第36講圓的方程

1.圓的定義及方程：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-o)2+(y-。)2=,(尸>0)圓心：(〃,〃)，半徑：r

一般方程f+y+Qx+Ey+FuOioZ+EZ—db〉。)

圓心：半徑：r^-y/D2+E2-4F

222

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)M(x0,%)與圓(x-a)?+(y-與②=/的位置關(guān)系：

⑴若。(％,%)在圓外,則(x-a)2+(y-b)2>r2

⑵若〃(玉),為)在圓上，則(x-。了+(y-0A=r2

⑶若M(%,%)在圓內(nèi)，則(x-a/+(y-份2<，

3、圓的方程綜合應(yīng)用

①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：0-。)2+(y一份2=,(，>0)

②圓的一般方程.：x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+E2-4F>0).

③點(diǎn)小%,%)到直線l：Ax+By+C=0的距離：d=1AV叫+。1.

VA2+B2

4、直線與圓相切

①直線與圓相切：直線與圓有且只有一個公共點(diǎn)；

②幾何法：圓心到直線的距離等于半徑，即4=廠；

③代數(shù)法：△=(),方程組有一組不同的解.

5、直線與圓相交及弦長

①直線與圓相交：直線與圓有兩個公共點(diǎn)；

②幾何法：圓心到直線的距離小于半徑，即d<r；

③代數(shù)法：△>(),方程組有兩組不同的解.

6、圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓的圓心分別為G、G，圓心距為半徑分別為尺尸(尺>廠).

(1)兩圓相離：無公共點(diǎn)；d>R+r,方程組無解.

(2)兩圓外切：有一個公共點(diǎn)；d=R+r,方程組有一組不同的解.

(3)兩圓相交：有兩個公共點(diǎn)；R-r<d<R+r,方程組有兩組不同的解.

(4)兩圓內(nèi)切：有一公共點(diǎn)；d=R-r,方程組有一組不同的解.

(5)兩圓內(nèi)含：無公共點(diǎn)；UWd=R—r,方程組無解.特別地，4=0時，為兩個同心圓.

題型一：圓的方程

1.(2021?全國高二課時練習(xí))若方程Y+y2-x+y+機(jī)=0表示圓，則實數(shù)小的取值范圍是().

A.m<0B.tn<—

2

C.m>\D.m>2

【答案】B

【詳解】

:丁+)2一%+>+〃7=0表示圓，則1+1—4加>0,

m<一,

2

故選：B.

2.(2021?全國高二課時練習(xí))若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+(y+5)2=2,則此圓的圓心和半徑長分別為

().

A.(-15),梃

B.(-1,5),2

C.(1，-5),72

D.(1，-5),2

【答案】C

【詳解】

解：因為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(>"+(>-牙=尸,圓心為C(a,b),半徑長為r,

又因為某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+(y+5)2=2,所以。=1、〃=-5、r=yj2,

故選：C.

3.(2021?四平市第一高級中學(xué)高二月考)若方程*2+/-2),+/-,“+]=()表示圓，則實數(shù)加的取值范

圍為()

A.(-2,1)B.卜,；)C.(-<?,0)u(l,+a))D.(0,1)

【答案】D

【詳解】

由方程x~+y~—2y+nr—m+\=0表不圓，

則。2+(_2)2-4(川-/?+1)>0,

解得01.

所以實數(shù)/〃的取值范圍為(04).

故選：D

4.（2021?四川成都?高二月考（文））圓/+丫2一2工+10），+7=0的圓心坐標(biāo)為（）

A.（1,—5）B.（1,5）C.（—1,5）D.（2,-10）

【答案】A

【詳解】

解：將圓V+丁-2x+1Oy+7=0的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式

可得（x-1?+"+5）2=19,

則該圓的圓心坐標(biāo)為（1,-5）,

故選：A.

5.（2021?孟津縣第一高級中學(xué)（理））設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B是拋物線。：必=20，（〃>0）與圓

七:爐+（丫一8）2=，。>0）關(guān)于了軸對稱的兩個交點(diǎn)，若|AB|=|OA|=〃，則〃=（）

A.4B.2

2

D.

3

【答案】1）

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)力在第一象限，則△03為等邊三角形，故A

代入幺+（>-8）2=，中，解得，=2,則爰,4）,

2

代入拋物線方程，解得。=§,

故選:D.

