2011年

（北京卷第18題）

X

已知函數(shù)/（%）=（%-%）2「O

（1）求/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)于任意的xe（0,+oo）,都有求*的取值范圍

e

標(biāo)準(zhǔn)答案：

（1）尸（幻=!（/一

K

令:（0）=0,得x=±K

當(dāng)k>0時(shí)，“X）與廣（x）的情況如下

x(-8,一4)-k(~k,k)k(N+oo)

/'(x)+0——0+

f(x)/4k2}0/

所以，/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-%-左）和氏+8）；單高層區(qū)間是（此,攵）當(dāng)

k<0時(shí)，/（x）與/''（X）的情況如下

X(-8,一%)-k(…)k化+8）

f'M——0+0——

/(x)0/4日1

所以，/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-00,-左）和化+8）;單高層區(qū)間是伏,-6

二1I

(2)當(dāng)k>0時(shí),因?yàn)橐环?l)=e*>-,所以不會(huì)有Vxe(0,+8)J(x)W—.

ee

4kz

當(dāng)k<0時(shí)，由（I）知/（x）在（0,+oo）上的最大值是/（一公

e.

i4k~i

所以\/x€(0,+co),/(x)<一等價(jià)于f-(-k)=——<

eee

解得-！<女<0.

2

故當(dāng)Vxe(0,+8)J(x)<1.時(shí)，k的取值范圍是［―工,0).

e2

(上海卷第20題)

已知函數(shù)/(x)=a2+A3,其中常數(shù)滿足abwO。

⑴若帥>0,判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若ab〈O,求/(x+l)>〈x)時(shí)x的取值范圍。

標(biāo)準(zhǔn)答案：

(1)當(dāng)。>0/>0時(shí)，任意X］,%2eR，玉<々，則

/(玉)一/(々)=。(2*一2*)+/3*-3")

*/2"<T\a>0=>“(2*—2*)<0,3"<3x\b>0n6(3』一3-)<0,

/(x1)-/(x2)<0,函數(shù)/(x)在A上是增函數(shù)。

當(dāng)。<0/<0時(shí)，同理，函數(shù)/(x)在R上是減函數(shù)。

(2)/(x+l)-/(x)=a-2'+2/?-3'＞0

令＞一2則”＞嘀5(一皂；

當(dāng)“<0力〉0時(shí),

22b2b

令＜一gWJx＜log(-^-)o

當(dāng)”>0/<0時(shí),l5

22b2b

(天津卷第19題)

已知。>0,函數(shù)/(x)=lnx-ax2,x>0.(/(x)的圖像連續(xù)不斷)

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時(shí)，證明:存在X°W(2,+8),使〃兀)=/(|);

(3)若存在均屬于區(qū)間［1,3］的a,夕，且夕-aNl,使/(a)=/(￡)，證明

In3-In2In2

-----------<a<——.

5---------3

分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式、函數(shù)的零點(diǎn)等

基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法.

(I)解：f\x)=一—2ox=一一,XE(0,+O0),

x2

令/，(x)=0,解得x=理.

2a

當(dāng)X變化時(shí)，/(x)J(x)的變化情況如下表：

Xypla

喏)2a噂+8)

尸(X)十0-

/(X)極大值、___

/、

所以，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,叵),/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(叵,+8).

2a2a

(2)證明：當(dāng)"，時(shí)J(x)=lnx—I/.

88

由(I)知/(X)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,

在(2,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

3

令g(x)=/(x)—/弓).

由于“X)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，

3

故/(2)>/q),即g(2)>0.

341_9/

取V=>2,則g(x)=~<0.

所以存在與e(2,x')^g(Xo)=O,

3

即存在與€(2,+8),使/"(x(,)=/(5).

(說(shuō)明：X'的取法不唯一，只要滿足x'〉2,且g(x)<0即可)

(3)證明：由/(0)=/(￡)及⑴的結(jié)論知a<叵<￡,

從而“X)在［a,尸］上的最小值為/(?).

