概率及概率分布第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第一章要點(diǎn)提示本章?lián)褚v授概率論的基本常識(shí)和隨機(jī)變量最典型的三種概率分布。學(xué)習(xí)時(shí)①應(yīng)了解隨機(jī)事件相互關(guān)系并熟悉概率運(yùn)算的基本法則；②掌握兩種間斷性變量的概率分布類型，即古典概型和貝努利概型；③牢固樹立研究誤差的思想，重點(diǎn)掌握誤差作為連續(xù)性變量的概率分布規(guī)律——正態(tài)分布，熟練地運(yùn)用在某些取值區(qū)間如左尾、右尾、雙側(cè)或中間概率的計(jì)算方法。為下一章學(xué)習(xí)一類特殊的連續(xù)性變量——抽樣誤差的概率分布作準(zhǔn)備。涉及教材內(nèi)容：第一章第二、三節(jié)，第四章第一～四節(jié)。作業(yè)布置：教材第二、三章內(nèi)容（P12～P33）自習(xí)。

第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)事件及其相互關(guān)系一、隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，但事先并不能100%地肯定發(fā)生哪一種結(jié)果的現(xiàn)象。隨機(jī)事件：泛指隨機(jī)現(xiàn)象的任一種可能發(fā)生的結(jié)果，簡(jiǎn)稱“事件”。用大寫字母A、B、C……或A1、A2、A3……表示。隨機(jī)現(xiàn)象有多少種可能發(fā)生的結(jié)果，就有多少個(gè)隨機(jī)事件?；臼录褐覆荒茉俜指畹碾S機(jī)事件，否則就是復(fù)合事件。概率論：研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科。屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)范圍。第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

第一節(jié)事件及其相互關(guān)系二、概率的三種定義隨機(jī)試驗(yàn)：對(duì)某隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的一次觀察同時(shí)具備三條：⑴事先可以明確幾種可能出現(xiàn)的結(jié)果；⑵不能斷言將出現(xiàn)哪一種結(jié)果；⑶在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行。統(tǒng)計(jì)定義：假定在相同或相似條件下，重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)試驗(yàn)（或觀察），某一事件A發(fā)生的次數(shù)a與總觀察次數(shù)n之比值a/n當(dāng)n→∞時(shí)穩(wěn)定接近的值p就叫A的統(tǒng)計(jì)概率。記為P（A）=p

或簡(jiǎn)述為“頻率的極限值”、“頻率的穩(wěn)定值”。此外還有概率的古典定義和幾何定義。第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)事件及其相互關(guān)系三、古典概型即古典概率分布類型，是針對(duì)有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)而言：①只有有限個(gè)不同的基本事件；②各基本事件發(fā)生的概率均等。例1.1、從隨機(jī)數(shù)字表中任一位點(diǎn)抽得一位數(shù)字是0、1、2、……或9的概率是均等的，都為0.1。即n=10個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，若事件A由其中的m個(gè)基本事件組成，則P（A）=m/n，這就是概率的古典定義。如定義A為2≤y≤8，則P（A）=7/10=0.7。弄清楚古典概率能幫助我們正確使用隨機(jī)數(shù)字表。如將4個(gè)編號(hào)進(jìn)行隨機(jī)排序時(shí)，按照取除以4以后的余數(shù)規(guī)則，遇到9、0就不要讀；再如將12個(gè)編號(hào)進(jìn)行隨機(jī)排序時(shí)，按照取除以12以后的余數(shù)規(guī)則，遇到97、98、99、00也不要讀。第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日

第一節(jié)事件及其相互關(guān)系四、統(tǒng)計(jì)概型實(shí)際應(yīng)用中，僅研究基本事件是不夠的，還要了解復(fù)合事件及其相互關(guān)系。事件間的相互關(guān)系有包含關(guān)系、和與積的關(guān)系、互斥及對(duì)立關(guān)系等。這些關(guān)系可以用一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀枰哉f(shuō)明。如右邊文本所示。

觀察甲、乙兩粒種子發(fā)芽情況，發(fā)芽記為“1”，沒(méi)有發(fā)芽記為“0”

