結(jié)構(gòu)有限元法第1章 三角形常應(yīng)變單元的有限元法第2章有限元程序設(shè)計(jì)與分析軟件第3章平面問題高階單元的有限元法第4章空間實(shí)體的有限元法第5章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法第6章板殼問題的有限元法第7章結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題的有限元法？第8章彈塑性問題的有限元法結(jié)構(gòu)有限元分析

第1章三角形單元的有限元法1.1有限元法的基本思想

有限元法在20世紀(jì)50年代起源于飛機(jī)結(jié)構(gòu)的矩陣分析，其基本思想是用有限個(gè)離散單元的集合體代替原連續(xù)體，采用能量原理研究單元及其離散集合體的平衡，以計(jì)算機(jī)為工具進(jìn)行結(jié)構(gòu)數(shù)值分析。它避免了經(jīng)典彈性力學(xué)獲得連續(xù)解的困難（建立和求解偏微分方程），使大型、復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算容易地在計(jì)算機(jī)上完成，應(yīng)用十分廣泛。ANSYS,SAP2K把整體結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元，研究單元的平衡和變形協(xié)調(diào)；再把這有限個(gè)離散單元集合還原成結(jié)構(gòu)，研究離散結(jié)構(gòu)的平衡和變形協(xié)調(diào)。劃分的單元大小和數(shù)目根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算機(jī)能力來確定?！稹稷佗冖邰堍茛蔻撷?2345678910P576⑤④456③345⑥678①②⑦⑧彈性懸臂板剖分與集合單元、節(jié)點(diǎn)需編號(hào)有限元法主要優(yōu)點(diǎn)：（1）概念淺顯，容易掌握。（離散、插值、能量原理、數(shù)學(xué)分析）（2）適用性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣，幾乎適用于所有連續(xù)體和場問題的分析。（結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁場和聲學(xué)等問題）（3）計(jì)算規(guī)格化（采用矩陣表示），便于計(jì)算機(jī)編程。1.1.1有限元法的分析步驟

（1）結(jié)構(gòu)離散化：用點(diǎn)、線或面把結(jié)構(gòu)剖分為有限個(gè)離散單元體，并在單元指定點(diǎn)設(shè)置節(jié)點(diǎn)。研究單元的平衡和變形協(xié)調(diào)，形成單元平衡方程。l/2l/2P123①②1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4單元的節(jié)點(diǎn)上有位移和力F（2）單元集合：把所有離散的有限個(gè)單元集合起來代替原結(jié)構(gòu)，形成離散結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)平衡方程。（3）由平衡方程求解得節(jié)點(diǎn)位移和計(jì)算單元應(yīng)力。1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4l/2l/2P123①②1.1.2有限元法分析思路流程解綜合方程[K]{⊿}={P}求結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移{⊿}計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力系統(tǒng)分析(把單元?jiǎng)偠染仃嚰铣山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]形成等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載{P})離散（剖分）結(jié)構(gòu)為若干單元單元分析(建立單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e形成單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力)（1-1）2、單元內(nèi)任意點(diǎn)的體積力列陣qV（1-2）1、單元表面或邊界上任意點(diǎn)的表面力列陣qsijmxyijmxyqV·qs·1.2基本力學(xué)量矩陣表示圖1-1ijmxy·uv3、單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移列陣f（1-3）4、單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變列陣（1-4）ijmxy·5、單元元內(nèi)任意意點(diǎn)的應(yīng)應(yīng)力列陣陣（1-5）6、幾何方程程（1-6）將上式代代入式(1-4），ijmxy·（1-4）7、物理理方程矩矩陣式（1-7）式中E、、——彈性模量量、泊松松比。上式可簡簡寫為（1-8）其中對(duì)于彈性性力學(xué)的的平面應(yīng)應(yīng)力問題題，物理方程程的矩陣形形式可表表示為：：(1-9）矩陣[D]稱為彈性矩陣。對(duì)于平面應(yīng)變問題，將式(1-9）中的E換為，換為。