又由――aZl,a,￡w[L3],知

J/(2)>/(a)>/(l)fln2-4?>—a,

政〈即〈

[〃2)N〃0N〃3).[ln2-4aNln3-9a

“kIn3-In2/,In2

從而---------<a<——.

53

(重慶卷第18題)

設(shè)/(%)=d+廢2+"+1的導(dǎo)數(shù)八幻滿足((1)=2凡尸(2)=-bt其中常數(shù)

a,hGR

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)a"⑴)處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x)e、，求函數(shù)g(x)的極值.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

(I)因f(x)=x3+ax2+8x+l,故f'(x)=3x2+2ax+b.

令x=l,彳哥，(l)=3+2a+b,

由已知/'⑴=2/因此3+2a+b=2a,解得占=-3.

又令x=2,得f'(2)=12+4a+瓦由已知/'(2)=-b,

3

因此12+4a+6=—b，解得a=——.

2

35

因此/(x)=x，—3x+l,從而/⑴=--

3

又因?yàn)閺V⑴=2x(―])=—3,故曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(l))處的切線方程為

y-(-1)=-3(x-1),即6x+2y-l=0.

(II)由⑴g(x)=(3x2-3x-3)e~x,

從而有g(shù)'(x)=(-3x2+9x)e~x.

令g'(x)=0,得一3x2+9x=0,解得X|=0,超=3.

當(dāng)尤e(-8,0)時(shí),g'(x)<0,故g(x)在(-8,0)上為減函數(shù)；

當(dāng)xe(0,3)時(shí),g'(x)〉0,故g(x)在(0,3)上為增函數(shù);

當(dāng)xe(3,+oo)nt,g'(x)<0,故8(幻在(3,+00)上為減函數(shù)；

從而函數(shù)g(x)在再=0處取得極小值8(0)=-3,在匕=3處取得極大值g(3)=15-3.

(浙江)(22)(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)/(X)=(x-a)21nx,aeR

(I)若x=e為y=/(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；

(II)求實(shí)數(shù)。的取值范圍，使得對(duì)任意的xe(0,3e],恒有/(x)W4e2成

立.

注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推

理論證能力，分類(lèi)討論分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。滿分14分。

(I)解：求導(dǎo)得/(x)=2(x-a)lnx+(x—a)=(十—4)(20x+]_巴).

XX

因?yàn)閤=e是/Xx)的極值點(diǎn)，

所以/'(e)=(e-a)(3--)=0,

e

解得。=6或。=36經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

所以〃=e或a=3e.

(II)解：①當(dāng)0<元《1時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,恒有/(%)W0<4/成立；

②當(dāng)l<x43e時(shí)，由題意，首先有/(3e)=(3e—a)21n(3e)44/,

解得3e——<a<3e+,

Jg)Jg)

由⑴知/(x)=(x-〃X21nx+1—3),

x

令h{x}=21nx+l-—,則/?(1)=1-6/<0,h(a)=2Ina>0,

x

“2e

3eH—/；

且/i(3e)=2ln(3e)+l-—>2ln(3e)+1-----曲史1

3e3e

=2(ln3e——/])>0.

Jin3e

又〃(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增

所以函數(shù)//(X)在(0,+00)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，

記此零點(diǎn)為無(wú)o,貝亞</<3e,l<x0<a.

從而，當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，f'(x)>0；

當(dāng)xe(xo，a)時(shí),/'(x)<0;

當(dāng)xe(a,+8)時(shí)，f'(x)>0.

即/(幻在(0,玉))內(nèi)單調(diào)遞增，在(%,。)內(nèi)單調(diào)遞減，

在(a,+8)內(nèi)單調(diào)遞增。

所以要使/(x)44e2對(duì)xe(l,3e］恒成立，只要

22

f/Uo)=(^-?)lnxo<4e,(l)

［/(3e)=(3e-a)21n(3e)<4e2,(2)

成立。

由/I(XQ)=2InXQ+1---=0>知

%

a=2x0lnx0+x0,(3)

將(3)代入(1)得4x；In?/<4/.

