第3章立體的投影與立體表面的交線

（時間：3次課，6學(xué)時）第3章立體的投影與立體表面的交線

本章要點及學(xué)習(xí)指導(dǎo)：

本章主要介紹常見立體在機械圖樣中表達，及其表面上點、線的作圖方法，以及常見立體被平面截切或兩立體相交的表達。通過本章的學(xué)習(xí)，要求讀者掌握棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和球的投影特性，以及在其表面取點、線的方法；掌握用特殊位置平面截切立體截交線的作圖方法；掌握兩軸線正交回轉(zhuǎn)體相貫線的作圖方法。第3章立體的投影與立體表面的交線

案例導(dǎo)入：

在工業(yè)生產(chǎn)中，零件都可以分解成一些基本立體的組合，空間平面與立體、相交、立體與立體相貫，會在立體表面形成截交線或相貫線，已知空間幾何體的一組各不完整的視圖，利用投影原理，得出空間立體表面的截交線和相貫線形狀。3.1立體的投影3.2平面與立體表面的交線3.3立體表面的相貫線本章實訓(xùn)利用投影關(guān)系解決空間立體問題思考題第3章立體的投影與立體表面的交線

3.1立體的投影3.1.1平面立體的投影3.1.2曲面立體的投影3.1立體的投影本節(jié)分別介紹平面立體投影和曲面立體投影。

3.1.1平面立體的投影

平面立體的各表面都是平面多邊形，稱為棱面(也叫側(cè)面)，棱面的交線稱為棱線(也叫側(cè)棱)，棱線的交點稱為頂點。繪制平面立體的投影實際上是繪制圍成平面立體各個多邊形的投影。平面立體表面由直線段組成，而每條線段又由其兩端點確定，因此，繪制平面立體的投影又可歸結(jié)為繪制平面立體各頂點的投影。3.1.1平面立體的投影

1.棱柱棱柱由上下兩個平面和若干棱面圍成。棱線與底面垂直，頂面和底面為正多邊形的棱柱稱為正棱柱。3.1.1平面立體的投影

2.棱錐棱錐由一個底面和若干共頂點(該點稱為錐頂點)的三角棱面所圍成。如果棱錐的底面是一個正多邊形，而且頂點與正多邊形底面的中心連線垂直該地面，這樣的棱錐稱為正棱錐，正棱錐的各側(cè)面是全等的等腰三角形。3.1.2曲面立體的投影

工程中常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體。由直線或曲線以定直線回轉(zhuǎn)一周后所形成的曲面，產(chǎn)生曲面的動線稱為該曲面的母線，母線在曲線上的任何一個位置都稱為素線，母線上任一點的軌跡是圓稱為緯圓，定直線稱為軸線。畫曲面立體投影一般應(yīng)畫出各方向的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影和回轉(zhuǎn)軸線的三面投影。轉(zhuǎn)向輪廓線就是曲面立體向某一投影面投影時，可見面與不可見面的分界線。3.1.2曲面立體的投影

1.圓柱圓柱表面由圓柱面、頂面和底面組成，圓柱面由一母線繞與之平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。1)圓柱的投影(1)投影分析：在與頂、底面平行的投影面(H面)上的投影為圓，圓周是圓柱面的投影，具有積聚性。在另外兩個投影面(V、W面)上的投影是完全相同的矩形線框，上下底邊是圓柱頂、底面的積聚投影，左、右、前、后邊線是圓柱面最左、最右、最前、最后邊線的投影，也是圓柱面最左、最右、最前、最后的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。3.1.2曲面立體的投影

2.圓錐圓錐的表面是由圓錐面和底圓平面所組成的。圓錐面是一母線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成的。如圖3-10(a)所示，圓錐面上任一素線都匯交于錐頂。1)圓錐的投影(1)投影分析：按圖3-10(a)放置圓錐，底圓平面為水平面，其水平投影為一圓線框，反映實形，其正面投影和側(cè)面投影積聚為一直線段，且與相應(yīng)的投影軸平行，直線段長度等于底圓直徑。由于圓錐面上全部素線都與軸線相交，故圓錐面的三面投影都沒有積聚性，其水平投影為圓面，它的正面投影和側(cè)面投影為大小相同的等腰三角形。(2)畫圖步驟：①畫軸線、圓的中心線。②從反映形體特征的H面投影入手，畫圓。③畫其他兩個視圖的投影，如圖3-10(b)所示。3.1.2曲面立體的投影

3.1.2曲面立體的投影

3.圓球圓球的表面是球面，它是一個圓母線繞其直徑旋轉(zhuǎn)形成的，如圖3-14(a)所示。1)圓球的投影圓球的各個投影都沒有積聚性，三個投影均為圓，圓的直徑等于圓球的直徑。圓球的三面投影是球面上的三條轉(zhuǎn)向輪廓線的投影，也是球面上平行于相應(yīng)投影面的最大圓的投影，如圖3-14(b)所示3.1.2曲面立體的投影

