中等職業(yè)教育“高教設杯”數(shù)學教學設計大賽設計文稿直線的方向向量與點向式方程（教學設計）yyx0l山東省淄博建筑工程學校賈艷2007年6月一、對教材的理解把握直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何的入門。從知識上說，通過直線與點向式方程的教學，使學生從感性上認識直線與二元一次方程的關系，學習如何根據(jù)已知條件求出直線的方程，又如何運用直線的方程研究有關直線的幾何問題的方法。從方法上說，它為我們研究點斜式，點法式，一般式方程提供了基本模式和理論基礎，因此本課是后繼課堂的關問題研究的前驅。二、對教學目標的闡述㈠知識與技能目標1.掌握直線的方向向量的概念以及直線的點向式方程；直線的點向式方程，能夠解決相關的直線問題；㈡過程與方法目標1.通過對直線方程的推導，滲透數(shù)形結合、待定系數(shù)等數(shù)學思想方法，進一步提高學生的觀察、比較、分析、概括等思維能力。2.學會借助實例分析、探究數(shù)學問題。㈢情感與價值觀目標1.通過對學生的主動參與，教師與學生、學生與學生之間的合作交流，提高學生的學習興趣，激發(fā)求知欲，培養(yǎng)探索精神。2.樹立事物之間相互聯(lián)系，相互轉化的辯證唯物主義觀點。三、教學對象分析有利情況:初中階段學生已學習了一次函數(shù)的圖像，對直線和方程的概念有了一些了解運用的經(jīng)驗，用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識。不利情況：職校生基礎差，底子薄，剛剛接觸解析幾何，學習程度也較淺，在學習過程中難免會有些困難。如：由于學生對坐標法解決幾何問題掌握還不夠，因此學生思維上會存在障礙。四、重、難點分析及突破重點：直線的方向向量、點向式方程及其應用難點：三種直線方程的推導突出重點的策略：為突出第一個重點，在教學設計中采用設置了循序漸進、逐層推進的設問方法，引導學生主動探索，自己構建新知識。為突出第二個重點，我采用的是對比分析法，使學生在兩個方程的對比中逐漸清晰方程②的優(yōu)點，并通過層層深入的習題配置，以突出其重點。突破難點的策略：為突破難點，在設計中重點采用了“小組討論”的教學方法，讓學生親身經(jīng)歷知識的形成過程，讓他們在積極主動中集中智慧和意志，通過充分的思維活動去發(fā)現(xiàn)、獲取知識，發(fā)揮、拓展能力。五、教法和學法分析數(shù)學學習不是一個“授予——吸收”的過程，而是學習者主動的建構過程。高一學生已具備了一定的基礎知識和技能，因此，本節(jié)課采用了“誘思探究”、“小組討論”的教學方法，借助學生已有的知識引出新知。在方程的推導過程中，以一系列的問題為主線，采用討論式，引導學生主動探索，自己構建新知識，通過層層深入的例題配置，使學生思路逐步開闊，提高解決問題的能力。借助多媒體，增強教學的直觀性，有利于滲透數(shù)形結合的思想，同時增大課堂容量，提高課堂效率。六、教學過程教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖組織教學引入新課（2分鐘）由華羅庚先生的“數(shù)無形時少直觀，形無數(shù)時難入微?！边@一精辟詩句闡明“數(shù)形結合”對數(shù)學研究和學習的重要性，解析幾何是“數(shù)形結合”的典范，進而講述笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的小故事，引出課題。教師講述。把新知識融入故事與實際生活中，從真實的情景切入學習的主題，即培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，又不會讓學生覺得枯燥無味。概念形成（7分鐘）一、直線的方向向量1、引入：師：打臺球是我們生活中一項即可健身又可娛樂的體育活動……引出臺球畫面設問1：是什么改變引起母球運動路線的改變呢？設問2：又是什么改變引起母球運動路線的改變呢？教師出示臺球畫面兩次擊打后教師引出設問1。學生觀察后回答，教師予以表揚和肯定。第三次擊打后，教師引導學生觀察第一次和第三次引教師借助學生比較熟悉的事物入手，設置問題，引出數(shù)學問題，引導學生主動探索，自己構建新知識。這樣可提高學生的學習興趣，培養(yǎng)探索精神，為得到直線的方向向量做好準備。教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖概念形成（7分鐘）設問3：那你能說出確定母球運動路線的要素是什么呢？教師：“我們給確定直線方向的這個非零向量起個名叫它什么好呢？”引出：2、方向向量的定義：與一條直線平行的非零向量叫做直線的方向向量。3、方向向量的理解：讓學生加深對定義的理解，教師設置以下設問：設問1：是直線的方向向量需滿足幾個條件？設問2：直線的方向向量是唯一的嗎？設問3：有多少個呢？設問4：直線的方向向量為什么有無數(shù)個？出設問2。學生回答。學生回答，教師予以肯定和鼓勵。教師引導學生由設問3的答案抽象出數(shù)學問題“一點和一非零向量可以確定一條直線?！