又飛>1,注意到函數(shù)/h?工在［i,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

故1V/<e。

再山(3)以及函數(shù)2xlnx+x在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，可得

由(2)解得，3e--^J=<g<3e+.g.

Jln(3e)Jln(3e)

所以3e——i2，<a<3e.

Jln(3e)

綜上，a的取值范圍是3e--2L=<<3e.

JTg)a

(江蘇)19.(本小題滿分16分)

已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(%)=》+奴,g(x)=x>+bx,尸(x)和g<x)是f(x)和

g(x)的導(dǎo)函數(shù).若―(x)g'(元)NO在區(qū)間/上恒成立，則稱(chēng)“X)和g(x)在區(qū)

間/上單調(diào)性一致.

(1)設(shè)。>0,若/(X)和g(x)在區(qū)間[-1,+8)上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取

值范圍；

(2)設(shè)。<0且a若/(x)和g(x)在以a1為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致,

求|。-切的最大值.

解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(X)和g(x)在區(qū)間[-1,+00)上單調(diào)性一致，所以，

Vxe[-l,+oo),/'(x)g'(x)>0,即

VxG[-1,+oo),(3x2+a)(2x+b)>0,va>0,Vxe[-1,+oo),2x+b>0,

即：a>0,Vxe[-l,+oo),b>-2x,>2;

(2)當(dāng)匕<。時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)/(x)和g(x)在區(qū)間(b,a)上單調(diào)性一致，所以，

\/xe(b,a),f'(x)g'(x)>0,

即Vx€(4a),(3x?+a)(2x+b)>O,'：b<a<0,.,.X/xe(b,a),2x+b<0,

Vxe(b,a),a<-3x2,

b<a<-3b2z=a-b,考慮點(diǎn)(b,a)的可行域，函數(shù)y=-3/的斜率為1的切

線的切點(diǎn)設(shè)為(為,%)

貝=1,XO=_:，%=-j，=

o1212oo

當(dāng)。<。<0時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)/(x)和g(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)性一致，所以，

即VxG(a,Z?),(3x2+a)(2x+b)>0,b<0,/.Vxe(a,b),2x+b<0,

.\Xfxe(a,b\a<-3x2,

711

...a<-3a-,.-.-3<a<0,二3-a)max=-；

當(dāng)a<O<b時(shí),因?yàn)椋瘮?shù)〃x)和g(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)性一致,所以，

\/xe(a,b),f'(x)g'(x)>Q,

SPVxe(a,/?),(2x+b)(3x2+a)>0,v6>0,Wx=0Ehf,(3x2+a)(2x+b)=ab<0,不符

合題意，

當(dāng)“<0=6時(shí)，由題意：

Vxe(a,0),2x(3x2+a)>0,Vxe(a,0),3x2+a<0,.,.3a2+a<0,

1八，1

.二—<a<0,b-ci<一

33

綜上可知，|a-"=—o

IImax3

(廣東)21.(本小題滿分14分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy上,給定拋物線L:y=,f,實(shí)數(shù)0,滿足

4

p2-4qN0,占,％2是方程-—px+q=0的兩根，記夕(p,q)=max{聞,同}.

2

(I)過(guò)點(diǎn)A(Po，；p0)(p0w0)作L的切線交y軸于點(diǎn)B.證明:對(duì)線段AB上

任一點(diǎn)。(p,q)有0(p,q)=爍1；

(II)設(shè)M(a力)是定點(diǎn),其中a/滿足/—弘>0,a#0.過(guò)例伍力)作L的

兩條切線//，切點(diǎn)分別為E(p”；pJ),E'(p2tp2?)，//與>軸分別交與￡尸.