(1-8）各種類型結(jié)構(gòu)的彈性物理方程都可用式(1-8）描述。但結(jié)構(gòu)類型不同，力學(xué)性態(tài)(應(yīng)力分量、應(yīng)變分量)有區(qū)別，彈性矩陣[D]的體積和元素是不同的。1.3位位移移函數(shù)和和形函數(shù)數(shù)1、位移函函數(shù)概念念由于有限限元法采采用能量量原理進(jìn)進(jìn)行單元元分析，，因而必必須事先先設(shè)定位位移函數(shù)數(shù)?！啊拔灰坪瘮?shù)”也也稱““位移模模式”，，是單元內(nèi)部部位移變變化的數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)達(dá)式，設(shè)設(shè)為坐標(biāo)標(biāo)的函數(shù)數(shù)。一般而論論，位移移函數(shù)選選取會(huì)影影響甚至至嚴(yán)重影影響計(jì)算算結(jié)果的的精度。。在彈性性力學(xué)中中，恰當(dāng)當(dāng)選取位位移函數(shù)數(shù)不是一一件容易易的事情情；但在有限元元中，當(dāng)當(dāng)單元?jiǎng)潉澐值米阕銐蛐r(shí)時(shí)，把位位移函數(shù)數(shù)設(shè)定為為簡單的的多項(xiàng)式式就可以以獲得相相當(dāng)好的的精確度度。這正是有有限單元元法具有有的重要要優(yōu)勢之之一。不同類型型結(jié)構(gòu)會(huì)會(huì)有不同同的位移移函數(shù)。。這里，，仍以平平面問題題三角形形單元（（圖1-2）為為例，說說明設(shè)定定位移函函數(shù)的有有關(guān)問題題。圖1-2是一個(gè)個(gè)三節(jié)點(diǎn)點(diǎn)三角形形單元，，其節(jié)點(diǎn)點(diǎn)i、j、m按逆時(shí)針方向排列列。每個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)位位移在單單元平面面內(nèi)有兩兩個(gè)分量量：（1-10）一個(gè)三角角形單元元有3個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)（（以i、j、m為序），共共有6個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)位位移分量量。其單元位移移或單元元節(jié)點(diǎn)位位移列陣陣為：圖1-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移移函數(shù)設(shè)設(shè)定本問題選選位移函函數(shù)（單單元中任任意一點(diǎn)點(diǎn)的位移移與節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移的的關(guān)系））為簡單單多項(xiàng)式式：(1-12）式中：a1、a2、…、a6——待定定常數(shù)，，由單元元位移的的6個(gè)分量量確定。。a1、、a4代代表剛體體位移，，a2、、a3、、a5、a6代代表單單元中的的常應(yīng)變變，而且且，位移移函數(shù)是是連續(xù)函函數(shù)。(1-11）ijmuiujumvivjvmxy·uv選取位移移函數(shù)應(yīng)應(yīng)考慮的的問題（1）位移函數(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)數(shù)等于單元中任任意一點(diǎn)點(diǎn)的位移移分量個(gè)個(gè)數(shù)。本本單元中中有u和v，與此相相應(yīng)，有有2個(gè)位位移函數(shù)數(shù)；（3）位移函數(shù)數(shù)中待定定常數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)待定常數(shù)數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)應(yīng)等于單元節(jié)點(diǎn)點(diǎn)自由度度總數(shù)，以便用用單元節(jié)節(jié)點(diǎn)位移移確定位位移函數(shù)數(shù)中的待待定常數(shù)數(shù)。本單單元有6個(gè)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)自由度度，兩個(gè)個(gè)位移函函數(shù)中共共包含6個(gè)待定定常數(shù)。。（2）位移函數(shù)數(shù)是坐標(biāo)標(biāo)的函數(shù)數(shù)本單元的的坐標(biāo)系系為：x、y；（4）位移函數(shù)數(shù)中必須須包含單單元的剛剛體位移移。（5）位移函數(shù)數(shù)中必須須包含單單元的常常應(yīng)變。。（6）位移函數(shù)數(shù)在單元元內(nèi)要連連續(xù)。相相鄰單元元間要盡盡量協(xié)調(diào)。。條件（4）、（（5）構(gòu)構(gòu)成單元元的完備性準(zhǔn)則。條件（6）是單單元的位位移協(xié)調(diào)性條件。理論和實(shí)實(shí)踐都已已證明，，完備性性準(zhǔn)則是是有限元元解收斂斂于真實(shí)實(shí)解的必必要條件件。單元元的位移移協(xié)調(diào)條條件構(gòu)成成有限元元解收斂斂于真實(shí)實(shí)解的充充分條件件。容易證明明，三角角形三節(jié)節(jié)點(diǎn)常應(yīng)應(yīng)變單元元滿足以以上必要要與充分分條件。。（7）位移函數(shù)數(shù)的形式式一般選為為完全多多項(xiàng)式。。為實(shí)現(xiàn)現(xiàn)（4））—（6）的要要求，根根據(jù)Pascal三角角形由低低階到高高階按順順序、對(duì)對(duì)稱地選選?。欢喽囗?xiàng)式的的項(xiàng)數(shù)等等于（或或稍大于于）單元元節(jié)點(diǎn)自自由度數(shù)數(shù)。例：平面面應(yīng)力矩矩形板被被劃分為為若干三三角形單單元。位移函數(shù)中包含了單元的常應(yīng)變。

