高級微觀經(jīng)濟學課本：參考書:AiidreuMas-Colell,MichaelD.Wliinstonand

JeriyR.Green,1995，MicroeconomicTheory,OxfordUniversityPress；中譯本：？微觀經(jīng)士理

論?，經(jīng)濟科學出版社DavidKieps,1992,HalVariaibMicroeconomicAnalysis,中譯本，EugeneSilberbergandWingSun,2000，The

StructureofEconomics:aMathematicalAnalysis,

3rdedition,McGraw-HillHigherEducation第一章：消費理論〔關(guān)于消費者的行為研宄理論。其研究

方法有兩種，其一是古典需求理論或者說偏好理論；其二

是顯示偏好理論）根本概念偏好關(guān)系和效用函數(shù)消費者的優(yōu)化問題間接效用函數(shù)和支出最小化需求的特征、根本概念1、選擇集（消費集合）X定義：所有可能的〔能實現(xiàn)的和不能實現(xiàn)的）消費〔選擇）方案x的集合。消費方案X:

商品：1）商品數(shù)量無限可分：X'R，商品數(shù)量是連續(xù)的。2）商品數(shù)量非負:xiGR辛3）商品種類為：n消費方案〔選擇方案，消費束）：x=（A\）eX=R：特征：1、 非空集否那么沒有研究意義）2、 X閉集〔連續(xù)性）3、 凸集4、 包含原點：OeX〔消費者可以選擇不消費，這也是

選擇集合的下限）=K:選擇集X02、可行集B〔可選擇的消費朿）：制度約束、經(jīng)濟約束等限制之后仍保存下來的消費集合。可行集B3、 偏好關(guān)系〔指在同一消費集中，兩個消費束哪個更受

消費者偏好。）4、 行為假設(shè)Theconsumerseekstoidentifyandselectailavailable

alternativethatismostpreferredinthelightofliispersonal

tastes.在各種能夠?qū)崿F(xiàn)的消費方案中，消費者選擇他最偏好的

消費方案。二、偏好關(guān)系和效用函數(shù)Debreu(1959)1、偏好關(guān)系、關(guān)系、兩元關(guān)系、兩元關(guān)系>?的定義：定義在消費集X上，反映X中任

意兩個點之間的關(guān)系：X1?X2GX,如果有Xj>x2,那么對

該消費者而言，“\至少和\一樣好"，或者，“在\和\之

間，消費者弱偏好、偏好公理(實際上界定了消費者的理性狀態(tài)。)

④⑤⑥公理一：完備性公理:對于選擇集X中任意的兩個要素X1和

x2,有x1>x2或x2>—x1含義：?消費者能夠做出選擇?消費者具有無限的認知能力?消費者具有無限的判斷能力公理二：傳遞性公理：對于選擇集X中任何的三個要素X1、

x2和x3,如果x1卜?x2和x2>?x3,那么有x1>?x3。含義：?消費者的選擇具有一致性?保證了消費者能夠選擇一個最偏好的商品組合

偏好關(guān)系?〔弱）偏好關(guān)系：消費集X上的兩元關(guān)系，如果滿足公

理一和公理二，就是偏好關(guān)系。理性偏好：公理一+公理二理性偏好意味著消費者能夠完整地給消費集X中任何有限數(shù)目的要素排序，從最壞到最好，可能有些要素相同。

利用（弱）偏好關(guān)系，我們可以得到其它兩個重要的偏

好關(guān)系：即嚴格偏好關(guān)系和無差異偏好關(guān)系。

?嚴格偏好關(guān)系＞:x1〆x2ox1卜?x2且x2/?x1?無差異關(guān)系?：x1?x2ox1^-x2_S.x2＞?x1

注意：嚴格偏好關(guān)系與無差異關(guān)系并不具有完備性。有了這兩個互補關(guān)系，那么對任何一對xW2,三

種互相排斥的可能性中只有一種存在：X1^又2或X1 或者X1弋X2x2為了建立偏好關(guān)系與效用函數(shù)之間的關(guān)系，在理性偏好公

理的根底上，還要對偏好做出性質(zhì)上的其它假設(shè)。

公理三：連續(xù)性公理：對于選擇集中的任何元素X，

卜x和在中為閉集?！财藐P(guān)系的連續(xù)性排除了消費者行為的不連續(xù)性即跳

躍性。該公理也可以表述為：如果一個消費序列

中的每一個消費束都至少和另一個消費束一樣

好，那么該消費束的極限也應(yīng)至少好于那個消費

束。便好關(guān)系的連續(xù)

