關于全等三角形總復習第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日一、全等三角形1.什么是全等三角形？一個三角形經過哪些變化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性質？能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形（1）全等三角形的對應邊相等、對應角相等。（2）全等三角形的周長相等、面積相等。（3）全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.全等三角形的判定:

①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日一般三角形

全等的條件：1.定義（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形全等特有的條件：HL.包括直角三角形不包括其它形狀的三角形解題中常用的4種方法第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日3.三角形全等的證題思路：①②③第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日1.證明兩個三角形全等，要結合題目的條件和結論，選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?.全等三角形，是證明兩條線段或兩個角相等的重要方法之一，證明時

①要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中。

②分析要證兩個三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。

③有公共邊的，公共邊一定是對應邊，有公共角的，公共角一定是對應角，有對頂角，對頂角也是對應角總之，證明過程中能用簡單方法的就不要繞彎路。

第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日例題選講1：如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么補充下列一具條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2：已知：如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O點，∠1=∠2，圖中全等的三角形共有()A．1對B．2對C．3對D．4對D第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日3.如圖：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE=

。12cABDE第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日4已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求證：BC=AD.ABCD第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日5:下面條件中,不能證出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C

第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日6：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，請你添加一個適當?shù)臈l件：

，使△ADB≌△CEB。BE=BDBA=BCDA=EC第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日7：求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半。已知：如圖，AD是△ABC的中線，求證：ABCDE證明：中線延長它一倍第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日課堂練習1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分別垂直于AB及AC交延長線于E、F，求證：DE＝DF┏┏第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.點A、F、E、C在同一直線上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求證：AB∥CD。證明：第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD

EDCAB證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

EDCAB3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉10°時，第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉60°時，EDCAB第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉120°時，EDCAB第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉180°時，EDCAB第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉240°時，EDCAB第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，當△ABC繞點C順時針旋轉ɑ時，連接BE，DA；結論BE=AD還成立嗎？若成立請加以證明。EDCABEDCABα﹙第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日引申：.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上，AC與BE相交于M，CE與AD相交于N，試判定△ＣＭＮ的形狀

EDCABMN解：△ＣＭＮ是等邊三角形證明：（１）先證∠ACE＝６０°（２）證明△BCE≌△ACD→∠BEC＝∠ADC（３）在證△MCE≌△NCD→CM=CN第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日5：如圖，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD嗎？為什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中

∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日6：如圖，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。請問圖中有那幾對全等三角形？請任選一對給予證明。FEDCBA答：△ABC≌△DEF證明：∵AB∥DE∴∠A=∠D∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF在△ABC和△DEF中

AC=DF∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日7：如圖，已知，EG∥AF，請你從下面三個條件中，再選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，推出一個正確的命題。（只寫出一種情況）①AB=AC②DE=DF③BE=CF

已知：EG∥AF

求證：GFEDCBA高第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日8.如圖，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點，（不是中點）且AD＝BE＝CF，圖中全等三角形有那些？解：共六個AFEDC

BGIH△ＡＤＧ≌△BEH≌△CFI△ＡBH≌△BCI≌△CAG△ＡBE≌△BCF≌△CAD△ＡHF≌△BID≌△CGE△ＡBF≌△BCD≌△CAE第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日8引申如圖，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點，（不是中點）且△DEF也是等邊三角形，圖中（１）除已知相等的邊外，還有那些相等的線段？（２）你所證明的相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程解：（１）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）這些相等的線段可以看出平移旋轉而得到，如AE和BF，把AE繞這A點沿順時針方向選旋轉６０°，，再沿著AB方向平移使點A至點F即可得到BF，其余類同AFEDC

B第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日8引申如圖，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點，（不是中點）且△DEF也是等邊三角形，圖中（１）除已知相等的邊外，還有那些相等的線段？（２）你所證明的相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程解：（１）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）這些相等的線段可以看出平移旋轉而得到，如AE和BF，把AE繞這A點沿順時針方向選旋轉６０°，，再向下然后再向左平移使點A至點F即可得到BF，其余類同AFEDC

B第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日９.閱讀理解（１）如果兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等1閱讀：我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等。（２）如果兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（３）如果兩個三角形均為銳角三角形，可證它們全等2證明：請你從（２）（３）選擇一個加以證明（３）如果兩個三角形均為銳角三角形，可證它們全等已知：△ABC和△A′B′C′均為銳角△，且AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，求證：△ABC≌△A′B′C′，A′