(a2,a6,a3+a5)

位移函數(shù)中包含了單元的剛體位移。(a1,a4)③④254136①②對(duì)任一單單元，如如③單元元，取位位移函數(shù)數(shù)：①、②、、③、④④單元的的位移函函數(shù)都是是可以看出出：位移函數(shù)數(shù)在單元元內(nèi)是連連續(xù)的；；以③、④④的邊界界26為為例256③263④③④5623xyuu6u2uu6u2兩條直線線上有兩兩個(gè)點(diǎn)重重合，此此兩條直直線必全全重合。。位移函數(shù)在單元之之間的邊界上也連連續(xù)嗎？是。3、形函數(shù)形函數(shù)是用單元節(jié)節(jié)點(diǎn)位移分量來描描述位移函數(shù)的插插值函數(shù)。(1-13）（1）形函數(shù)確定定現(xiàn)在，通過單元節(jié)節(jié)點(diǎn)位移確定位移移函數(shù)中的待定常常數(shù)a1、a2、…、a6。設(shè)節(jié)點(diǎn)i、j、m的坐標(biāo)分別為（xi、yi）、（xj、yj）、（xm、ym），節(jié)點(diǎn)位移分別別為（ui、vi）、（（uj、vj）、（um、vm）。將它們代入式式（1-12），，有從式(1-13））左邊3個(gè)方程中中解出待定系數(shù)a1、a2、a3為(1-14）式中，A為三角形單元元的面積，有(1-15）特別指出：為使求得面積的值值為正值，本單元元節(jié)點(diǎn)號(hào)的次序必必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，如圖所示。。至于將哪個(gè)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)i，則沒有關(guān)系。將式(1-14））代入式(1-12）的第一式，，整理后得同理ijmxy（2）（1）（7）(1-16）式中(1-17）

ijm式(1-17）中（i、j、m）意指：按i、j、m依次輪換下標(biāo)，可得到aj、bj、cj～am、bm、cm。后面出現(xiàn)類似情況時(shí)，照此推理。式(1-17）表明：aj、bj、cj～am、bm、cm是單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。(1-16）令(1-18）

位移模式(1-16）可以簡寫為為(1-19）

式(1-19）中中的Ni、Nj、Nm是坐標(biāo)的函數(shù)，反反應(yīng)了單元的位移移形態(tài)，稱為單元元位移函數(shù)的形函函數(shù)。數(shù)學(xué)上它反反應(yīng)了節(jié)點(diǎn)位移對(duì)對(duì)單元內(nèi)任一點(diǎn)位位移的插值，又稱稱插值函數(shù)。(1-16）用形函數(shù)把式(1-16）寫成矩矩陣，有縮寫為(1-20）形函數(shù)是有限單元元法中的一個(gè)重要要函數(shù)，它具有以以下性質(zhì)：[N]為形函數(shù)矩矩陣，寫成分塊形形式：(1-21）其中子矩陣(1-22）[I]是2×2的的單位矩陣。（2）形函數(shù)性質(zhì)質(zhì)性質(zhì)1形函數(shù)Ni在節(jié)點(diǎn)i上的值等于1，在在其它節(jié)點(diǎn)上的值等于0。對(duì)對(duì)于本單元，有（i、j、m）性質(zhì)2在單元中任一點(diǎn)，，所有形函數(shù)之和和等于1。對(duì)于本單元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm圖1-3？？？xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1圖1-4也可利用行列式代代數(shù)余子式與某行行或列元素乘積的的性質(zhì)（等于行列列式值或0）證明明。性質(zhì)3在三角形單元的邊邊界ij上任一點(diǎn)（x，y），有xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1證圖1-5（1）性質(zhì)4形形函數(shù)在單元上的的面積分和在邊界界上的線積分公式式為(1-23）式中為邊的長度。1.4單元元應(yīng)變和應(yīng)力根據(jù)幾何方程(1-6）和位移函函數(shù)(1-16））可以求得單元應(yīng)應(yīng)變。1、單元應(yīng)變(1-6）對(duì)位移函數(shù)（式(1-16））(1-24）(1-16）求導(dǎo)后代入式(1-6），得到應(yīng)應(yīng)變和節(jié)點(diǎn)位移的的關(guān)系式。上式簡寫一般式：：(1-25）式中，[B]——單元應(yīng)應(yīng)變矩陣。對(duì)本問題，維數(shù)為為3×6。它的分分塊形式為：子矩陣(1-26）由于與x、y無關(guān)，都是常量，因此[B]矩陣也是常量。單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變分量是[B]矩陣與單元位移的乘積，因而也都是常量。