甲乙

ω111……A=A1·A2ω210…B＞A1·A2

ω301…B＞A1·A2

ω400……C=A1·A2注：甲發(fā)芽記為“A1”、不發(fā)芽記“A1”；乙發(fā)芽記為“A2”、不發(fā)芽記“A2”。第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)概率計(jì)算法則一、加法定理P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）例1.2考察甲乙兩人分別使用手槍和步槍朝同一靶標(biāo)射擊的結(jié)果。定義A為“甲擊中”，B為“乙擊中”。假定統(tǒng)計(jì)次數(shù)n=100得P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（A·B）=0.48，求：P（A+B）。解“A+B”意為“靶標(biāo)至少被一人擊中”

P（A+B）=0.6+0.8－0.48=0.92

結(jié)果表明：100次觀察中只有8次沒(méi)有被擊中，進(jìn)一步分析如右。靶標(biāo)被擊中92次又分三種情況：⑴兩人同時(shí)擊中：

n·P（A·B）=48⑵甲擊中且乙未擊中：

n·P（A）－n·P（A·B）=12⑶乙擊中且甲未擊中：

n·P（B）－n·P（A·B）=32

將⑴、⑵、⑶的三個(gè)等式左右兩邊分別累加，得到公式：n·P（A）+n·P（B）－n·P（AB）=92將該公式兩邊除以n就是加法法則。第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)概率計(jì)算法則二、乘法定理

P（A·B）=P（A）·P（B/A）

=P（B）·P（A/B）例1.3將0.5kg辛夷花籽經(jīng)水選分級(jí)，上浮部分1000粒，播種后發(fā)芽率仍有10%，下沉部分2500粒，播種后的發(fā)芽率也只有80%，兩向分組小計(jì)如右。解定義從3500粒種籽中隨機(jī)抽取的一粒是“下沉籽”為事件A發(fā)生，是“發(fā)芽籽”為事件B發(fā)生，則有：P（A·B）=5/7×0.8=0.6×20/21P（A）=2500÷3500=5/7P（B）=2100÷3500=0.6P（A·B）=2000÷3500=4/7P（B/A）=2000÷2500=0.8P（A/B）=2000÷2100=20/21

水選分級(jí)發(fā)芽數(shù)未發(fā)芽數(shù)Σ上浮部分1009001000下沉部分20005002500Σ210014003500第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)概率計(jì)算法則三、加法定理推論⑴互斥事件的加法法則：

P（A+B+C+……+N）=P（A）+P（B）+P（C）……+P（N）⑵對(duì)立事件的減法法則：

P（A）=P（Ω）－P（A）=1－P（A）四、乘法定理推論⑴事件獨(dú)立的充分必要條件是：

P（A1A2A3……An）=P（A1）P（A2）P（A3）……P（An）在試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中用得多的往往不是加法定理或乘法定理本身，而是其推論。第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)概率的計(jì)算法則例1.4已知一批飼用小麥種出苗率為0.8，現(xiàn)隨機(jī)觀察其中的兩粒，問(wèn)：兩粒出苗（A）、僅一粒出苗（B）和兩粒都不出苗（C）的概率各為多少？解設(shè)籽甲出苗為A1，不出苗為A1

籽乙出苗為A2，不出苗為A2

依題意，A1、A2相互獨(dú)立，即：

P（A1）=0.8，P（A1）=0.2P（A2）=0.8，P（A2）=0.2

P（A）=P（A1A2）=0.64=P（A1）P（A2）P（B）=P（A1A2+A1A2）

=P（A1A2）+P（A1A2）

=P（A1）P（A2）+P（A1）P（A2）

=0.8×0.2+0.2×0.8=0.32P（C）=P（A1A2）=0.04=P（A1）P（A2）“至少一粒出苗的概率”有兩種算法：P（A+B）=1－P（C）=0.96第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)貝努利概型一、隨機(jī)變量及其性質(zhì)將隨機(jī)事件數(shù)量化，建立起一一對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)值Yi，則稱之為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱“變量”。用符號(hào)y表示。再將隨機(jī)變量y的任意一個(gè)取值Yi稱為“觀察值”。如例1.4中的0·1·2