線段Ef上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X.證

明：M(a,b)GXo|P]|>|p21o叭a,b)=甲;

(III)設(shè)。={(x,y)|y4x-l,y?；(x+l)2-(}.當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍。時(shí)，求

°(p,q)的最小值(記為Omin)和最大值(記為Omax)?

【解析】(I)因?yàn)閥'=gx,所以過(guò)點(diǎn)A的切線方程為

121,、

y--Po=^P0(^-P0)

即3，=￡^-W，從而8(0,-爪)，又。34)在直線48上,故4=皿-互，

24424

其中04|PKIP°I

2

所以方程為f—px+誓-今-=0,解得玉=件，“P-半

由于04|p國(guó)%],且0「。同號(hào),所以|々|="吟|=呼|=|蟲(chóng),所以

o(p,q)=甲.

(II)過(guò)點(diǎn)M(a,b)且切點(diǎn)為E(pp;)的L的切線/,方程為

2

EF：y=^x-^-

24

2i

因?yàn)榕?。力)€小所以8=??！獋€(gè)且0<|。|<|pj因?yàn)镋'(p27P2、)，

所以kME,'=與，即;P"(Ta-f)=￡(p2—a)

P2—〃24242

2222

即勺—勺=?a—今即所以勺—年=(?+專(zhuān)一公(?一年)=0,所以

“2=2"Pi

因?yàn)?<|。<|~|,且凡烏同號(hào),所以|P21=|2a-p]|<|2/?1-p,|=|p]I

反之也成立，所以M(a,b)eXo\P[\>\p2\,

由(I)可知，M(a,b)GXn°(a1)=粵，反之，逆推也成立，所以

M(a,b)GXo°(a,b)=\d

綜上，M(a,b)eXo|py|>|p2\u><p(a,b)=耳.

(Ill)此題即求當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍。時(shí),方程x2-px+q^0的絕對(duì)值較大的根的

最大值與最小值，

解方程得x=PP'一%，因?yàn)椤?{(x,y)|y<x-l,y>—(x+1)2--},

244

=—(x+1)2,解得x=0或芯=2,所以04p?2,

44

p+Jp2一曲

o(p,q)=—%-------

因?yàn)?p,q)e￡),所以匕p+l)?-《p-],于是(p+1)?-5V4qM4p-4

44

所以(p-2)-Wp--4q4-2p+4,所以

叭P，q)="寫(xiě)近』，空浮口

設(shè)/(t)=〃+J7+4(0<p<2),令]=J-2〃+4,貝ijp=^^-(0WfK2)

則/(p)=g(f)=-j〃+:?+l=—：('—I)，+：,所以/(P)e[l，m

42444

355

綜上，當(dāng)p=2,g=l或p=0,4=-1時(shí)，8min=l；當(dāng)P=7，q=77時(shí)，~■

2164

（山東）21.（本小題滿分12分）某企業(yè)擬建造如圖所示

的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為

圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容

積為如立方米，且出2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅

3

與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分

每平方米建造費(fèi)用為c（c〉3）千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.

（I）寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

（II）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的廠.

解析：（I）由題意可知42/+陽(yáng)/=雙亞/22r），即/=理_3廠22廣，則

333產(chǎn)3

0<尸<2.

容器的建造費(fèi)用為y=2兀rlx3+4^r2xc-——r）+4/rr2c，

3r~3

即y=一8萬(wàn)」+4"/c,定義域?yàn)閧r|0<廠W2}.

