率分布、期望值與變異數。

[解]由題意可知：N＝8．K＝3，N―K＝5．n＝5，代入(8．1)式，故概率分布如下：

由，，代入(8．4)式、(8．5)式得（1）（2）X0123合計P=(X=x)1/5615/5630/5610/5656/56第四頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202343.關于超幾何分布的近似

設某校有l(wèi)000名大學生，其中有外國留學生10、名，現從該校學生中任抽2人，求抽到外國留學生的概率分布。

[解]抽到外國留學生人數X服從N＝1000、K＝10、n＝2的超幾何分布，根據(8．1)式得

第五頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/20235

由于＝0．002＜0．1，用二項分布近似

計算有，由(8．6)式得

兩種方法計算結果比較一下，僅在小數點后第5位上才出現誤差。當然在＞0．1時，如此計算誤差會比較大。另外，二項分布的計算量仍不算小，有時還可以將二項分布近似為泊松分布，這一點我們將在下一節(jié)討論。

第六頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/20236第二節(jié)泊松分布

適用：稀有事件的研究。一個事件的平均發(fā)生次數是大量實驗的結果，在這些試驗中，此事件可能發(fā)生，但是發(fā)生的概率非常小。

泊松分布亦為離散型隨機變量的概率分布，隨機變量X為樣本內成功事件的次數。若λ為成功次數的期望值，假定它為已知。而且在某一時空中成功的次數很少，超過5次的成功概率可忽不計，那么X的某一具體取值x（即稀有事件出現的次數）的概率分布為第七頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/20237泊松分布的性質：x的取值為零和一切正整數；圖形是非對稱的，但隨著的λ增加，圖形變得對稱；泊松分布的數學期望和方差均為λ。第八頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/20238

[例]某城市50天交通事故的頻數分布如表所示，試求泊松理論分布。X01234合計P0.44930.35950.14380.03830.00911.0000理論頻（50хPi)22.418.07.21.90.550.0一天交通事故數0123合計天數f23177350

[解]由資料知查泊松分布表，得理論分布

將實測頻數與理論頻數比較，可知題中所述稀有事件是滿足泊松分布的。

≥第九頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/20239第三節(jié)卡方分布卡方分布是一種連續(xù)型隨機變量的概率分布，主要用于列聯(lián)表檢驗。

1.數學形式設隨機變量X1，X2，…Xk，相互獨立，且都服從同一的正態(tài)分布N(μ，σ2)。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃藴收龖B(tài)變量Z1，Z2，…Zk，k個獨立標準正態(tài)變量的平方和被定義為卡方分布（分布）的隨機變量（讀作卡方），且我們把隨機變量的概率分布稱為分布，其概率密度記作。其中k為卡方分布的自由度，它表示定義式中獨立變量的個數。

第十頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202310

關于卡方分布的分布函數，附表7對不同的自由度k及不同的臨界概率α(0＜α＜1)，給出了滿足下面概率式的的值(參見圖)。注意寫法的含義：它表示自由度為k的卡方分布，當其分布函數

時，其隨機變量的臨界值(參見圖)。具體來說，在假設檢驗中，它表示在顯著性水平α上卡方分布隨機變量的臨界值。

第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202311[解]查卡方分布表(附表7)得

[例]試求下列各值：[例]已知k＝5，＝15，求臨界概率α。[解]查卡方分布表，在表中自由度為5的橫行中找到與15最接近的數值是15．086，得到α的近似值為0．01。由此可知≈0．01．

第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202312式中：σ2代表總體方差，自由度為n―l。

2.卡方分布的性質

(1)恒為正值。

(2)卡方分布的期望值是自由度k，方差為2k?？ǚ椒植既Q于自由度k，每一個可能的自由度對應一個具體的卡方分布。卡方分布只與自由度有關，這就給卡方分布的實際應用帶來很大方便。分布由正態(tài)分布導出，但它之所以與正態(tài)分布的參數μ和σ無關，是因為標準正態(tài)變量Z與原來的參數無關。

(3)卡方分布具有可加性

(4)利用卡方分布可以推出樣本方差S2的分布第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202313所以，樣本方差S2落在3．3和8．7之間的概率約為90％。

3.樣本方差的抽樣分布

[例]由一正態(tài)總體抽出容量為25的一隨機樣本，已知σ2＝6，求樣本方差S2在3．3到8．7之間的概率。

[解]已知n＝25，σ2＝6，由得

第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202314第四節(jié)F分布

F分布是連續(xù)性隨機變量的另一種重要的小樣本分布，可用來檢驗兩個總體的方差是否相等，多個總體的均值是否相等。還是方差分析和正交設計的理論基礎。

1.數學形式設和相互獨立，那么隨機變量

服從自由度為(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。

第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202315我們把隨機變量F的概率分布稱為F分布，其概率密度記作。本書附表8，對不同自由度(k1，k2)及不同的臨界概率α(0＜α＜1)，給出滿足下列概率式的Fα(k1，k2)的值(參見圖)。注意寫法的含義：它表示自由度為

(k1，k2)的F分布，當其分布函數

時，其隨機變量F的臨界值(參見圖)。具體來說，在假設檢驗中，它表示在顯著性水平α上F分布隨機變量F的臨界值。

第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日3/15/202316

[例]試求下列各值：

如果和

是兩個獨立隨機樣本的方差，樣本來源于具有相同方差σ2的兩個正態(tài)總體，樣本容量分別為n1和n2，那么根據(8．22)式，隨機變量F服從于自由度為(n1―1和n2―1)的F分布