性排除了無差異曲線的開區(qū)間。無差異曲線是上

面兩個閉集的交集，故還是閉集。同時也意味著嚴格偏好集是一個開集。）公理四‘：局部非飽和性公理：對于任何x°gR：,f>0,始終存在著某個xe^(x°)nK：，<x^x°o含義：不存在任何消費朿令消費者到達滿足的極限，總有更為偏好的消費束存在。)局部非飽和性使得與V無差異的消費集是一個(n-l)為空間，在二維空間中表現(xiàn)為一條直線。公理四：嚴格單調(diào)性公理：對于所有的如果

x°>x1,有x°>—x1；如果x°^xl9那么x°>x*含義:?多多益善（如果消費束X°的每一種商品至少和X1—樣多，那么X"至少和X1—樣好；如果消費

束X。的每一種商品至少和X1—樣多，且X。至少

有某一個商品嚴格地多于X，相應(yīng)的商品，那么

”嚴格偏好X門嚴格單調(diào)性公理使得與X。無差異的消費集一定是一條向下傾斜的直線。）X1由公理4可以推出公理3,但反之不行。公理五：凸性定理：如果x1^?那么，對于所有的

rg[0,1],有rx1 ＞?x0。公理五：嚴格凸性定理：如果x^x^x1^x°,那么，對于所有的?G(O,l),有tX[+(l-Z)X°9x°X1凸性但非嚴格凸性x°A1嚴格凸性含義：?平均優(yōu)于極端?邊際替代率遞減它排除了無差異曲線向原點凹的局部。義2MRS遞減2不變和MM上升效用函數(shù)由于偏好關(guān)系不便于進行數(shù)理推導，人們希望采用效

用函數(shù)來代表偏好關(guān)系，從而簡化消費者理論的分析。一

個效用函數(shù)被定義為：定義代表偏好關(guān)系>的效用函數(shù)定義：實值函數(shù)U:R:4R，如果對于所有的x0,x*gR：,

那么該函數(shù)被稱為反映偏好關(guān)

系>的效用函數(shù)?！布矗喝绻粋€效用函數(shù)分派一個較大的數(shù)給所偏好的消

費束，那么該函數(shù)那么代表了一個消費者的偏好關(guān)系。）

從數(shù)學上，此問題便是代表偏好關(guān)系的一個連續(xù)效用函數(shù)的存在性問題。人們可以證明：任何一個具備完備性、傳遞性與連續(xù)性的二元關(guān)系才能夠被用一個連續(xù)實值函數(shù)來表達?？纱?/p>

表性并不依賴于凸性或單調(diào)性。但為了證明的簡化，我們

加上單調(diào)性。定理1.1:代表偏好關(guān)系的實值函數(shù)的存在性如果二元關(guān)系t是完備的、可傳遞的、連續(xù)的及嚴格單調(diào)的，那么，必存在一個連續(xù)的實值函數(shù)^M代表偏好關(guān)系定理1.2:效用函數(shù)對正的單調(diào)轉(zhuǎn)換的不變性令＞是心上的一個偏好關(guān)系，并設(shè)。(4是一個代表此偏好關(guān)系的效用函數(shù)。對于每個X，當且僅當v(x)=/(^))-一這里f??R^，在由〃⑺所確定的值集上是嚴格單調(diào)遞增的，那么也代表偏好關(guān)系。定理1.3:偏好性質(zhì)與效用函數(shù)令七是7^上的一個偏好關(guān)系，并設(shè)〃（勾是一個代表此偏