20

(II)y'=」6["一]6"+8TZTC,令)''=0,得r=j

c^2

J也、2,當(dāng)0<r<2,y'<0,函數(shù)y為減函數(shù)，當(dāng)/-2

⑴當(dāng)3<cW4.5時(shí),

Vc-2

時(shí)y有最小值;

（2）當(dāng)c>4.5時(shí)，號(hào)^<2,當(dāng)0<"后［y'<0；當(dāng)時(shí)y，>0,

此時(shí)當(dāng)用-時(shí)y有最小值。

c-2

（湖南）20.如圖6,長(zhǎng)方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻

速移動(dòng)，速度為v（v>0）,雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c（ceR）。E移動(dòng)時(shí)單位

時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量,

假設(shè)其值與|v-c|xS成正比，比例系數(shù)為5；（2）其它面的淋雨量之和，其值

為鼻,記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100,面積S=1時(shí)。

（I）寫(xiě)出y的表達(dá)式

（II）設(shè)0<vW10,0<cW5,試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度v,使總

淋雨量y最少。

,31

解析：（I）由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為上■W-c|+—,

202

,,100.3..1.5?1八、

故c|+5)=；(31ci+io)-

(II)由(I)知，當(dāng)0<uWc時(shí)，y=-(3c-3v4-l0)=5(3c+l0)-l5；

VV

當(dāng)c<vWlO時(shí)，y=-(3v-3c+l0)=5(l°-3^+l5.

VV

5(3c+l0)…/

-...........-l5,0<v<c

v

故y=,

亞5co

V

（1）當(dāng)0<C45時(shí)，y是關(guān)于V的減函數(shù).故當(dāng)丫=10時(shí)，）'min=20—,。

（2）當(dāng)T<C45時(shí)，在（0,c］上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在（c,10］上，y是關(guān)于v的

增函數(shù)；故當(dāng)u=c時(shí)，ymin=—

(湖北)17.(本小題滿分12分)

提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況。在一般情況下，

大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流速度x的函數(shù)。當(dāng)橋上的的車(chē)流

密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20

輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)，研究表明；當(dāng)204x4200時(shí)，車(chē)流速度

v是車(chē)流密度x的一次函數(shù).

(I)當(dāng)0W200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(II)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，

單位：輛/每小時(shí))〃x)=x.v(x)可以達(dá)到最大，并求最大值(精確到1輛/每小

時(shí))

本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。(滿

分12分)

解：(I)由題意：當(dāng)04x420時(shí)，心)=60；當(dāng)204工4200時(shí),設(shè)丫("=奴+匕

200a+b-0,

再由已知得<解得

20a+b=60,200

b

60,0<x<20,

故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)=\1

-(200-x),20<x<200

60x,0<x<20,

(ID依題意并由(I)可得=h

-x(200-x),20<x<200

當(dāng)0WxW20時(shí),/(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為60X20=1200；

當(dāng)20WxW200時(shí)，/(x)=1x(200-.r)<‘廣+尊—坊=10￡00

當(dāng)且僅當(dāng)x=200—x,即x=100忖，等號(hào)成立。

所以，當(dāng)x=100時(shí),/(x)在區(qū)間［20,200］上取得最大值登2

綜上，當(dāng)x=100時(shí)，/(x)在區(qū)間［0,200］上取得最大值皿|竺a3333。

即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)。

(安徽)(16)(本小題滿分12分)

設(shè)其中〃為正實(shí)數(shù)

(I)當(dāng)時(shí)，求“X)的極值點(diǎn)；

(II)若/*)為R上的單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍。

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。求解一元二次不

等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，綜合分析和解決問(wèn)題的能力。

解：對(duì)/(X)求導(dǎo)得r(x)="粵匚華①

(1+奴)

4131

(I)當(dāng)時(shí)，若/'(x)=0,則4/-81+3=0,解得玉=：,X2=j

結(jié)合①，可知

X/1、1(《)3,3、

（-8,萬(wàn)）（5，+°°）

22

+0-0+

/極大值極小值/

“X）

31

所以，西=巳是極小值點(diǎn)，■是極大值點(diǎn)。

2-2

(II)若f{x}為R上的單調(diào)函數(shù)，則/'(X)在R上不變號(hào)，結(jié)合①與條件a>0,知

ax2-lax+1>0

在R上恒成立，因此A=4a2-4。=4a(a—l)<0,由此并結(jié)合a>0,知0<aWl.