將隨機(jī)變量y取任意一個(gè)實(shí)數(shù)值Yi的概率稱為概率函數(shù)。記號(hào)f（）。再將隨機(jī)變量y取值小于或等于某一個(gè)實(shí)數(shù)值Yi的概率稱為累積概率函數(shù)。記號(hào)F（）。如表述例1.4中“A”指“兩粒籽發(fā)芽”的概率時(shí)就有三種方式：⑴P（A）=p或P（A）=0.64⑵P（y=Yi）=p，P（y=2）=0.64⑶f（Yi）=p或f（2）=0.64

再表述例1.4中“少于一粒籽發(fā)芽”的概率時(shí)也可有兩種方式：P（y≤Yi）=P（y≤1）=1－0.64F（Yi）=F（1）=f（0）+f（1）=0.36

按所取觀察值變化特點(diǎn)的不同，變量分間斷性變量和連續(xù)性變量第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)貝努利概型二、貝努利概型貝努利試驗(yàn)（序列）是獨(dú)立試驗(yàn)序列中最簡(jiǎn)單的類型。觀察一次貝努利試驗(yàn)時(shí)（僅有兩種可能的結(jié)果），事件A發(fā)生的概率與其對(duì)立事件發(fā)生的概率所表現(xiàn)出來(lái)的兩點(diǎn)分布類型，叫做貝努利分布。其概率值的分割比例實(shí)際由概率的（統(tǒng)計(jì)）定義給出。多次貝努利試驗(yàn)中事件A在其中若干次發(fā)生的概率所表現(xiàn)出來(lái)的多點(diǎn)分布類型，叫做二項(xiàng)分布。其概率函數(shù)f（y）由牛頓二項(xiàng)式定理給出。第十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)數(shù)據(jù)整理一、誤差的概念總體指研究對(duì)象全體，即具有相同性質(zhì)和特征的個(gè)體（可供抽樣觀察的基本單位）所組成的集團(tuán)。總體擁有的個(gè)體數(shù)目叫總體容量（N），統(tǒng)計(jì)學(xué)中的個(gè)體與生物個(gè)體不是一個(gè)概念。有時(shí)候總體“由一切可能的觀測(cè)結(jié)果組成”，此時(shí)的總體與個(gè)體只存在于特定的時(shí)空，可以想象，但既“看不見(jiàn)，又摸不著”，如多次稱量同一物體的質(zhì)量。樣本：隨機(jī)從總體中抽出來(lái)用于研究總體的那一部分個(gè)體（抽樣單位）。樣本擁有的個(gè)體數(shù)叫樣本容量（n）。誤差的本義是指隨機(jī)變量的任意一個(gè)觀察值與其真值的差異，即Yi-μ。但統(tǒng)計(jì)學(xué)不是把誤差當(dāng)作常量來(lái)研究（因?yàn)閷?shí)際工作中真值往往是未知數(shù)或無(wú)法計(jì)算其具體數(shù)值），而是把它放在一定條件下作為隨機(jī)變量來(lái)對(duì)待，即利用概率分布理論來(lái)描述誤差在任一范圍取值的可能性大小，所以誤差實(shí)際被表述為“

y–μ”。由于誤差的取值已不再局限于間斷性數(shù)據(jù)，其概率分布研究必須從連續(xù)性變量的實(shí)例作為出發(fā)點(diǎn)。第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)數(shù)據(jù)整理例1.5研究廣西“霞煙雞”品種的母雞所生雞蛋的個(gè)頭大小，將所得N=623個(gè)雞蛋一個(gè)個(gè)地稱重，再將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組歸類并統(tǒng)計(jì)各組次數(shù)如右。利用次數(shù)分布表計(jì)算出反映果實(shí)平均大小和彼此懸殊程度（變異度）的指標(biāo)，即總體平均數(shù)μ=43.5g和總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=4.65g，它們也是“單個(gè)雞蛋重”這一連續(xù)性變量的兩個(gè)最重要的參數(shù)，實(shí)際決定其概率分布的特征。第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)數(shù)據(jù)整理討論：如果說(shuō)用公式（μ=ΣYi/N）計(jì)算總體真值μ來(lái)反映雞蛋大小的平均水平很自然的話，用σ2=Σ（y–μ）2/