因此，這種單元被稱為常應(yīng)變單元。2、單元應(yīng)力將式(1-25））代入物理方程式式(1-8），得得單元應(yīng)力(1-27）也可寫為(1-28）其中：[S]稱為為單元應(yīng)力矩陣，并有(1-29）這里，[D]是3×3矩陣，[B]是3×6矩陣陣，因此[S]也也是3×6矩陣。。它可寫為分塊形形式(1-30）將彈性矩陣（式(1-9））和和應(yīng)變矩陣（式(1-26））代代入，得子矩陣[Si]由式(1-29））(1-31）式(1-31）是平面應(yīng)力的結(jié)果。對(duì)于平面應(yīng)變問題，只要將上式中的E換成，換成即得。(1-32）由于同一單元中的的[D]、[B]矩陣都是常數(shù)矩矩陣，所以[S]矩陣也是常數(shù)矩矩陣。也就是說，，三角形三節(jié)點(diǎn)單單元內(nèi)的應(yīng)力分量量也是常量。當(dāng)然，相鄰單元的的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同同，因而具有不同同的應(yīng)力，這就造造成在相鄰單元的的公共邊上存在著著應(yīng)力突變現(xiàn)象。但是隨著網(wǎng)格的的細(xì)分，這種突變變將會(huì)迅速減小，，收斂于平衡被滿滿足。1.5單元平平衡方程1、單元應(yīng)變能能對(duì)于平面應(yīng)力問題題中的三角形單元元，設(shè)單元厚度為為h。將式(1-25））和(1-8）代代入上式進(jìn)行矩陣陣運(yùn)算，并注意到到彈性矩陣[D]的對(duì)稱性，有應(yīng)變能U為ijmxyh(1-25)(1-8）由于和T是常量，提到積分分號(hào)外，上式可寫寫成引入矩陣符號(hào)[k]，且有(1-33a）式(1-33a））是針對(duì)平面問題題三角形單元推出出的。注意到其中中hdxdy的實(shí)質(zhì)是任意的微微體積dv，于是是得計(jì)算[k]的的一般式。(1-33）式(1-33）不不僅適合于平面問問題三角形單元，，也是計(jì)算各種類類型單元[k]的的一般式。dv1.6節(jié)中將明確確[k]的力學(xué)意意義是單元?jiǎng)偠染鼐仃?。?1-33）便是計(jì)算單單元?jiǎng)偠染仃嚨幕揪仃囀?。它適適合于各種類型的的單元。單元應(yīng)變能寫成(1-34）2、單元外力勢勢能單元受到的外力一一般包括體積力、表面力和集中力。自重屬于體積力力范疇。表面力指指作用在單元表面面的分布載荷，如如風(fēng)力、壓力，以以及相鄰單元互相相作用的內(nèi)力等。。(1-33）（1）體積力力勢能單位體積中的體積積力如式(1-35））所示。單元上體積力具有有的勢能Vv為(1-35）ijmxy·qVxqVyijmxy·uv注意到式(1-20）有(1-20）（2）表面力力勢能面積力雖然包括單單元之間公共邊上上互相作用的分布布力，但它們屬于于結(jié)構(gòu)內(nèi)力，成對(duì)對(duì)出現(xiàn)，集合時(shí)互互相抵消，在結(jié)構(gòu)構(gòu)整體分析時(shí)可以以不加考慮，因此此單元分析時(shí)也就就不予考慮?，F(xiàn)在，只考慮彈性性體邊界上的表面面力，它只在部分分單元上形成表面面力（右下圖）。。設(shè)邊界面上單位面積積受到的表面力如下式：l—單元邊界界長度h—單元厚度度A—表面力力作用面積積①②③④qsqs沿厚度均均勻分布，，則單元表面面力的勢能能Vs為（3）集集中力勢勢能當(dāng)結(jié)構(gòu)受到到集中力時(shí)時(shí)，通常在在劃分單元元網(wǎng)格時(shí)就就把集中力力的作用點(diǎn)點(diǎn)設(shè)置為節(jié)節(jié)點(diǎn)。于是是單元集中中力Pc的勢能Vc為p①②③④③③p/2C（4）總勢能把(1-35）式中中原括符內(nèi)內(nèi)的部分用用列陣Fd代替，綜合以上諸諸式，單元元外力的總總勢能V為為(1-35）Fd具有和相同同的行、列列數(shù)。則(1-36）由單元的應(yīng)應(yīng)變能U(1-34）和外力力勢能V(1-36），可得得單元的總總勢能(1-37）將式(1-37）代代入，根據(jù)彈性力力學(xué)最小勢勢能原理：：結(jié)構(gòu)處于于穩(wěn)定平衡的必要和充充分條件是是總勢能有極極小值。3、單元平平衡方程于是有，(1-34）(1-36）式(1-38）是從從能量原理理導(dǎo)出的單單元平衡方方程。這個(gè)個(gè)方程表達(dá)達(dá)了單元力力與單元位位移之間的的關(guān)系。其其中，F(xiàn)d和單元節(jié)節(jié)點(diǎn)力F具有相相同的意義義。(1-38）即得單元平平衡方程1.6單單元?jiǎng)偠榷染仃嚻胶夥匠?1-38）中的矩矩陣[k]是單元力力和單元位位移關(guān)系間間的系數(shù)矩矩陣，代表表了單元的的剛度特性性，稱為單單元?jiǎng)偠染鼐仃?。單元元?jiǎng)偠染仃囮嚨捏w積為為nj×nj，nj是單元位移移總數(shù)。其其一般計(jì)算算公式為：：1、一般計(jì)計(jì)算公式它與單元應(yīng)應(yīng)變矩陣[B]和彈彈性矩陣[D]有關(guān)關(guān)。(1-33）對(duì)于平面應(yīng)應(yīng)力三角形形單元，應(yīng)應(yīng)變矩陣[B]是常常數(shù)矩陣，，同時(shí)彈性性矩陣[D]也是常常數(shù)矩陣，，于是式(1-33）可以化化簡為式中A表示示三角形單單元的面積積。h是單單元厚度。。2、平面問問題三角形形單元?jiǎng)偠榷染仃嚕?）