16.(江西)(本小題滿分12分)設(shè)/(x)=-$3+；x2+2ax.

2

(1)若/(X)在(3,+00)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)0<a<2時(shí)，/(x)在1,4］上的最小值為-弓，求/(x)在該區(qū)間上的最大

值.

解：(1)已知/(x)=+(/+2數(shù)，f\x)=-x2+x+la,函數(shù)/(x)在

+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即導(dǎo)函數(shù)在［g,+Oo)上存在函數(shù)值大于零的部分,

(2)已知0<a<2,〃x)在［1,4］上取到最小值—g,而/'(x)=—/+x+2a的圖

像開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸X--,

2

/'⑴=-1+1+2a=2a〉0,/'⑷=-16+4+2a=2a—12<0,

則必有一點(diǎn)x°e［l,4］使得f(x0)=0,此時(shí)函數(shù)在［1,%］上單調(diào)遞增，在卜o,4］

單調(diào)遞減，/(l)=--+-+2tz=-+2tz>0,

326

,-./(4)=-lx64+-xl6+8?-+8a<0

v7323

r(A\40°161

??/(4)=-----F8。=---=>。=1

此時(shí)，由/(%)=—K+x0+2=0nx0=2或-1(舍去)，所以函數(shù)

/(Rax=/(2)=］

(陜西)21.(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)/(x)定義在(0,+8)上，〃1)=0,導(dǎo)函數(shù)_r(x)=Lg(x)=/(x)+/'(x).

（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值;

（2）討論g（x）與gd）的大小關(guān)系；

X

（3）是否存在的〉0,使得|g（x）-g（Xo）|<，對(duì)任意x>0成立？若存在，求出與

x

的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）先求出原函數(shù)/（X）,再求得g（x）,然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)

性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；（3）存在性問(wèn)題通常采用假

設(shè)存在，然后進(jìn)行求解；注意利用前兩問(wèn)的結(jié)論.

【解】（1）=.../（xhlnx+c（c為常數(shù)），又?../⑴=0,所以

x

lnl+c=0,即c=0,

f（x）=Inx；g（x）=\nx+—,

x

v--1Y-1

，g'（x）=一廠，令g[%）=0，即一廠二°，解得元=1，

XX

當(dāng)(0,1)時(shí),g'(x)<0,g(x)是減函數(shù)，故區(qū)間在(0,1)是函數(shù)g(x)的減區(qū)間;

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)是增函數(shù)，故區(qū)間在(L+oo)是函數(shù)g(x)的增區(qū)

間；

所以x=l是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，

所以g(x)的最小值是g(l)=l.

(2)g(—)=-lnx+x,設(shè)//(x)=g(x)-gp)=+L

XXX

貝西(乃=一任二匕

X

當(dāng)x=l時(shí)，/?⑴=0,即g(x)=gd),

x

當(dāng)xe(0,l)U(L+8)時(shí)，h'(x)<0,力'(1)=0,

因此函數(shù)人(x)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<l時(shí)，h(x)>h(Y)=0,二g(x)>gd);

x

當(dāng)x>l時(shí)，/i(x)</i(l)=0,/.g(x)<g(-).

x

(3)滿足條件的/不存在.證明如下：

證法一假設(shè)存在飛〉0,使|g(x)-g(x())|<L對(duì)任意x>0成立，

x

2

即對(duì)任意x〉0有l(wèi)nx<g(x())<lnx+-①

x

但對(duì)上述的％,取玉=**>時(shí)，有l(wèi)nX]=g(Xo),這與①左邊的不等式矛盾，

因此不存在％>0，使|g(x)-g(Xo)|<1對(duì)任意x>0成立.

x

證法二假設(shè)存在的〉0,使|g(x)-g(Xo)|<，對(duì)任意x>0成立，

X

由(1)知,g(x)的最小值是g⑴=1,

又g(x)=lnx+，〉inx,而x>l時(shí)，Inx的值域?yàn)?0,+oo),

x

...當(dāng)x…1時(shí)，g(x)的值域?yàn)榭?+00),

從而可以取一個(gè)值為>1,使g(%i)…g(x())+l,即g(X|)-g(Xo)…1,

，1g(Xl)-g(Xo)l…1>L這與假設(shè)矛盾?