睂W生閱讀定義回答設問1。學生根據(jù)猜想回答設問2。學生回答。對于設問4學生回答有困難，教師出示演示。根據(jù)演示引通過一系列的設問和演示可使學生對定義有深刻地理解，并能自己建構新知識，培養(yǎng)獲取新知識的能力。教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖概念形成（7分鐘）4、出示其定義性質(zhì)。一條直線的方向向量有無數(shù)個，這無數(shù)個方向向量是平行的。如果是直線的一個方向向量，則也是直線的一個方向向量。導學生探索出其性質(zhì)。教師出示學生齊讀通過齊讀再次理解并感受其性質(zhì)直線方程的形成（10分鐘）師：已知一點和一方向向量可以確定一條直線，如果已知點的坐標和方向向量的坐標能否確定直線方程呢？引出：二、直線方程的推導1、出示問題：求過點P0，并且一個方向向量為的直線l的方程。2、探究問題：我們來探究：①閱讀討論求直線l的方程有哪些步驟？教師出示教師出示學生4人一組針對問題展開討論。教直線方程的推導是本節(jié)課的一個主要內(nèi)容，其推導步驟也是求點法式方程和圓的方程的基本步驟，把該過程教給學生通過小組討論的形式自己探索，讓學生親身經(jīng)歷知識的形成過程，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，可加深對知識的理解，并逐步提高用代數(shù)方法解決幾何教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖直線方程的形成（10分鐘）②原因是什么？③平面向量平行的坐標表示是什么？④方程1如何變形為方程2？3、解決問題：設問1：通過上述的閱讀、討論，求直線方程首先要干什么？⑴設點：設P(x,y)是直線l上任意一個點設問2：其次是什么？⑵找點滿足的幾何條件：則點P在直線l上的充分必要條件是。設問3：？平面向量平行的坐標表示是什么？⑶條件坐標化：師巡視，針對個別小組進行指導。學生回答教師出示并總結出“設點”。學生回答教師出示并總結出“找點滿足的幾何條件”。學生回答教師予以肯定并表揚。學生回答教師出示進而引導學生得出問題的能力。通過連續(xù)提問一個個，一組組彼此相關，循序漸進的探索性問題，可誘導學生去發(fā)現(xiàn)問題，分析問題和創(chuàng)造性的解決問題。在這種方式下，讓學生帶著問題去學習，從而激發(fā)學生探究的欲望。教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖直線方程的形成（10分鐘）①設問4：如果且方程①又可轉化為什么形式？是如何轉化？⑷根據(jù)且得②求直線方程的步驟。讓學生感受數(shù)形結合的思想，并強調(diào)說明直線與方程①之間有一一對應的關系。教師引導學生觀察①和②的共同確定條件得出兩個方程都可以叫做直線的點向式方程。教師進一步引導學生觀察①和②的有利與不利情況得出②式是點向式方程的標準式，是重點。通過對比分析可有利于學生記憶方程形式，理解限制條件，加深對重點知識的理解和掌握。特殊直線方程的形成（4分鐘）師：方程②具有局限性，那如果中有一坐標為零，此時直線方程應是怎樣的呢？引出：三、特殊直線方程的推導1、出示問題：過點P0（x0、y0），且課堂提問其問題要富有引發(fā)性，在設置問題時，可以有教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖特殊直線方程的形成（4分鐘）一個方向向量為=(0,v2)(v2≠0)的直線方程.2、探究問題：設問1：方向向量平行于哪條坐標軸？設問2：你能過P0點畫出其直線嗎？設問3：直線上點的橫坐標具有什么特征呢？3、解決問題：直線方程：直線特點:過點P0（x0、y0）,且垂直于x軸.師：如果=(v1，0)(v1≠0)時，你能寫出其直線方程及直線特點嗎？引出：4、試一試：你能寫出過點P0（x0、y0），且一個方向向量為=(v1，教師出示教師提問學生回答教師出示教師出示意識地拓展學生思維，啟迪學生智慧。利用新知識，新問題與學生已有認知結構的矛盾，提出學生力所能及，而且富有挑戰(zhàn)性的問題。也就是“跳一跳，摘桃子”，只有這樣才能有效地調(diào)動學生學習狀態(tài)，讓他們在積極主動中集中智慧和意志，通過充分的思維活動去發(fā)現(xiàn)、獲取知識，發(fā)揮、拓展能力。在試一試中通過和上述問題對比思考，有利于學生理解掌握新知識，又有利于學生建立x=x0與y=y0之間的聯(lián)系，區(qū)別其異同點，形成教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖特殊直線方程的形成（4分鐘）三種方程的跟蹤檢測（3分鐘）0)(v1≠0)的直線方程及直線特點嗎？