平面面應(yīng)力三角角形單元(1-39）將式(1-9）和(1-26）代入上上式，即得平面應(yīng)應(yīng)力三角形形單元?jiǎng)偠榷染仃嚒憣懗煞謮K形形式，有(1-40）(1-9）(1-26）式(1-40)中子子矩陣[krs]為2×2矩陣，有有(1-41）（2）平面面應(yīng)變?nèi)墙切螁卧獙?duì)于平面應(yīng)變問題，須將上式中的E換為，換為，于是有，組合見式(1-40）其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函數(shù)式式(1-16）中的的系數(shù)(式式2-17)。(1-42）平面問題的的單元?jiǎng)偠榷染仃嘯k]不隨單單元（或坐坐標(biāo)軸）的的平行移動(dòng)動(dòng)或作n角度（n為整數(shù)）的的轉(zhuǎn)動(dòng)而改改變。由公式(1-41））、(1-42）知知，[krs]矩陣和其其中的br、cr、bs、cs（r、s=i、j、m）有關(guān)。①單元元平移時(shí)，，bi、ci不變。，組合見式(1-40）(3)三三角形單元元?jiǎng)偠染仃囮嚺c坐標(biāo)系系無關(guān)ijmxyo②單元元轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，，bi、ci不變。當(dāng)單元旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)，各節(jié)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)號(hào)保持不變變。如圖1-7所示示，圖a所所示的單元元旋轉(zhuǎn)時(shí)，到達(dá)圖圖b所示位位置。(1-17）

ijmyjymijm圖1-7xyo(b)xyo(a)jim可以證明，，這兩種情情形的[k]是相同同的。其實(shí)，推演演公式(1-40））、(1-41）、、(1-42）時(shí)并并沒有規(guī)定定坐標(biāo)系的的方位，當(dāng)當(dāng)坐標(biāo)系旋旋轉(zhuǎn)任意角角度時(shí)，也也不影響剛剛度矩陣的的結(jié)果。因因此，平面問題的的單元?jiǎng)偠榷染仃嚳梢砸哉J(rèn)為是結(jié)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系系中的單元元?jiǎng)偠染仃囮?，沒有坐坐標(biāo)變換問問題。(1-38）（1）單元元?jiǎng)偠染仃囮囍忻總€(gè)元元素有明確確的物理意意義例如，kij表示單元第第j個(gè)自由度產(chǎn)產(chǎn)生單位位位移(j=1)，其他自由度度固定（=0）時(shí)，，在第i個(gè)自由度產(chǎn)產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)點(diǎn)力Fi。主對(duì)角線上上元素kii(i=1,nj)恒為正值值。3、單元?jiǎng)倓偠染仃囆孕再|(zhì)（2）[k]的每一一行或每一一列元素之之和為零F1=0F2=0F3=0Fi=0Fj=0Fnj=0rst11以上式中第第i行為例，當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)點(diǎn)沿x向或y向都產(chǎn)生單位位位移時(shí)，，單元作平動(dòng)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，無無應(yīng)變，也也無應(yīng)力。。則有：即：[k]的每一行行元素之和和為零。根根據(jù)對(duì)稱性性，每一列列元素之和和也為零。。rstxy圖1-6（3）[k]是對(duì)稱稱矩陣由[k]各元元素的表達(dá)式，，可知[k]具有對(duì)對(duì)稱性。njnj對(duì)于主對(duì)角角線元素對(duì)對(duì)稱。對(duì)稱稱表達(dá)式：：kij=kji證明①kij表示當(dāng)單元元位移中第第j個(gè)元素為1(j=1)其余元素為為零時(shí)，引引起的單元元力中的第第i個(gè)節(jié)點(diǎn)力Fi②kji表示當(dāng)單元元位移中第第i個(gè)元素為1(i=1)其余元素為為零時(shí)，引引起的單元元力中的第第j個(gè)節(jié)點(diǎn)力Fj第i自由度第j自由度位移i=1j=1力Fi=kijFj=kji虛功Fi

i=kijFj

j=kji由虛功原理理，得kij=kji（4）單元元?jiǎng)偠染仃囮囀瞧娈惥鼐仃嚰碵k]的的行列式為為零（由行行列式性質(zhì)質(zhì)）。單元?jiǎng)偠染鼐仃囀窃趩螁卧幱谄狡胶鉅顟B(tài)的的前提下得得出的。單單元作為分分離體看待待，作用在在它上面的的外力（單單元力）必必定是平衡衡力系。然然而，研究究單元平衡衡時(shí)沒有引引入約束。。承受平衡力力系作用的的無約束單單元，其變變形是確定定的，但位位移不是確確定的。所以出現(xiàn)性性質(zhì)（3））中的“平平動(dòng)問題””，即單元元可以發(fā)生生任意的剛剛體運(yùn)動(dòng)。。從數(shù)學(xué)上上講，方程程(1-28）的解解不是唯一一的或不能能確定的。。由此，單單元?jiǎng)偠染鼐仃囈欢ㄊ鞘瞧娈惖?。。?）單元元?jiǎng)偠染仃囮囀浅Ａ烤鼐仃噯卧蛦螁卧灰瞥沙删€性關(guān)系系是基于彈彈性理論的的結(jié)果。4、例：平平面應(yīng)力直直角三角形形單元?jiǎng)偠榷染仃噲D1-8示示出一平面面應(yīng)力直角角三角形單單元，直角角邊長分別別為a、b，厚度為為h，彈性性模量為E，泊松比比為，計(jì)算單元元?jiǎng)偠染仃囮?。圖1-8ijmabxy第一步：計(jì)計(jì)算bi、ci和單元面積A。圖1-8（1-17）