玉

，不存在%>0，使|g(x)-g(Xo)|<，對(duì)任意x>0成立.

x

(遼寧)21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=lnx—〃/+(2-a)x.

(I)討論的單調(diào)性；

(II)設(shè)”>0,證明：當(dāng)0<x<，時(shí)，/(—+x)>/(--x)；

aaa

(III)若函數(shù)y=.f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

f

為xo，證明：f(x0)<0.

⑴/(x)的定義域?yàn)?0,+00),/(x)」_2辦+(2_0=_⑵+1)3—1)

XX

(i)若a40,則/(x)>0,所以/(x)在(0,+oo)單調(diào)增加.

(ii)若a>0,則由/(x)=0得x=L

a

且當(dāng)X€(0,3時(shí)，廣(X)〉0,當(dāng)X>L時(shí)，/(X)<0.

aa

所以/(尤)在(0」)單調(diào)增加，在(L+8)單調(diào)減少............4分

aa

(ID設(shè)函數(shù)g(x)=/d+x)—/d—x),^j

aa

g(x)=ln(l+ax)-ln(l-ax)-2ax,

當(dāng)0<x<,時(shí),g<x)>0,而g(0)=0,所以g(x)〉0.

a

故當(dāng)0<xJ時(shí)，/(-+x)>/(--x).............8分

aaa

(III)由(I)可得，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn),

故4>0,從而/(X)的最大值為/d),W(L)>0.

aa

不妨設(shè)4(斗,0),6(12,0),0<x<%,則0<<—<x-

}a2

由(ID得/(2_陽(yáng))=/(，+，_陽(yáng))>/(陽(yáng))=o.

aaa

從而々>2_再，于是/=土玉〉L

a2a

由(I)知,尸(x0)<0.............12分

(福建)18.(本小題滿分13分)某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每

日的銷(xiāo)售量)，(單位：千克)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式

y=>一+10。-6)2,其中3<x<6,。為常數(shù)，已知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克

x-3

時(shí)，每日可售出該商品11千克.

(I)求。的值；

(II)若該商品的成品為3元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售

該商品所獲得的利潤(rùn)最大.

本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思

想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分13分。

解：(I)因?yàn)閤=5時(shí)，y=l1,所以I+IO=1l,a=2.

2

(II)由⑴可知，該商品每日的銷(xiāo)售量y=——+10(x—6R

x-3

所以商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)

2

/(X)=(x-3)[——+10(x—6>]=2+10(x—3)(x-6)2,3<x<6

x-3

2

從而，f\x)=10[(x-6)+2(x-3)(x-6)]=30(x—4)(x-6)

于是，當(dāng)x變化時(shí)，/'(x)J(x)的變化情況如下表:

X(3,4)4(4,6)

+0-

/V)

單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減

/(X)

由上表可得，x=4是函數(shù)/(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn);

所以，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)/(x)取得最大值，且最大值等于42。

答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大。

(四川)22.(本小題共14分)

已知函數(shù)/(X)=1■x+g,//(x)=y[x

(I)設(shè)函數(shù)尸(x)=〃尤)-/i(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;

(II)設(shè)解關(guān)于X的方程

33

log4[-/(x—1)—/=log,h(a-x)-log2h(4-x);

100i

(III)試比較/(100)〃(l00)-?以攵)與w的大小.

22.本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基本知識(shí)，考查

數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類(lèi)與整合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、

分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

解：(I)SlF(x)=-x+--Vx(x>0)知，尸(%)=勺后二，令F'(x)=0,得x=2.