好關(guān)系的效用函數(shù)，那么：1、 當且僅當t是嚴格單調(diào)的，是嚴格遞增的；2、 當且僅當^是凸的，是擬凹的；3、當且僅當t是嚴格凸的，是嚴格擬凹的。111/（x9 H（X2） W（X5）+O0消費者選擇消費者選擇能夠支付得起的最優(yōu)商品組合?！爸Ц兜闷?一一預算集“最優(yōu)"一一偏好關(guān)系預算集：B=|x|xgK^,px<y,P?o,>o}■消費者從預算集中選擇最偏好的商品組合〔點）X':

x*GB，且對于所有的xeB，有x*卜X?！鱿M者從預算集中選擇最大化效用函數(shù)的點=argmaxw(x)，JJ"(今"(X)px<y消費者的問題:maxxeB此最大化問題是否有解:是否有唯一解：定理Al.10：極值的存在性定理設(shè)是非空緊集，是連續(xù)的實值映射，那么

存在向量xG5和向量SeS，對于所有的XC5,有

/(x)</(x)</(x)證明：M(X)連續(xù)B={x|xeR^,px<y,p?0,,y>0}：非空、閉集、有界集定理A2.14：目標函數(shù)嚴格擬凹消費者的問題:maxxgBpx<y的解:馬歇爾需求函數(shù)x*=x(p,y)1、兩維空間：預算線和無差異曲線之間的關(guān)系相交O相

切O不相交預算線與無差異曲線相切:預算線的斜率：一也Plz/v無差異曲線的斜率：MRS=^=

dx{_Pr=MRS=d^

Pl d\解得馬歇爾需求函數(shù)X=x(p,y)MU,MU2MU{—MU'2、假設(shè)效用函數(shù)連續(xù)可導，可以用拉格朗日方法求消費者問題的解:maxxeBpx<y〔1)、根據(jù)偏好關(guān)系的嚴格單調(diào)性定理，約束條件必然為

px=＞：預算平衡性定理構(gòu)造拉格朗曰函數(shù)：L(x,A)=w(x)+A(＞，-px)一階條件:Lz(x,A)=y-px=O

▽L(x，A)=Vw(x)+Ap=0二階條件：加邊海賽矩陣為負半定解得馬歇爾需求函數(shù)x'=x(p，y)〔2)、不等約束條件下的極值Kulm-Tucker定理:

構(gòu)造拉格朗曰函數(shù)：L(x,2)=w(x)+^(y-px)

L-(x,/)=y-px>0一階條件：<2(y-px)=0[vL(x,2)=Vw(x)-/lp=0二階條件：加邊海賽矩陣為負半定解得馬歇爾需求函數(shù)x*=x(p,y)例題：消費者的效用函數(shù)為= 求馬歇爾需求函數(shù)。解：設(shè)商品1和商品2的價格分別為Pi，p2〉0,消費者收入為y>0o消費者的決策為：maxu(x[.x2)=x^x[~a以.，+p2x2=y構(gòu)造拉格朗日函數(shù):屯，.r2，A)= 2[y-M-p2A-2]最優(yōu)解滿足一階條件:叫七，氣，A) 心"一口，A =ax{x2—Zpj=0

6xy叫-W^)=M<-aL卻2=0

SxYPi\+p2x2=y解得馬歇爾需求函數(shù)：A(A，/W)=ai

PiyX2(Pl^2^)=(1-^)^Pl消費者的最大效用為:y間接效用函數(shù)為:m^xu^x{,x2定理1.5馬歇爾需求函數(shù)x（P，y）的可導性：作用：比擬靜態(tài)分析一一參數(shù)或模型結(jié)構(gòu)的變化對模型解

的影響 _價格變化或收入變化導致的解的變化：

奴’（p，y）或加’（P，y）設(shè)x*（p,y）是消費者最大化問題的解，需求函數(shù)可導性的條

件是：效用函數(shù)二階可導某些或全部商品的邊際效用大于零效用函數(shù)的海賽加邊矩陣有非零行列式間接效用函數(shù)直接效用函數(shù)：M(x)間接效用函數(shù)：v（p，y）=maXw（x）s.t.px<yv（p，y）=“（x’=x（p，y））間接效用函數(shù)的特征:間接效用函數(shù)1） 在R：+xR+上連續(xù)2） 在上零階齊次性3） 在＞，上嚴格遞增4） 在p上嚴格遞減5） 在（p，J）上擬凹羅伊恒等式：如果y(p9y)在上可導，并且間接效用函數(shù)v(p,y)= w(x)s.t.px<y的特征X1、間接效用函數(shù)在K：+xR+上連續(xù)p.505最大值定理：如果目標函數(shù)和約束條件在參數(shù)上連