6.（2021?深州長江中學(xué)高二月考）圓心在（一1,0）,半徑為5的圓的方程是（）

A.（x+l）2+y2=>/5B.（x+廳+）2=25

C.U-l）2+/=^D.（X-1）2+/=25

【答案】B

【詳解】

因為圓心在（一1,0）,半徑為5,

則圓的方程是（x++V=25.

故選：B.

7.（2021?全國高二課時練習(xí)）方程*2+y+瓜+或+/=0（加+￡一42>0）表示的曲線關(guān)于直線x+y=0

成軸對稱圖形，則（）

A.D+E=0B.D+F=0

C.E+F=OD.D+E+F=G

【答案】A

【詳解】

因為爐+產(chǎn)+6+或+?=0（。2+爐-4尸>0）,所以該方程表示圓心為卜弓,一!）的圓，而該方程表示的

曲線關(guān)于直線x+y=O成軸對稱圖形，所以圓心（一弓,-孩）在直線x+y=。上，即有O+E=0.

故選：A.

8.（2021?全國高二課時練習(xí)）若方程》2+），2+公+2沖+2〃+。-1=0表示的曲線是圓，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

A.（Y,-2）UC，+（?）B.,?1,3）

C.（-2,0）D.,2,g）

【答案】D

【詳解】

因為方程—+/+ar+2ay+2a2+“-1=0表示的曲線是圓，

所以。?+52-4尸=/+4/-4（2/+〃-1）>0,HP3a2+4a-4<0,

解得-2<“專

故選：D

9.（2021?全國高二課時練習(xí)）若圓的一條直徑的兩個端點(diǎn)分別是（2,0）和（2,-2）,則此圓的方程是（）

A.（x-2）2+（y+l）2=lB.+（”1）2=9

C.（X-2）2+（^+1）2=9D.（x+2j+（y+l）2=]

【答案】A

【詳解】

因為圓的一條直徑的兩個端點(diǎn)分別是（2,0）和（2,-2）,所以圓心為（2,-1）,半價為gx2=l,所以此圓的

方程是（x-2『+（y+iy=l.

故選：A.

10.（2021?湖南高二學(xué)業(yè)考試）圓/+/一21-3=0的圓心坐標(biāo)及半徑分別為（）

A.（一1,0）與JiB.（1,0）與6

C.（L。）與2D.（一1,0）與2

【答案】C

【詳解】

X2+/-2X-3=0,配方得(x-iy+y2=4,圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑r=2.

故選：C

11.(2021?江西南昌?洪都中學(xué)高二月考)若方程/+丁一%+丁+〃?=0表示一個圓，則用的取值范圍是

()

A.m<2B.m<2C.m<—D.m<—

22

【答案】c

【詳解】

由題設(shè)，(x-gf+(y+gf=：-機(jī)，

..?要使方程表示圓，則；-"7>0,即

22

故選：C

題型二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.(2021?南昌市八一中學(xué)高二月考)過點(diǎn)(1,2)且與圓/+/=5,相切的直線有幾條()

A.0條B.1條C.2條D.不確定

【答案】B

【詳解】

由于(1,2)滿足Y+y2=5,所以(1,2)在圓上，

所以過點(diǎn)(1,2)且與圓/+丁=5,相切的直線有1條.

故選：B

2.(2021?河北南和實驗中學(xué)高二月考)若點(diǎn)M(0,2)在圓(x—2)2+(y+l)2=/上，則圓的半徑r=()

A.1B.13C.V13D.石

【答案】C

【詳解】

點(diǎn)M(0,2)在圓(x—2)2+(y+l)2=/上，代入可得(0-2)2+(2+1)2=產(chǎn),

解得r=13,即r=

故選：C

3.(2021?全國)已知圓彳2+/-2以-2y+(a-l)2=0(0<a<l),則原點(diǎn)。在()

A.圓內(nèi)B.圓外C.圓上D.圓上或圓外

【答案】B

【詳解】

將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(X-a>+(y-1)2=2“，

因為0<“<1,所以(0-4+(0-1)2=。2+1>2。,即原點(diǎn)。在圓外.

故選：B.

4.(2021江蘇高二專題練習(xí))若點(diǎn)P(L1)在圓Ck+V+x-y+gO的外部，則實數(shù)&的取值范圍是()

A.(—2,+oo)B.-2,——^C.[2,萬)D.(—2,2)

【答案】C

【詳解】

解：由題意得〈，,，八，解得

[l+l-4k>02

故選：C.