N計(jì)算σ就顯得非常特別，因?yàn)榉从愁愃齐u蛋懸殊程度（簡(jiǎn)稱變異度，反過(guò)來(lái)講就是整齊度）時(shí)也有人用所謂的“平均誤差”來(lái)表示過(guò)，其算式（Σ|y–μ|/

N）雖然比計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的公式還簡(jiǎn)單，但實(shí)際研究中已不再有人用它，原因是總體標(biāo)準(zhǔn)差不僅能從數(shù)值上顯示“變異度”的大小，更重要的它還是用作描述誤差概率分布的尺度。例1.5：μ=43.5gσ=4.65g第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)數(shù)據(jù)整理二、次數(shù)分布及特征數(shù)對(duì)樣本（或總體）的全部觀察值進(jìn)行分組（歸類）并統(tǒng)計(jì)各類次數(shù)的過(guò)程叫做數(shù)據(jù)整理，其結(jié)果通常都以次數(shù)分布表（或圖）的形式體現(xiàn)出來(lái)。當(dāng)樣本（或總體）的觀察值較多時(shí)，進(jìn)行數(shù)據(jù)整理一方面可以更直觀地描述變量取值的分布規(guī)律，另一方面便于用加權(quán)法計(jì)算數(shù)據(jù)的特征數(shù)。數(shù)據(jù)的特征數(shù)包括（總體或樣本）平均數(shù)和（總體或樣本）標(biāo)準(zhǔn)差，還可以是標(biāo)準(zhǔn)誤，標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤（平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差）都是反映數(shù)據(jù)變異性的數(shù)量指標(biāo)，各自蘊(yùn)藏著誤差和抽樣誤差（如樣本平均數(shù)和真值的差異）變異幅度的信息，但它們決非（抽樣）誤差本身。間斷性數(shù)據(jù)（含質(zhì)量性狀的指標(biāo)）大多可依據(jù)其性狀自然歸組。連續(xù)性數(shù)據(jù)則需要人為地進(jìn)行分組，方法是先根據(jù)觀察值（也稱原始數(shù)據(jù)）的個(gè)數(shù)確定大致的組數(shù)，然后按數(shù)據(jù)的極差范圍計(jì)算組距、調(diào)整組數(shù)，最后依最大的觀察值和最小的觀察值確定組限。第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)數(shù)據(jù)整理繼續(xù)按貝努利概型分析五粒以上種子發(fā)芽的統(tǒng)計(jì)概率分布，繪成條形圖。可以看出，服從二項(xiàng)分布的間斷性變量不論p是否等于q，只要n足夠大，則所得到的概率分布條形圖顯示的概率函數(shù)值總是以其中間的某一、兩項(xiàng)為最大，而后往兩邊依次遞減，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，概率分布圖也是愈趨對(duì)稱，和上一節(jié)連續(xù)性變量表現(xiàn)出來(lái)的頻率（或次數(shù)）分布規(guī)律殊途同歸，呈現(xiàn)出兩頭低、中間高的變化模式。這正說(shuō)明間斷性變量和連續(xù)性變量存在著某種必然的聯(lián)系，正態(tài)分布本身及其發(fā)現(xiàn)和重新發(fā)現(xiàn)的過(guò)程就是這種聯(lián)系的最好證明。

第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)數(shù)據(jù)整理第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布fN(y)N（μ，σ2）μ-3σμ-2σμ-σμμ+σμ+2σμ+3σ-3σ-2σ-1σ01σ2σ3σyy-μ第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布μ=0μ=1μ=2標(biāo)準(zhǔn)差（σ=1）相同而平均數(shù)各不相同的三種情形fN(y)y第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布σ=1σ=1.5σ=2平均數(shù)（μ=0）相同而標(biāo)準(zhǔn)差各不相同的三種情形fN(y)y第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布的概率函數(shù)二、正態(tài)分布概率函數(shù)曲線的特性⑴對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)（概率）均等。