3.1.2曲面立體的投影

2)圓球表面上的點、線位于球面上的特殊位置點(轉(zhuǎn)向輪廓線上的點)，其投影可以直接求出。一般位置點可利用輔助圓法求解。如圖3-15所示，已知球面上的點M的正面投影a、(b)，求其他兩面投影a'、a"和b'、b"。投影分析：點A位于左側(cè)正上方球面上，為特殊位置點，可直接在轉(zhuǎn)向線上求解；B位于球的下半球右側(cè)靠后的位置，是一般位置點，需要通過輔助圓的方法求解。作圖步驟：過(b')作正平圓的正面投影與圓球正面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線交于1'、2'，則1'2'為所作正平圓的直徑，點B的水平投影必在正平圓的水平投影上，按投影規(guī)律可求出點B的水平投影b'，再根據(jù)投影規(guī)律，由m、m'

可求出點B的側(cè)面投影b"。3.1.2曲面立體的投影

圖3-15圓球表面上的點

3.1.2曲面立體的投影

圓球表面上線的投影分析與圓柱表面上線的投影分析相同，其線上的點求法與上述同，這里不再講述，請讀者自行分析圖3-16。3.1.2曲面立體的投影

圖3-16圓球表面上的線

3.2平面與立體表面的交線3.2.1平面立體的截交線3.2.2曲面立體的截交線3.2平面與立體表面的交線平面與立體相交，可以設(shè)想為用平面切割立體，用來切割立體的平面稱為截平面；截平面與立體表面的交線稱為截交線；截交線圍成的平面圖形成為截斷面，俗稱切口。工程上常有一些立體被一個或幾個平面切去一部分的情況。如圖3-18所示3.2平面與立體表面的交線3.2平面與立體表面的交線1.截交線的一般性質(zhì)(1)共有性。截交線既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面的共有點，這些點的連線就是截交線。(2)封閉性。由于任何立體都有一定的范圍，又在截平面上，因此截交線是一個封閉的平面圖形。3.2平面與立體表面的交線2.求截交線的方法求截交線實質(zhì)就是求截平面與立體表面的共有點的集合，一般可以從截平面和基本立體的投影特點想象被切割立體的空間形狀以及被切割以前的基本體形狀。然后求作截交線上特殊位置點和一般位置點的投影并判別可見性，最后將這些點光滑連線。3.2.1平面立體的截交線

平面立體的截交線是一個平面多邊形，此多邊形的頂點是截平面與平面立體棱線的交點，多邊形的邊線是截平面與平面立體表面的交線。所以求棱面與平面立體表面的交線可歸結(jié)為求棱線與截平面的交點(線面交點法)和平面與截平面的交線(面面交線法)。3.2.2曲面立體的截交線

曲面立體的截交線一般情況下是平面曲線或平面曲線與直線組成的封閉圖形，特殊情況下是由直線段組成的封閉圖形。求曲面立體的截交線，需要求出截交線上足夠共有點的投影，然后依次連接即可求出截交線的投影。求共有點時，應(yīng)先求作截交線上特殊點(如最高、最低、最上、最下、最左、最右、拋物線或雙曲線的頂點、橢圓的長短軸的端點等)的投影，再按素線法或緯圓法求出一般位置點的投影。3.2.2曲面立體的截交線

1.圓柱的截交線截平面與圓柱軸線的相對位置不同，其截交線有三種情況，如表3-1所示。3.2.2曲面立體的截交線

3.2.2曲面立體的截交線

2.圓錐的截交線截平面與圓錐軸線的相對位置不同，其截交線有五種情況，如表3-2所示。3.2.2曲面立體的截交線

3.2.2曲面立體的截交線

3.圓球的截交線平面與球相交，截交線都是圓。如果截平面是投影面的平行面，在該投影面上的投影為圓的實形，其他兩投影積聚成直線，長度等于截交圓的直徑，如圖3-22(a)所示。當(dāng)截平面平行于投影面時，圓截交線在該投影面上的投影為直線，長度等于截交圓的直徑，其他兩個投影為如圖3-22(b)所示橢圓。當(dāng)截平面傾斜于投影面時，圓截交線在該投影面上的投影為橢圓。3.2.2曲面立體的截交線

3.2.2曲面立體的截交線

3.2.2曲面立體的截交線

3.3立體表面的相貫線3.3.1概述3.3.2兩平面立體相貫3.3.3平面立體與曲面立體相貫3.3.4兩曲面立體相貫3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注3.3.1概述

工程中的物體常常會出現(xiàn)立體相交的情形，如圖3-24所示。兩基本立體表面相交也稱相貫，所產(chǎn)生的立體表面交線稱為相貫線。3.3.1概述

3.3.1概述

1.相貫線的性質(zhì)由于組成相貫線的兩回轉(zhuǎn)體的形狀、大小和相對位置不同，相貫線的形狀也不相同，但任何相貫線均具有下列基本性質(zhì)。(1)共有性。相貫線是由兩相貫體表面上一系列共有點組成的，這些共有點的集合即為兩立體表面的共有線，也是立體表面的分界線。(2)封閉性。由于立體具有一定的范圍，所以相貫線一般都是封閉的空間曲線，在特殊情況下可以由平面曲線或直線段組成。當(dāng)兩立體表面處于同一平面上時，兩表面在此平面部位上沒有共有線，即相貫線是不封閉的，如圖3-26所示。3.3.1概述