5.(2021?橫峰中學(xué)高一月考(文))點(diǎn)尸在圓C:(x-3y+y2=4上，點(diǎn)。(-3,0),則|尸。|的最大值為()

A.6B.4C.8D.3

【答案】C

【詳解】

由于(―3-3)2+。2=36>4,所以。在圓C外，

圓C的圓心為C(3,0),半徑r=2,

則|PQ|的最大值為|QC|+r=/3_3『+02+2=6+2=8.

故選：C

6.(2021?全國)兩個點(diǎn)M(2,T)、N(-2,l)與圓C:V+y2_2x+4)-4=0的位置關(guān)系是()

A.點(diǎn)M在圓C外，點(diǎn)N在圓C外

B.點(diǎn)用在圓C內(nèi)，點(diǎn)N在圓C內(nèi)

C.點(diǎn)M在圓C外，點(diǎn)N在圓C內(nèi)

D.點(diǎn)/在圓C內(nèi)，點(diǎn)N在圓C外

【答案】D

【詳解】

將"(2,-4)代入方程左邊得級+(-4y-2?24?(4)-4=-4<0,

則點(diǎn)M在圓C內(nèi)，

將N(—2,l)代入方程左邊得2?(2)+4-4=9>0,

則點(diǎn)N在圓C外，

故選：D.

7.(2021?平羅中學(xué)高二月考(文))已知直線/是圓f+y2=25在點(diǎn)(-3,4)處的切線，則直線/的方程為

()

A.3x-4y-7=0B.3x-4y+25=0C.3x+4y-7=0D.3x+4y-25=0

【答案】B

【詳解】

由于(-3)2+42=25,所以點(diǎn)4-3,4)在圓f+y2=25上，

圓V+y)=25的圓心為0(0,0),

koA=-p

由于％■&=T,

所以號=：3，

所以直線/的方程為y-4=：(x+3),4y-16=3x+9,3x—4y+25=0.

故選：B

8.(2021?橫峰中學(xué)高一月考(理))若點(diǎn)4。+1,3)在圓(x-a)2+(y-l)2=,"外，則實數(shù)機(jī)的取值范圍

是()

A.(0,+8)B.(-8,5)C.(0,5)D.[0,5]

【答案】C

【詳解】

由題意,得(a+1—a)-+(3—1)-＞，〃，即加＜5,又易知〃?＞0,所以0＜加＜5.

故選：C

9.(2021?全國高二課時練習(xí))已知點(diǎn)(1,1)在圓6-。)2+(了+。)2=4的內(nèi)部，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-8,-1)U(1,+8)D.{1,-1}

【答案】A

【詳解】

由于(1,1)在圓(x-a)-+(j+a)2=4的內(nèi)部，

所以點(diǎn)(1,1)到圓心(a,-a)的距離d＜2,

即：J(l-4)2+(l+a)2＜2,整理得：

故選：A.

10.(2021?全國高一課時練習(xí))點(diǎn)P(〃7,3)與圓(x-2)2+(y-l)2=3的位置關(guān)系為()

A.點(diǎn)在圓外B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上D.與機(jī)的值有關(guān)

【答案】A

【詳解】

（初一2）2+（3-=（小一2『+4>3'p（人3）在圓（X_2）2+（y_1）2=3外

故選：A

題型三：直線與圓的位置關(guān)系

1.（2021?全國）過點(diǎn)（1,夜）的直線/將圓（x-2）2+V=4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直

線I的斜率為（）

A.-72B.&C,—D.--

22

【答案】C

【詳解】

圓（x—2）+y2=4的圓心為C（2,0）,

（l-2）2+（V2）2<4=A（l,正）在圓內(nèi).

所以當(dāng)ACU時，劣弧所對的圓心角最小，

12-1>/2

kl.kAC=-X,k,=--=-^=^-.

故選：c

2.（2021?遼寧沈河?沈陽二中高二月考）過點(diǎn)尸（4,1）作圓C:（x-2Y+（y+3）2=4的切線，則切線方程為

（）

A.3x-4y-8=0B.3x-4y-8=0或x=4

C.3x+4y-8=0D.3x+4y-8=0或x=4

【答案】B

【詳解】

若切線的斜率不存在，則過P的直線為x=4,

此時圓心C（2,-3）到此直線的距離為2即為圓的半徑，故直線x=4為圓的切線.