ijmabxyXi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0b0j0b0am00-b-a表2-1單單元節(jié)點(diǎn)坐坐標(biāo)和bi、ci值（i、j、m）參數(shù)節(jié)點(diǎn)單元面積:A=ab/2①計(jì)算算步驟第二步：求求子矩陣由式(1-41），，算得其他從略。。第三步：形形成[k]將[kii]等按式(1-40）組集成成[k]。。(1-43a）2i-12i2j-12j2m-12m2i-12i2j-12j2m-12m紅色號(hào)碼是單元位移移（1、2、…）在結(jié)結(jié)構(gòu)中對(duì)應(yīng)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位位移的序號(hào)號(hào)。ijmijmi、j、m表示單元中中3個(gè)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)系系統(tǒng)中的編編號(hào)。當(dāng)a=b時(shí)時(shí)，即等腰腰直角三角角形單元，，有(1-43b）ijmijm1.7等等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力從前面單元元分析可以以看出：單單元平衡所所用到的的的量均要屬屬于節(jié)點(diǎn)的的量，如單單元位移、、單元力。。載荷亦應(yīng)應(yīng)如此，必必須將體積積力、表面面力轉(zhuǎn)化到到節(jié)點(diǎn)上去去，成為等等價(jià)節(jié)點(diǎn)力力（載荷））。在第2.5節(jié)中中已經(jīng)得到到了公式(1-35）和(1-36））。這里，F(xiàn)d就是體積積力、表面面力和集中中力之和的的總等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力。(1-35）(1-36）(1-44）把總等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力Fd分解成體積積力、表面面力和集中中力的等價(jià)價(jià)節(jié)點(diǎn)力之之和，有FV——單元元上體積力力的等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力FS——單元元上表面力力的等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力pC——單元元上節(jié)點(diǎn)上上的集中力力注意到式(1-35），得體體積力等價(jià)價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)計(jì)算公式：：表面力的等等價(jià)節(jié)點(diǎn)力力計(jì)算公式式：(1-45）(1-46）1、體積力力的等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力2、表面力力的等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力3、等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算算舉例（1）單元元自重圖1-9所所示平面應(yīng)應(yīng)力三角形形單元，單單元厚度為為h。單元元單位體積積自重為，自重指向向y軸的負(fù)負(fù)方向。PvixPviyPvjxPvjyPvmxPvmy(1-45）①計(jì)計(jì)算式(1-21）圖1-9xyijm-注意到形函函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)4：(1-23）得自重荷載載的等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力(1-22）（i,j,m）根據(jù)體積力力和式(1-45））、(1-21）、、(1-22），得得(1-47）上式表明：：自重載荷荷的等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力為單單元重量的的1/3。。（2）均布布面力ijm圖1-10xyqs單元邊界上上作用了均均勻的分布布力，如圖圖1-10所示，其其集度為qs。(1-46）(1-21）根據(jù)式(1-46））、(1-21）和和(1-22）①計(jì)計(jì)算式注意到形函函數(shù)性質(zhì)4：(1-23）得(1-48）(1-22）均勻分布力力的等價(jià)節(jié)節(jié)點(diǎn)力為式(1-48）表明明：在ij邊上受均均布面力的的平面問題題三角形單單元，其等等價(jià)節(jié)點(diǎn)力力等于將均均布面力合合力之半簡簡單地簡化化到i、j節(jié)點(diǎn)上，方方向與分布布力方向相相同。m節(jié)節(jié)點(diǎn)上為零零。(1-48）ijmxyqsxFs1Fs3ijmxyqsyFs2Fs4（3）線性性分布面力力ijm圖1-11xys表面力集度在i點(diǎn)為[qsxqsy]T，而在j點(diǎn)為0。設(shè)坐標(biāo)軸s的原點(diǎn)取在j點(diǎn)，沿ji為正向，。