B′

C′

D

A

B

C

第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日已知：△ABC和△A′B′C′均為銳角△，且AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，求證：△ABC≌△A′B′C′，A′

B′

C′

D′

A

B

C

D

證明：分別作B，B′兩點作BD⊥CA于D，B′D′⊥C′A′于D，先證：△ABD≌△A′B′D′

再證：△ABC≌△A′B′C′

（3）由此你得出一個什么結論：結論：兩邊及其中一邊的對邊分別相等的兩個銳角（直角三角形或者鈍角三角形）三角形是全等三角形第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日10已知命題：如圖點A，D，B，E在同一條直線上，且AD＝BE，∠A=∠FDE，則△ABC≌DEF，判定這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題請加以證明；如果是假命題，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件使它稱為真命題，并加以證明A

F

C

E

D

B

解答：題設命題是假命題；可以下添加一個條件均可證明三角形全等（1）當AC＝DF（２）∠CBA＝∠E（３）∠C＝∠F證明：略第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日1１已知：如圖線段AC與BD相交與點O，連接AB，DC，E為OB的中點，F(xiàn)為OC的中點，連接EF；A

B

C

D

O

F

E

（1）添加條件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求證：AB＝DC（２）分別將∠A＝∠D記為①；∠OEF＝∠OFE記為②；AB=DC記為③；添加條件①③，以②為結論構成命題1；添加條件②③，以①為結論構成命題2，命題1是——命題；命題2是——命題（選“真”或“假”）證明：（1）略（２）命題1為真命題；可以AAS證明；命題2是假命題，此命題的條件為SSA，不能證明全等第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日13已知點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，且AE＝CF，過E

F兩點分別作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，（１）求證：BD平分EF（2）若將△DEC的邊EC沿AC方向移動，變化為2時，其余條件不變，上述結論是否成立，說明理由A

D

B

C

E

F

G

圖1A

D

B

C

E

F

G

圖2第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日E

證明：在DC上截取DE＝DB，連接AE

A

C

D

B

·

１４。如圖在三角形ABC中，BC上的高為AD，且∠B=2∠C求證：CD=AB＋BD第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日15已知△AFD和△CEB中，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，有如下四個論斷：（1）AD＝CB（２）AE＝CF（3）∠B=∠D（4)AD//BC,請用其中三個作為條件，余下一個作為結論，編一道數(shù)學問題，并寫出解答過程。其中①的組合是錯誤的，無法證明A

B

C

E

F

D

解：①由（1）（2）（3）為條件（4）為結論②由（1）（2）（4）為條件（3）為結論③由（1）（3）（4）為條件（2）為結論④由（2）（3）（4）為條件（1）為結論下面我們以④為例寫出已知，求證，并進行證明已知：AE＝CF，∠B=∠D，AD//BC求證：AD=BC證明：略第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日16在正方形ABCD中，E是AD是中點，F(xiàn)是BA的延長線的一點，AF=AE，已知△ABE≌△ＡＤＦ（１）在圖中可以通過平移，翻折，旋轉中的哪一種方法，使△ABE變到△ＡＤＦ的位置FEDCBA（２）線段BE與DF有什么位置關系？證明你的結論解：圖中通過繞A點按逆時針方向旋轉９０°，使△ABE變到△ＡＤＦ的位置（圖１）理由：延長BE交DF于點G，F(xiàn)EDCBAG∵△ABE≌△ＡＤＦ∴∠ABE=∠ADF又∵∠AEB=∠DEG∴∠DGB=∠DAB＝９０°∴BE⊥DF第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日17。如圖在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且B

C兩點在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于點E求證：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗提示證明：△ABD≌△ACE（AAS）證明：第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日17。如圖在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且B

C兩點在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于點E求證：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明提示證明：△ABD≌△ACE（AAS）得到BD=DE-CE第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日17。如圖在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且B

C兩點在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于點E求證：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明（３）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BD＞CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明提示證明：△ABD≌△ACE（AAS）得到BD=DE-CE第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日17。如圖在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且B

C兩點在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于點E求證：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明（３）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BD＞CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明（４）歸納（１）（２）（３）請用簡潔的語言表達BD，DE和CE的關系歸納：當B，C在AE的異側時，BD＝DE+CE；當B，C在AE的同側時，BD=DE-CE第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日拓展題1.如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EFBCAFED第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE;ECAB21D(2)怎樣變換△ABC和△AED中的一個位置,可使它們重合?(3)觀察△ABC和△AED中對應邊有怎樣的位置關系?(4)試證ED⊥BC(1)觀察圖中有沒有全等三