6.2.4組合數(shù)（同步檢測）一、選擇題1.方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)的解集為()A.{4}B.{14}C.{4,6}D.{14,2}2.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種3.(2022年瀘州二模)2022年北京冬奧會速度滑冰、花樣滑冰、冰球三個項目競賽中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)各自選擇一個項目開展志自愿者服務(wù)，則甲和乙均選擇同一個項目，且三個項目都有人參加的不同方案總數(shù)是()A.18B.27C.36D.484.某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課5門，一位同學(xué)要從中選3門．若要求A類課程中至少選1門，則不同的選法共有()A.15種B.30種C.45種D.46種5.十二生肖是中國特有的文化符號，有著豐富的內(nèi)涵，它們是成對出現(xiàn)的，分別為鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對．每對生肖相輔相成，構(gòu)成一種完美人格．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，按照上面的配對分成六份．甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一份作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，如果甲、乙、丙三位同學(xué)選取的禮物中均包含自己喜歡的生肖，則不同的選法種數(shù)共有()A.12種B.16種C.20種D.24種6.將標號為1，2，3，4，5的五個小球放入三個不同的盒子中，每個盒子至少放一個小球，則不同的放法總數(shù)為()A.150B.300C.60D.907.(多選)下列等式正確的是()A.Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)B.Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C.Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1)D.Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)8.(多選)男、女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生的人數(shù)可能是()A.1B.2C.3D.4二、填空題9.從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎、2名二等獎、3名三等獎，則可能的決賽結(jié)果共有________種．10．5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個小球，共有________種不同的方法(用數(shù)字作答)．11.(2022年德州月考)2022年2月4日，冬季奧運會在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行．某冬奧會場館為安全起見，計劃將5個安保小組安排到指定的三個區(qū)域內(nèi)工作，且每個區(qū)域至少有一個安保小組，至多有兩個安保小組，則這樣的安排方法共有________種．12.已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，則m=_______三、解答題13.計算：Ceq\o\al(3n,11＋n)＋Ceq\o\al(3n－1,10＋n)＋Ceq\o\al(3n－2,9＋n)＋…＋Ceq\o\al(3n－6,2n)(n＞4，n∈N*)．14.(1)計算Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,n＋21)的值；(2)求使3Ceq\o\al(x－7,x－3)＝5Aeq\o\al(2,x－4)成立的x值．15.有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．(1)恰有1個空盒，有幾種放法？(2)恰有2個盒子不放球，有幾種放法？16.6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組2本(平均分組)；(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組)．參考答案及解析：一、選擇題1.C解析:由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14－2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或6.2.C解析:由題意知，選2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生的方法有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,5)＝75(種)．3.C解析:因為甲和乙選擇同一個項目，所以把甲和乙看作一個元素，與丙、丁、戊分配到三個項目，因為三個項目都有參加，所以有一個項目是2個元素，所以共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝6×6＝36種方案．故選C．4.D解析：分三類，A類選修課選1門，B類選修課選2門，或A類選修課選2門，B類選修課選1門，或A類選修課選3門，B類選修課選0門，因此共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(3,3)＝46種選法．5.B解析：由題意可得：①甲選鼠和牛，乙同學(xué)有2種選法，丙同學(xué)有4種選法，共有2×4＝8，②甲選馬和羊，乙同學(xué)有2種選法，丙同學(xué)有4種選法，共有2×4＝8，綜上共有8＋8＝16種．]6.A解析：根據(jù)題意，分2步進行分析：①將5個小球分成3組，若分為1、2、2的三組，有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝15種分組方法，若分為1、1、3的3組，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10種分組方法，則有15＋10＝25種分組方法，②將分好的三組放入三個不同的盒子中，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種情況，則有25×6＝150種放法．]7.ABC8.BC解析:設(shè)女生有n人，則男生有(8－n)人，由題意得Ceq\o\al(2,8－n)·Ceq\o\al(1,n)＝30，即eq\f(8－n7－n,2)·n＝30，將選項中的值分別代入驗證，得n＝2和n＝3滿足方程，n＝1和n＝4不滿足方程．故選BC．二、填空題9.答案：60解析：根據(jù)題意，所有可能的決賽結(jié)果有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝6×eq\f(5×4,2)×1＝60(種)．10.答案:150解析:先把5個小球分組，分法有些2,2,1和3,1,1，兩種，再放入3個不同的盒子，故不同的方法共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＋C\o\al(3,5)))Aeq\o\al(3,3)＝150(種)．11.答案:90解析：先將保安小組進行分組，然后安排到三個區(qū)域，所以不同的安排方法有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝eq\f(10×3,2)×6＝90種．12.答案：2解析：依題意，m的取值范圍是{m|0≤m≤5，m∈N*}．原等式化為eq\f(m！5－m！,5！)－eq\f(m！6－m！,6！)＝eq\f(7×m！7－m！,10×7！)，化簡得m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2.因為0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21應(yīng)舍去，所以m＝2.三、解答題13.解：根據(jù)組合數(shù)公式的限制條件，原式中的n必須適合于不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＋n≥3n≥0，,2n≥3n－6≥0，,n＞4，,n∈N*，))解得n＝5.∴Ceq\o\al(3n,11＋n)＋Ceq\o\al(3n－1,10＋n)＋Ceq\o\al(3n－2,9＋n)＋…＋Ceq\o\al(3n－6,2n)＝Ceq\o\al(15,16)＋Ceq\o\al(14,15)＋Ceq\o\al(13,14)＋…＋Ceq\o\al(9,10)＝Ceq\o\al(1,16)＋Ceq\o\al(1,15)＋Ceq\o\al(1,14)＋…＋Ceq\o\al(1,10)＝eq\f(16＋10,2)×7＝9114.解：(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，,3n≤n＋21，))∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10.∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,n＋21)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝eq\f(30×29,2×1)＋31＝466.(2)根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為3·eq\f(x－3！,x－7！4！)＝5·eq\f(x－4！,x－6！)，即eq\f(3x－3,4！)＝eq\f(5,x－6)，即(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.又∵x∈N*，∴x＝11.15.解：(1)先從4個小球中取2個放在一起，有Ceq\o\al(2,4)種不同的取法，再把取出的2個小球與另外2個小球看成三堆，并分別放入4個盒子中的3個盒子里，有Aeq\o\al(3,4)種放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144種不同的放法．(2)恰有2個盒子不放球，也就是把4個不同的小球只放入2個盒子中．有兩類放法：第一類，1個盒子放3個小球，1個盒子放1個小球，先把小球分組，有Ceq\o\al(3,4)種，再放到2個盒子中有Aeq\o\al(2,4)種放法，共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)種放法；第二類，2個盒子中各放2個小球有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種放法．故恰有2個盒子不放球的方法有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝84(種)．16.解：(1)每組2本，均分為3組的方法數(shù)為eq\f(C\o\a