ij邊上任一點(diǎn)點(diǎn)的面力集集度qssqsiqsijm圖1-12xysl在ij邊上有：將qs和上式代入入式(1-46），，有由形函數(shù)的的性質(zhì)3：：(1-49）式(1-49）表明明：ij邊邊受線性分分布面力：：i點(diǎn)為[qsx,qsy]T，j點(diǎn)為0時(shí)，其等價(jià)價(jià)節(jié)點(diǎn)力可可將總載荷荷的2/3分配給i點(diǎn)，1/3分配給給j點(diǎn)，m點(diǎn)為零得得出。xyijmqsiqs體積力和表表面力向節(jié)節(jié)點(diǎn)的移置置符合靜力力等效原理理的前提條條件是：線線性位移模模式。1.7系系統(tǒng)分析析1.7.1坐坐標(biāo)系研究各離散散單元集合合成整體結(jié)結(jié)構(gòu)，集合合整體結(jié)構(gòu)構(gòu)的平衡和和變形協(xié)調(diào)調(diào)，建立整整體結(jié)構(gòu)平平衡方程。。單元分析析時(shí)采用用的坐標(biāo)標(biāo)系成為為局部坐坐標(biāo)或單單元坐標(biāo)標(biāo)（單元元?jiǎng)偠染鼐仃嚨耐ㄍㄓ眯裕?。而結(jié)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)統(tǒng)分析時(shí)時(shí)，必須須在統(tǒng)一一的坐標(biāo)標(biāo)系內(nèi)進(jìn)進(jìn)行（各各力學(xué)量量才能疊疊加），，稱為“結(jié)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)標(biāo)”或““整體坐坐標(biāo)”，如圖1-13所示。。單元坐標(biāo)系下，單元位移、單元力、單元?jiǎng)偠染仃嚤硎緸椋赫w坐標(biāo)系下，單元位移、單元力、單元?jiǎng)偠染仃嚤硎緸椋篨YXYP○○○○○P圖（1-13）(a)平面桁架(桿件單元)懸臂深梁(平面三角形單元)xyxyxyxy如何從單單元坐標(biāo)標(biāo)轉(zhuǎn)化為為結(jié)構(gòu)坐坐標(biāo)將在在第4章章中討論論。1.7.2整整體剛剛度矩陣陣假設(shè)整體體結(jié)構(gòu)被被劃分為為ne個(gè)單元和和n個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)，在在整體坐坐標(biāo)系下下，對(duì)于于每個(gè)單單元均有有：將上述這這些方程程集合起起來（整整體坐標(biāo)標(biāo)下疊加加），便便可得到到整個(gè)結(jié)結(jié)構(gòu)的平平衡方程程。為此此，需要要將[k]、{δ}、{F}體積積膨脹，，分別擴(kuò)擴(kuò)大為n1×n1、n1×1和n1×1的矩陣才才能相加加。膨脹脹后，原原有節(jié)點(diǎn)點(diǎn)號(hào)對(duì)應(yīng)應(yīng)位置的的元素不不變，而而其它元元素均為為零。組裝方法法：建立一個(gè)個(gè)體積為為n1××n1的的方陣，，按單元元序號(hào)依依次把結(jié)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)標(biāo)單元?jiǎng)倓偠染仃囮嚨脑厮胤湃朐撛摲疥囍兄?。放入方法法：?）按按單元節(jié)節(jié)點(diǎn)編碼碼對(duì)號(hào)入座座；（（2））同位置元元素累加加。式中：[K]為為整體剛剛度矩陣陣，{Δ}為整體體節(jié)點(diǎn)位位移列陣陣；{P}為整整體等價(jià)價(jià)節(jié)點(diǎn)荷荷載列陣陣。如下下：（1-50）ijmijm例：平面面三角單單元雙行雙列列1.7.3結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩矩陣特性性1、結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩矩陣元素素的力學(xué)學(xué)意義把方程(1-50）寫寫開，=1=0=0=0=0=0(1-51）2、結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩矩陣是對(duì)對(duì)稱矩陣陣已知單元元?jiǎng)偠染鼐仃囀菍?duì)對(duì)稱矩陣陣（1.7節(jié)）），用單單元?jiǎng)偠榷染仃嚱M組集結(jié)構(gòu)剛度度矩陣的的過程又沒沒有破壞壞其對(duì)稱性性，結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩陣陣必然也也是對(duì)稱的的。當(dāng)然然，對(duì)稱性也也可以通通過虛功原原理得到到證明。。結(jié)構(gòu)剛度度矩陣中中的任一一元素kij是j為單位位位移（j=1），其它位位移為零零時(shí)的Pi。3、結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩矩陣主對(duì)對(duì)角線上上的元素素恒為正正值由性質(zhì)(1)可可知，任任一主對(duì)對(duì)角線上上元素kii是使節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移i為一單位位位移，，其它節(jié)節(jié)點(diǎn)位移移為零時(shí)時(shí)必須在在第i號(hào)位移方方向施加加的力Pi。它的方方向自然然應(yīng)與位位移方向向相同，，因而是是正值。。