3.3.1概述

2.求相貫線的方法求相貫線，實質(zhì)就是求相貫線上一系列共有點的投影，求作相貫線上特殊位置點和一般位置點的投影并判別可見性，最后將這些點光滑連線。作圖方法通常采用積聚性法和輔助平面法。3.3.2兩平面立體相貫

兩平面立體相貫一般情況下是封閉的空間折線每段折線，是兩平面立體上相交的兩個棱面的交線，折線上的點是棱線與棱面的交點。因此，求兩平面立體相貫線的方法有以下兩種。(1)面面交線法——求各相交棱面的交線。(2)線面交點法——求各相交棱線與棱面的交點。3.3.3平面立體與曲面立體相貫

平面立體與曲面立體相貫，其相貫線一般情況下是由平面曲線或平面曲線和直線所組成的空間封閉線框。每段平面曲線或直線段是平面立體上一個棱面與曲面立體相交的截交線；相鄰兩段平面曲線的交點或相鄰的曲線與直線的交點，是平面立體的棱線與曲面立體的交點。因此，求平面立體與曲面立體的相貫線，實質(zhì)就是求平面立體與曲面立體的截交線和直線與曲面的交點。3.3.4兩曲面立體相貫

1.利用積聚性作圖當(dāng)相貫的兩個立體中至少有一個為具有積聚性時，則相貫線的這個投影必在這個曲面積聚的投影上為已知，可以利用積聚性(也稱為表面取點法)求作相貫線。3.3.4兩曲面立體相貫

2.利用輔助平面法作圖圓錐面或圓球面的三個投影均沒有積聚性，其相關(guān)線不能用積聚性直接求出，采用輔助平面法求解更為方便。3.3.4兩曲面立體相貫

3.兩曲面立體相貫的特殊情況兩回轉(zhuǎn)體的相貫線一般是封閉的空間曲線，特殊情況下相貫線可能是直線或平面曲線。3.3.4兩曲面立體相貫

4.相貫線的簡化畫法在不致引起誤解時，圖形中的相貫線可以簡化成圓弧或直線。當(dāng)軸線正交且平行于正面投影面的兩圓柱相貫，相貫線的正面投影可以用與大圓柱半徑相等的圓弧來代替。圓弧的圓心在小圓柱的軸線上，圓弧通過正面投影轉(zhuǎn)向線的兩個交點，并凸向大圓柱的軸線，如圖3-37所示。3.3.4兩曲面立體相貫

3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

視圖中的尺寸是加工、繪圖、讀圖的主要依據(jù)，本節(jié)在平面圖形尺寸注法的基礎(chǔ)上進一步學(xué)習(xí)幾何體的尺寸標(biāo)注。3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

1.平面立體的尺寸標(biāo)注平面立體一般應(yīng)注出長、寬、高3個方向的尺寸。正方體的尺寸可以采用“邊長×邊長”或“□邊長”的形式注出。棱柱、棱錐及棱臺需要標(biāo)注出決定頂面和底面形狀的尺寸和高度尺寸，根據(jù)需要可有不同標(biāo)注方法，如標(biāo)出六邊形的對角距或?qū)吘啵鐖D3-39所示。3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

2.回轉(zhuǎn)立體的尺寸標(biāo)注對于回轉(zhuǎn)體圓柱和圓錐應(yīng)標(biāo)出底圓直徑和高度；圓錐臺還應(yīng)加注頂圓直徑，一般標(biāo)注在非圓視圖上。這種標(biāo)注可以用一個視圖確定其形狀和大小。圓球在直徑數(shù)字前加注“”，也用一個視圖表達球體，如圖3-40所示。3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

3.截交體的尺寸標(biāo)注當(dāng)基本體被平面截斷后，標(biāo)注尺寸時，除了要標(biāo)注基本體的大小尺寸外，還要注意標(biāo)注切口、穿孔的大小尺寸和定位尺寸。基本體截切后的尺寸注法如圖3-41所示。3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

4.相貫體的尺寸標(biāo)注當(dāng)幾個基本體相交在一起時，除了要標(biāo)注幾個基本體的大小尺寸外，還要標(biāo)注基本體間的定位尺寸。基本體相交后的尺寸注法如圖3-43所示。3.3.5基本立體的尺寸標(biāo)注

本章實訓(xùn)利用投影關(guān)系解決空間立體問題

1.如圖3-44(a)所示，已知正三棱錐的正面投影，完成其水平投影和側(cè)面投影。分析：正三棱錐被水平面P和正垂面Q兩個相交的截平面切割，水平面P和正垂面Q都與正棱錐的前后兩個側(cè)面相交，各得兩條交線，兩個截平面相交也有一條線，因此，截交線為兩個三角形。截交線的正面投影具有積聚性，關(guān)鍵是求出水平投影和側(cè)面投影。本章實訓(xùn)利用投影關(guān)系解決空間立