討論：這里提到誤差取某個(gè)“值”的概率問(wèn)題，也就是連續(xù)性變量取某個(gè)觀察值的概率究竟有沒(méi)有意義？高等數(shù)學(xué)論及連續(xù)性變量取某一個(gè)實(shí)數(shù)的概率時(shí)，都認(rèn)定是在概率函數(shù)圖中用某個(gè)點(diǎn)上的垂線求面積，無(wú)疑應(yīng)該等于“0”。但應(yīng)用中獲得的觀察值不能簡(jiǎn)單地理解為“一個(gè)”實(shí)數(shù)，而應(yīng)當(dāng)視為在精度有限的條件下，由最后一位有效數(shù)字按四舍五入規(guī)則決定的雖然小卻確實(shí)存在的區(qū)間。

第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布⑵鐘形：簡(jiǎn)稱“兩頭低，中間高”，即從+∞和-∞兩個(gè)遠(yuǎn)端朝接近μ的方向遞增（并在“拐點(diǎn)”處曲線由“凹”轉(zhuǎn)“凸”），表明絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小。

⑶非負(fù)性：≮0，即曲線總在橫坐標(biāo)軸上方，兩尾以橫軸為漸進(jìn)線，和橫軸圍成的總面積就是P（Ω）=1。⑷特異性：隨機(jī)變量的兩個(gè)參數(shù)μ和σ分別決定曲線的位置和形狀，表明正態(tài)分布是一組曲線系統(tǒng)。N（μ，σ2）fN(y-μ)-3σ-2σ–σ0σ2σ3σy-μ第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布0.50000.1586μ-2σμ-σμ

μ+σ

μ+2σy-2σ-σ0σ2σy-μφ(u)fN(y-μ)fN(y)-2-1012u第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布0.68270.13590.02270.1586fN(y)（μ=0σ=1）N（0，1）φ(u)u第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布三、標(biāo)準(zhǔn)分布的累積函數(shù)例1.6假定y～N（μ，σ2），μ=30.26，σ2=5.12

，試計(jì)算：P（y≤21.64）、P（y≤32.98）、P（21.64＜y≤32.98）和P（y＞32.98）。解：根據(jù)附表1查得的Φ（u）即標(biāo)準(zhǔn)分布曲線的左尾面積（概率）P（y≤21.64）=(21.64)=Φ［（21.64－30.26）÷5.1］

=Φ（-1.69）=0.04551P（y≤32.98）=(32.98)=Φ［（32.98－30.26）÷5.1］

=Φ（0.53）=0.7019P（21.64＜y≤32.98）=(32.98)－(21.64)=0.6564P（y＞32.98）=1－(32.98)=1－0.7019=0.2981

由此例可得到正確使用附表1的口訣：小于某數(shù)直接查，大于某數(shù)1減它；區(qū)間概率大減小，兩邊臨界一反查。例1.7給定中間概率為0.90或0.95時(shí)，u值應(yīng)等于多少？第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布

0.045510.65640.2981yfN(y)21.6432.98第二十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布0.900.0250.0250.05fN(y)（μ=0σ=1）N（0，1）φ(u)u第二十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，2022年，8月28日第五節(jié)正態(tài)分布到此為止，本章內(nèi)容的講授已順著變量→連續(xù)性變量→誤差的路徑完成了知識(shí)結(jié)構(gòu)由概率論（正概率）→→統(tǒng)計(jì)學(xué)（逆概率）的轉(zhuǎn)變，其內(nèi)容也由“描述變量的概率分布”→→“推斷誤差變量（任一區(qū)間）取值的概率”。在學(xué)習(xí)下一章內(nèi)容之前，請(qǐng)一定先記牢三個(gè)要點(diǎn)：㈠將前三節(jié)樹立的研究隨機(jī)變量的思路深化到研究連續(xù)性變量的層次，且不論用y(教材)還是用x