續(xù)，定義域為緊集，那么值函數(shù)在參數(shù)上連續(xù)。2、間接效用函數(shù)在上零階齊次性v（P，y）=間接效用函數(shù)在（P,>，）上零階齊次性：v（rp，f>’）=?ov（p，），）=v（p，>’），？>0=v（P，），）s.t.tpx=tys.t.pxy3、間接效用函數(shù)v(p，y)在y上嚴格遞增應(yīng)用包絡(luò)定理：構(gòu)造拉格朗曰函數(shù)L(x，2)=w(x)+A(y-px)根據(jù)包絡(luò)定理，A的符號?8y Sy(5L(x,A) ^w(x) y)=—-An.=0=>2>0^—-^=A>0

dx； 6x. o dyl i ?APi9>0>05、間接效用函數(shù)v(p，y)在價格上遞減設(shè)價格向量p1>p2?求證v(p2,y)ma\(x), 戶最優(yōu)解Xb{V(P、’卜(Xl)x 1 P、1=yp1>p2=>p2x!<p!x!=y=>x!g5=(xxeR^?p2x<v(p2,y)=w(x2)>w(x)px2=ymaXw(x),p2x<y=>最優(yōu)解x2=>v(p\y)=w(x2)>w(x1)=v(p\y)6、間接效用函數(shù)v(p,>)在(p,>，)上擬凸定理A1.18：擬凸性和劣集〔quasiconvexityandinferiorsets)

當且僅當對于所有的jgR,劣集以)0是凸集，函數(shù)

f：D^R是擬凸函數(shù)。劣集/(y)的定義：/(y)={x|xe￡),/(x)<

證明間接效用函數(shù)v(p,y)在(P,>9上擬凸，只需證明其劣集

/(A:)=|(p,y)peR"eR+,v(p,y)<k,ker|為凸集。

在/⑷中選兩點，設(shè)v(p',y1)</:,v(p2,y2)</:,取

(pW^rp'+G-OpW+G-O/)，我們要證明v(p\y)<)lo也就是說，對于任何滿足pxr<yT的最優(yōu)解

/，我們得證明。px'</^p'x,+(l-r)p2xf<ry'+(l-r)y2三種可能性：p!xr<y[3w(x')Sv(/?，y1)<A:p2x’<y2p1^<y1和p2x'Sy26、間接效用函數(shù)v（p，y）例題:證明v（p，y）aappya+p(a+戶廣PW滿足間接效用函數(shù)的特征支出函數(shù)給定價格p實現(xiàn)某一效用水平《所需的最小支出：millpx,s.t.,u[x)>u

X最優(yōu)解為?？怂剐枨蠛瘮?shù)(p,?)，最小支出為px"(p,M)支出函數(shù)^:K：+xR^R為：a(p，w)=pxA(p，a)，min=px，s.t.,w(x)>uxhejxxe]R:，w(x)>u.ue1R+，幺px，兩元空間支出最小化：e（P，w）=P^A（A，尸2，w）+PlX2（A，A，w）minAA（/W2，W）+P2A（A，W），?？怂剐枨蠛瘮?shù)（補償需求函數(shù)，或?qū)嶋H收入不變的需求

函數(shù)）：效用函數(shù)《00嚴格單調(diào)遞增，所以有唯一的無差

異曲線與W相對應(yīng)，因此可以把所要實現(xiàn)的效用水平W寫作w(Z)omill ,、px，s.t.,u^x)>u可以寫為：min ,、f、px,-X支出函數(shù)可以表述為在給定價格P下，實現(xiàn)消費束又所帶來的效用，所需的最小支出。實際購置力用商品數(shù)量表示，所以支出函數(shù)又可以表述為在給定價格P下，實現(xiàn)實際購