4、結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩矩陣是一一個(gè)稀疏疏矩陣稀疏矩陣陣指：存存在大量量零元素素。非零零元素稀稀疏排列列。矩陣的每每一列都都有很多多零元素素?？疾觳炀仃囍兄械趈列。再分析圖圖（1-14））。設(shè)節(jié)節(jié)點(diǎn)b發(fā)發(fā)生單位位位移j=1，其其它位移移為零時(shí)時(shí)，j只能在與與點(diǎn)節(jié)b有直接接聯(lián)系的的q、、r節(jié)點(diǎn)引引起節(jié)點(diǎn)點(diǎn)力，不不能在其它節(jié)節(jié)點(diǎn)引起起節(jié)點(diǎn)力。所以以式（1-52）中，只有有和q、、p、r、b節(jié)點(diǎn)位位移的相相關(guān)元素素才不為零零，其余余的元素素都是零元元素。任一元素素kij是j=1（其其它=0）引引起的Pi（i=1、2…）（1-52）j=1t圖（1-14）pqrscbb其它各列列的情況況也是類類似的。。結(jié)構(gòu)的節(jié)節(jié)點(diǎn)總數(shù)數(shù)通常都都比直接接環(huán)繞于于任何一一個(gè)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)點(diǎn)數(shù)大得得多，因因而，結(jié)結(jié)構(gòu)剛度度矩陣中中很大一一部分元元素是零零，即所所謂的稀稀疏矩陣陣。5、結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩矩陣是一一個(gè)奇異異矩陣從單元?jiǎng)倓偠染仃囮嚨钠娈惍愋杂懻撜撝兄?，，處于靜力力平衡狀狀態(tài)的無無約束單單元可以以發(fā)生任任意的剛剛體位移移。與單元元?jiǎng)偠染鼐仃囀瞧嫫娈惥仃囮嚨睦碛捎梢粯?，，無約束束結(jié)構(gòu)的的結(jié)構(gòu)剛剛度矩陣陣[K]也是奇奇異矩陣陣，即[K]的的行列式式為零。。1.7.6引引入入支承約約束的結(jié)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)平衡方方程6、結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩矩陣是常常量矩陣陣結(jié)構(gòu)剛度度矩陣是是常量矩矩陣。結(jié)結(jié)構(gòu)的節(jié)節(jié)點(diǎn)力和和節(jié)點(diǎn)位位移成線線性關(guān)系系都是基基于彈性性理論的的結(jié)果。。（1-53）用平衡方方程（1-53）是解解不出結(jié)結(jié)構(gòu)的節(jié)節(jié)點(diǎn)位移移的的，因?yàn)闉榻Y(jié)構(gòu)剛剛度矩陣陣是奇異異矩陣。。因此，，必須引入約束束，排除除任何剛剛體位移移，使結(jié)結(jié)構(gòu)為幾幾何不變變體系。。方程（1-53）中的的剛度矩矩陣[K]和節(jié)節(jié)點(diǎn)荷載載向量列列陣P可可分割為為約束和和自由兩兩部分：：（1-54）式中，Pr是支承承反力，，約束位位移自由約束(1-55）(1-56）展開（1－54），有有：[Kff]——引引入約束束后的結(jié)結(jié)構(gòu)剛度度矩陣。。它通對(duì)對(duì)[K]引入約束束后獲得得，具體方法法:從從無約約束的結(jié)結(jié)構(gòu)剛度度矩陣[K]中中刪去與與受約束束位移號(hào)號(hào)對(duì)應(yīng)的的行和列列，再將將矩陣壓壓縮排列列成n××n階方方陣，即即為約化化后的結(jié)結(jié)構(gòu)剛度度矩陣[Kff]。[Kff]這是一一個(gè)非奇奇異矩陣陣，它存存在逆矩矩陣。方程(1-55）是引引入約束束后的結(jié)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)平衡方方程，用用于計(jì)算算結(jié)構(gòu)所所有非剛剛性約束束節(jié)點(diǎn)的的節(jié)點(diǎn)位位移。而而方程(1-60）可以以用來計(jì)計(jì)算結(jié)構(gòu)構(gòu)所有受受剛性約約束節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的反力力。(1-61）由式(1-55）即可可解出全全部未知知的節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移：：1.7.7節(jié)節(jié)點(diǎn)位位移和單單元力的的解答1、結(jié)構(gòu)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位位移2、支座座反力把解出的的f代入(1-56），，即得支支座反力力Pr：關(guān)于方程程(1-61）的解解算方法法，當(dāng)[Kff]采用本本章中上上述方法法組集時(shí)時(shí)，可直直接采用用結(jié)構(gòu)力力學(xué)中的的高斯（（Gauss））法求解解。(1-56）至此，我我們可以以看出：：系統(tǒng)分分析的主主要任務(wù)務(wù)是：（1）組組集引入入約束后后的結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度矩矩陣[Kff]；（2）求求解式(1-55）給給出的線線性代數(shù)數(shù)方程組組。算出出全部未未知的節(jié)節(jié)點(diǎn)位移移。至于支座座反力的的計(jì)算，，實(shí)際計(jì)計(jì)算時(shí)，，根本不不去組集集式