326Vx16

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，尸(x)<0；當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，尸(x)>0.

1616

故當(dāng)xe[0()時(shí)，F(xiàn)(x)是減函數(shù)；時(shí)，F(xiàn)(x)是增函數(shù).

函數(shù)F(x)在x=2處有得極小值F(2)=L

16168

(II)方法一:原方程可化為log4[-f(x-1)-^-]=log2h(a-x)-log2h(4-x),

即為log4(x-l)=log7yja-X-log2y/4-X=log2,且"二

V4-Xll<x<4,

①當(dāng)1<〃44時(shí)，\<x<a,WOx-1=——,即x?-6x+a+4=0,

4-x

A=36-4(a+4)=20-4a>0,此時(shí)x=「土=3±j5-a,*.<1<x<a,

此時(shí)方程僅有一解x=3-4工.

②當(dāng)〃>4時(shí)，1<JC<4,1^3X—1=--,得/2-61+〃+4=0,

4-x

△=36—4(〃+4)=20—4〃，

若4<〃<5,貝ljA>0,方程有兩解x=3±,5-a;

若a=5時(shí),則A=0,方程有一解x=3;

若〃<1或〃>5,原方程無(wú)解.

方法二:原方程可化為log4(x-1)+log2h(4-x)=log2h(a-x)，

即；log2(x-l)+log2^4-x=log2Na-x,

x—1〉0,

1cx<4

4-x>0,

o<x<a,

a-x>09

a=—(x—3)~+5.

(x-l)(4-x)=a-

①當(dāng)l<a44時(shí)，原方程有一解x=3-J5-a;

②當(dāng)4<a<5時(shí)，原方程有二解x=3±j5-a;

③當(dāng)〃=5時(shí)，原方程有一解x=3;

④當(dāng)或。>5時(shí)，原方程無(wú)解.

100100L

(ill)由已知得￡>伏)=￡血.

A=1k=\

設(shè)數(shù)歹U0｝的前n項(xiàng)和為S,且S,,=〃")/?(〃)--(〃€N*)

n6

+

從而q=S]=1,當(dāng)2W&S100時(shí)，ak—Sk—Sk_i=xfk———-VA:-1.

66

又4_4=-[(4k+3)4~(4k-1)VT^T]

6

2

1(4k+3)k-(4k-1)\k-—\-)---------------------------------

6(4攵+3)底+(4攵-1)7^1

11八

=--------------7=------------.>0.

6(4Z+3)4+(4k-l)VT~l

100100

即對(duì)任意24A4100時(shí)，有％>〃，又因?yàn)閝=l=VT,所以之處>￡”.

k=\k=\

100i

故/(100)/?(100)-.

?=16

(全國(guó)1)(22)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)

0Y

(I)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+x)——,證明：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0；

x+2

(II)從編號(hào)1至U100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方

式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為p.證明：p<

(―),9<4-

10e2

【命題立意】：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等

知識(shí)。通過(guò)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函

數(shù)、不等式問(wèn)題,考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

【解析】：(I=J--2。+”*=——￡__^20(x>—1),(僅當(dāng)x=o

x+1(X+2)2(X+1)(X+2)2

時(shí)((x)=0)

故函數(shù)/(x)在(-1,+8)單調(diào)遞增.當(dāng)x=0時(shí)，fM=0,故當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>

0.

(II)從編號(hào)1至U100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，連續(xù)抽取

42。91

20次，則抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為p=/嗎，要證p<(匕)y士.

1OO2010e2

先證:A“＜（9即證10°?99?…”I＜他?（型）2。

1OO20101OO2090100

即證99?98?…?81<(90>9而99*81=(90+9)?(90-9)=笫-92<(90)2

98*82=(90+8)?(90-8)=902-82<(90)2

91*89=(90+1)*(90-1)=902-!2<(90)2