置力S所帶來的效用，所需的最小支出。因此，?？怂剐?/p>

求函數(shù)又可以稱為“實際購置力固定的需求函數(shù)"。在效用最大化中，貨幣收入不變，馬歇爾需求函數(shù)又被稱

為“貨幣收入固定的需求函數(shù)"。支出函數(shù)e(p,u)的特征在w取最低效用水平時，支出函數(shù)e(^u)為零在定義域上連續(xù)對于所有的p》0,支出函數(shù)在W上遞增并且無上界4.5.6.7.在價格P上遞增在價格P上一階齊次性在價格P上為凹函數(shù)如果效用函數(shù)嚴格擬凹，有謝菲爾德引理:dPi證明：1、在W取最低效用水平時，w取最低效用水平：u=w(0),

支出函數(shù)^(p,w)=px=pO=O支出函數(shù)e(p^)為零即x=02、在定義域上連續(xù)3、對于所有的p》0,支出函數(shù)在W上遞增并且無上界Mp,“)3u>0根據(jù)包絡(luò)定理:拉格朗曰函數(shù)：L(x，A)=px+2(w-w(x))Mp，w)6xi戶(m=a_產(chǎn)w=()〔一階條件〕Sxi >0 >05xiy~V_?>0&(p，w)叫x，A) = =z8u du4、在價格p上遞增Mp,“)5Pi>05、在價格p上一階齊次性小p，w）記（P，w）6、在價格p上為凹函數(shù)固定效用為L取價格P'，P>W，p"=ap'+(l-a)p\設(shè)在價格為P"時最優(yōu)解為X，支出函數(shù)為e(pm,w)=pmx=ap'x+(l-a)p"x>ae(p,u)+(l-a)e(p\u)7、如果效用函數(shù)嚴格擬凹，有謝菲爾德引理:根據(jù)包絡(luò)定理例子：消費者的效用函數(shù)為= 求?？怂剐枨蠛瘮?shù)和支出函數(shù)。角軍：p{XY+p2X25J?，U（X{,X2）=X^X^a>U

?W2構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，利用一階條件，解得?？怂剐枨蠛瘮?shù):\1-aW,aPi、(i-a)AJ"(l-a)A丫Oi，p2,十%2(A^2^)=aPi；e(A，W)=[a-a(l-a)_|1_a|馬歇爾需求函數(shù)與?？怂剐枨蠛瘮?shù)的關(guān)系：Supposethatw(*)isacontinuousutilityfiinction

representingalocallynonsatiatedpreferencerelation

definedontheconsumptionsetX=andthepricevector

isp》0.WehaveIfxisoptimalintheutilitymaximizationproblemwhen

wealthisy〉0，thenx*isoptimalintheexpenditure

minimizationproblemwhentherequiredutilitylevelisMoreover,theniininiizedexpenditurelevelillthis

expendituremininiizatioiiproblemisexactlyy.ifx*isoptimalintheexpenditureminimizationproblem

whentherequiredutilitylevelisu>w（0）,thenxis

optimalintheutilitymaximizationproblemwhenwealthis

px*.Moreover,themaximizedutilitylevelinthisutility

maximizationproblemisexactlyu.假設(shè)<?：）是滿足假設(shè)1.2的效用函數(shù)，我們有：如果在收入為:V>0時，/是效用最大化問題的最優(yōu)解，

那么在支出最小化問題中，當所要實現(xiàn)的效用水平為時，x*是最優(yōu)解。而且，在這一支出最小化問題中，最小

的支出水平正好為y。如果在支出最小化問題中，當所要實現(xiàn)的效用水平為

W>W⑼時，x*是最優(yōu)解，那么在效用最大化問題中，當

收入為px*時，x*是最優(yōu)解。而且，在效用最大化問題中，

最大效用水平正好為證明：①效用最大化問題為：maXH(x),s.t.px<yX設(shè)X*是此問題的解，于是有

w(x’)〉w(x)，x，x*eB={x|px<y}^口px*=y支出最小化問題為：111111px,5.r.u(x)>u設(shè)X"是此問題的解，于是有px*<px,x\xeJxw(x)>u=w(x*)j?不口w=w(x")假設(shè)X*不是支出最小化問題的解。設(shè)X'是其解，有

px'<px、），和《（幻^（/）。根據(jù)弱單調(diào)性公理，在X'的

任何鄰域中，存在X"，H（xff）>M（x,）.且有px”<y。就是

說，x"c5={xpx<y},又因為M（xff）>M（x,）^?（x*）,所

以，X"是更優(yōu)的點。這與前提條件相矛盾，因此，X*是在

所要實現(xiàn)的效用水平為時，支出最小化問題的最優(yōu)