5、出示結論：直線方程：直線特點:過點P0（x0、y0）,且垂直于y軸.6、應用結論1、下列各點中在直線y=2x-1上的是（）A(2,0)B(0,1)C(0,-1)D(-2,3)2、根據(jù)直線滿足的條件填空：一個點一個方向向量點向式方程3、根據(jù)直線滿足的條件填空：一個點一個方向向量點向式方程學生討論后回答教師出示1、2題小組必答，若答錯再搶答對于第2題教師再次強調(diào)點向式方程的特性。教師給各小組獎勵良好的認識結構，促進學生思維能力的發(fā)展。讓學生對知識的來龍去脈有個更清晰地認識，通過小組討論，使優(yōu)等生知識更牢固，落后生能查缺補漏。鞏固所學知識，進一步熟悉三種直線方程的特點。再此環(huán)節(jié)設置了答對一個題可以為該組贏得獎品一個，既發(fā)揚了學生團結合作的精神，又培養(yǎng)了學生的競爭意識。教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖知識應用（6分鐘）例題1、求通過點A（1，-2）且一個方向向量為的直線方程。設問1：直線滿足幾個條件？設問2：根據(jù)條件你能寫出什么方程？設問3：本題求的是什么方程？跟蹤練習：將檢測1的第二題加上求直線方程例題2、求過點A（-2，1）和點B（1，3）的直線方程。設問1：與例題1想比條件發(fā)生了什么變化？設問2：根據(jù)已知條件應去確定什么量？設問3：已知A、B兩點確定的向量可以是什么呢？還有嗎？設問4：你能說出本題的思路了嗎？教師出示學生回答學生搶答教師出示例1，學生對比例1回答設問。兩名學生用不同方法板演。一組、三組教師在設問中要有意識地設置懸念，讓學生積極思維，這有利于激發(fā)學生運用已有知識主動攻克疑難，從而獲得新知識，提問時圍繞了新知識的“生長點”因此促進并完成了新知識的遷移。教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖用同種方法，二組、四組用另外一種方法。教師巡視針對個別學生指導。集體點評學生板演。并給答對小組獎勵。檢測反饋（10分鐘）檢測1：根據(jù)直線滿足的條件填空條件點向式方程直線方程檢測2：直線y=3x+b經(jīng)過原點的充要條件是（）Ab=0Bx=0Cy=0Db≠02、寫出下列直線經(jīng)過的一個點P和一個方向向量⑴⑵檢測1小組必答。若答錯再搶答。集體點評。并給答對者獎勵。檢測2搶答，集體點評。并給答對者獎勵。教師引導學生重點點評第⑵個。通過檢測練習，可檢測學生學習情況，進一步鞏固本節(jié)課所學知識。教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖檢測反饋（10分鐘）⑶請你當專家小河同側有兩個村莊A,B，兩村莊計劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用，已知A,B兩村到河邊的距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處送電到兩村電線用料最省？DDxy0ABA1PC學生說思路，教師點評總結，從而把實際問題過渡成數(shù)學問題“求發(fā)電的位置實際就是求直線A1B上點p的坐標?！睂W生對照例2討論求直線A1B，進而求出點p的坐標。數(shù)學來源于生活，數(shù)學又服務于生活。把數(shù)學知識與生活問題相聯(lián)系，以體現(xiàn)知識的深化性，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，提高學生的學習興趣。并且再次鞏固例2的應用。歸納總結（2分鐘）談收獲①掌握了什么是直線的方向向量，且根據(jù)直線上兩點會求直線的方向向量。②根據(jù)條件會求直線的點向式方程及直線方程.③能應用數(shù)形結合法學生談收獲，教師補充完善。學生反思總結，可以提高學生自己獲取知識的能力以及歸納概括能力，同時使自己的認知結構更完善，知識更系統(tǒng)化。教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生活動設計意圖歸納總結（2分鐘）解決簡單的直線問題.④會用數(shù)學知識解決實際問題。師生共同總結小組學習情況。選出優(yōu)勝小組，并對學生本節(jié)課的表現(xiàn)加以肯定和鼓勵。作業(yè)布置（1分鐘）A層：獨立完成練習8-1、6；B層：合作完成已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別是A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)，求對角線BD所在的方程。在有必做題的基礎上，再讓學生自由選擇作業(yè)，這樣可以讓“差生吃得飽，優(yōu)生吃得好”，以突出我校的分層次教學。板書設計直線的方向向量與點向式方程直線的方向向量點向式方程（且）（且）（且）應用：已知一點和一方向向量求直線方程。已知兩點求直線方程。四、學生板演教學自我評價與感想直線是最簡單的圖形，是學生比較熟悉的。初中平面幾何對直線的基本性質(zhì)作了比較系統(tǒng)的研究，因此這節(jié)課的重點確定為用解析法研究直線的點向式方程及根據(jù)題中具