解。在收入為y>0時，x*是UMP的最優(yōu)解，那么X'是馬歇爾

需求函數(shù)x*=x(p,y),此時，=v(p,y),y=px*；在

EMP中，當所要實現(xiàn)的效用水平為時，x*是最優(yōu)解，

那么X*是?？怂剐枨蠛瘮?shù)x*=x"(p,W(x))=x/j(p,v(p,y))，

也就是說，我們有x(p,y)=x/l(p,v(p,y))，支出函數(shù)為

e(p，w(x'))=<p，v(p，y))=px*=y，即4p，v(P，)，))=>，。

證畢。②假設(shè)在效用最大化問題中，當收入為p/時，X*不是最優(yōu)

解。?《'是最優(yōu)解，px"<px'， 。取xw=?x>e(0,l)o根據(jù)O的連續(xù)性，當a足夠地接近1

時，有pxw<px*,且M(xff)>M(x)o這和前提條件相矛盾，

所以X*是效用最大化問題的最優(yōu)解。在支出最小化問題中，

當所要實現(xiàn)的效用水平為u>u(o)時，x*是最優(yōu)解，就是

說，是?？怂剐枨蠛瘮?shù)，有x*=x"(p，w)X*是在收入為px*時，效用最大化問題的解，也就是馬歇爾

需求函數(shù)，所以有x=x(p,pxf)o因此，我們有：x"(p，w)=x(p，e(p，w))最大效用即間接效用函數(shù)為v(P,y)=v(p,px)=M(x)

X*是支出最小化問題的解，有px*=^(p,M),又M=?(

所以有=v(p^(p,w))=w證畢Ov（p，e（p，w））=w4p，v（p，＞9）=）’

（p，y）=x'z（p，v（p，y））

"（p，w）=x（p'（p，“））例子：利用間接效用函數(shù)APi

求支出函數(shù)解：令y=^(p,w),1v(p，a(/^))=^^aa(l-a)1—a心，a)4p，a)=up^P^aa~a(1-a廣1p利用?？怂剐枨蠛瘮?shù)X；'(A,p2,W)=^j?求馬歇爾需求函數(shù)。解：令W=v(p,y),v(p,y)=a11-<ycrg(l-?)1_ayPiPlxi（P，）X（A，P2，v（P，>，））/ \1一aaPiS[~a）p^APi咖，y)\1-aa

—y

Pl即2、（卜a）P"馬歇爾需求函數(shù)的特征〔比擬靜態(tài)分析)馬歇爾需求函數(shù)：x(p,y)Walras法那么(預算平衡性〕：px(Po’)=y在價格和收入上零階齊次性對于所有的^>0，有x(p,y)=x(fp,/y),比擬靜態(tài)分析： ,1.某種商品價格變化所導致的對其他商品和該商叩本

身需求的變化；2.收入變化所導致的對商品的需求的變化?！╬，y）i=替代效應(yīng)：保持效用不變，相對價格變化所導致的消費的變化。收入效應(yīng)：相對價格保持不變，收入改變所導致的消費的

變化。^(p.^)=x(p^(p,w*))其中，/是在價格為P、收入為y時所實現(xiàn)的效用。因此有

W*=v(p,y),于是e(p,HT)=e(p,v(p,y))=y,所以，上式

等號右邊x,(p，e(p，i/))為復合函數(shù)：^(p,y)?y=e(p,?*)o第一步：等號左右兩邊同時對&求導數(shù)，得到<^(p，，)_^r,(p，e(p，w*))

^P, ^Pj<Mpo，)和(p，y)加(p，w*) 1

sPj sysPj第二步：=x';(p乂)=(p，v(p，川=xj(p^)

第三步：得到Slutsky方程：和(p，y)_W(p，A什(p，y) / 、= xj(p，y)sPj sPj sy矩陣表示:SPIMpo’)TotalEffectSubsutuUonW

IncomeEffectW(pV)??w(p.“’)^Pl^(p-y)I々,(p，y)介,，JW(P.M’)■SP，，?? 鬱W(p.w’)6Pnh(p，y)、Sy??^Up.y),，(p，y)"(p，)’)定理l.ii：設(shè)x(P?>9是馬歇爾需求函數(shù)，/是在價格p、為收入為y時所實現(xiàn)的效用，有Slutsky方程:知,（p，y）sPiTotalEffectw（p/）T/DK V yv V zSubstitutionEffect IncomeEffectSlutsky方程衡量商品價格變化對其自身需求當7=附，的影響：Sxt（p，>）5x"（p，w*） （、Sxi（p，y）―：—=——-—xi（p,.>’）①自替代項W(P’ZY)的特征：

SPI

定理1.12：負自替代項：設(shè)^(P,?)是對商品/的希克斯需求函數(shù)，有：W(P，MLn., <0，I=證明：支出函數(shù)e(p,u)在價格p上為凹函數(shù)，根據(jù)定理A2.5,凹函數(shù)所有的二階自偏導數(shù)非正，即什2根據(jù)謝菲爾德引理，有所以

SPi^(p,w)加2(p，w) = ；—<0②正常商品：在價格不變時，隨著收入增加，其消費增加

的商品，叫做“正常商品"。對正常商品，有>o非正常商品：在價格不變時，隨著收入增加，其消費減少的商品，叫做“非正常商品"。對非正常商品，有<0o8y定理1.13：需求法那么〔定律）:正常商品：5x,（p，），）_<^（pV）一A（P，.v）知,（P，>，）A 正常商品自身價格下降會導致其需求量上升

非正常商品：5x,（p，y）_W（p，w*）、 /<0如果商品自身價格下降導致其需求量下降，該商品肯定為

非正常商品。正常商品戶叭0?（Pl?’）〉03非正常商品^Pi定理1.14：對稱替代項：設(shè)X^fp^)是?？怂剐枨蠛瘮?shù)，支出函數(shù)連續(xù)二階可導，

有：加,’?（p，w）叫（p，w） .._1,'，尸u證明：根據(jù)謝菲爾德引理，有x；J(p,M)=^^,于是SPI丄p 卜丄什（p，W2（p，“）SPj1a”8P]AM（P,M））=Af^^M）^&2（p，“）sP.、八”sP,{^PiJ^PipjI^Pj根據(jù)楊格定理〔A2.2),有）SPA學i字I，所以有:

^P.PJ^PJPi叫（pa）知J（p，“）...-7- = ，7，尸1，...，"SPj SPi替代項的數(shù)量：nx/t個④替代矩陣:rSx1；介1??拳SPn（p，“）=???? ?_ ?? ?§PnJ定理：1.15負半定替代矩陣:

替代矩陣＜T（p,W）=’J彳（p，“）

^Pl

?

?如;7（p,“p?拳SPn?

??’加2（p，w）5Pi

??

??&2（P,W）、SPlPn參

??a（p，w）??a（p，《）??&2（p，w）6xhnIS*PIJISPlPn狄2J其中，5彳（PA）_加2（P，“）

spi JPi2加2（p，"）、SPlPn’&2（p，w）SP1是支出函數(shù)的二階價格偏導數(shù)狄2SPlPn構(gòu)成的海賽矩陣。支出函數(shù)在價格上為凹函數(shù)，其二階價格偏導數(shù)構(gòu)成的海賽矩陣負半定，因此，替代矩陣負半定。⑤定理1.16對稱和負半定的Slutsky矩陣Slutsky方程：字=學^_咖）李，=3Pj 8Pj有Slutsky項：W（p，"*） #（p，y） / 、—-——-=—-—-+乃（p，y）SX'M3Pj矩陣形式為:SP.叫'（p,〆）'8Pnw（p，“*）、8PxXp，y）SPn>,/ 戶i（p，y）+義1（P，>9Sy等+咖戶’，)SlutskyMatrixS*（p，y也就有:CT(P,W)=S(