若切線的斜率存在，設(shè)切線方程為：'=及"-4）+1即丘-y+l-4Ar=O,

12^4-3+1-4^13

故2=^―-==尸」，解得上=3，

Jl+二4

故此時切線方程為：3x-4j-8=0.

故選：B.

3.（2021?四川省眉山第一中學(xué)高二月考（理））已知圓/+/=25,則過圓上一點(diǎn)A（3,4）的切線方程為

（）

A.3x+4y—25=0B.3x+4y—25=0或x=3

C.3x-4y+7=0D.4x-3y=（）

【答案】A

【詳解】

因為圓Y+y?=25的圓心為。（（）,0）,所以=g，

所以切線的斜率2=-

4

所以所求切線的方程為）」4=一。-3）,即3x+4y-25=0,

4

故選：A

4.（2021?全國高二專題練習(xí)）直線x+y+〃z=0與圓/+>2=加相切，則加的值為（）

A.0或2B.2

C.&D.無解

【答案】B

【詳解】

圓心到直線的距離等于半徑而，即

解得加=2或機(jī)=0（應(yīng)舍去）.

故選：B

5.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知圓C：/+y2-4x=0與直線/切于點(diǎn)尸（1,6）,則直線/的方程為（）

A.x-石y+2=0B.x-島+4=0

C.x+Gy-4=0D.x+>/3y-2=0

【答案】A

【詳解】

圓（7:*2+卜:!-4》=0可化為（乂一2）：!+丫2=4,

所以點(diǎn)尸與圓心連線所在直線的斜率為吐叵=-石，

2-1

則所求直線的斜率為乎，

由點(diǎn)斜式方程可得y-白=*T，

整理得%-底+2=0.

故選：A.

6.（2021?全國高一課時練習(xí)）已知直線/：l+2》+4+1=0被圓C：/+y2=4所截得的弦長為4,則女為

()

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】A

【詳解】

設(shè)圓心（0,0）到宜線/：x+2y+k+l=o的距離為d,則由點(diǎn)到直線的距離公式得dJ°+°+4+11=亞伏+11,

VI2+225

由題意得：4=2.〃-屋=2/咚伙+】1，解得出=-1.

故選：A

7.（2021?全國高一課時練習(xí)）直線/：3x+y-6=0被圓C:/+y2—2y-4=0截得的弦長為（）

A.非B.y/lC.VioD.2G

【答案】C

【詳解】

/+/一2丫-4=0可化為f+（y-l）2=5,則圓心坐標(biāo)為（0,1）,半徑r=6.

點(diǎn)（o,i）到直線/的距離d=［岬,+?1=叵,

732+122

...半弦長為=J（@2_件）=萼,故截得的弦長為Tio.

故選：C

8.（2021?全國高二課時練習(xí)）若直線工+丁+。=0平分圓￡+）,2一2力4），+1=0的面積，則。的值為（）

A.-2B.-1

C.1D.2

【答案】C

【詳解】

根據(jù)題意，圓的方程為丁+/一2x+4y+l=0,其圓心為（1,-2）.

因為直線x+y+a=0平分圓^+9-21+4、+1=0的面積，

所以圓心（1,一2）在直線x+y+a=。上，

則有〃+1-2=0,解得。=1.

故選：C.

9.（2021?全國高三模擬預(yù)測）已知直線/：履-y+Z=O,圓O:f+y2=2,則直線/與圓。的位置關(guān)系是

()

A.相交B.相切

C.相離D.無法確定

【答案】A

【詳解】

由圓0:/+丁=2,可得圓心0（0,0）,半徑r=&,

因為圓心。（0,0）到直線/：丘一y+k=0的距離4=萼===

VF+lu-+i

所以直線/與圓。相交，

故選：A.

10.（2021?銀川三沙源上游學(xué)校（文））直線x-y+2=0與圓/+產(chǎn)=/相切，貝"的值是（)

A.旺B.后C.2D.20

2

【答案】B

【詳解】

因直線X-y+2=0與圓/+/=尸相切，則圓心（0,0）到宜線距離即為半徑，

2

所以r=血.

JT+(_1)2

故選：B

題型四：圓與圓的位置關(guān)系

222

1.（2021?山西省長治市第二中學(xué)校高二月考）圓。:x+/-2x-6y+6=0^[102：x+^-6x-10y+30=0

的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切

【答案】B

【詳解】

圓。I的標(biāo)準(zhǔn)方程是（X-1）2+（y-3）2=4,所以圓心是?（1,3）,半徑是4=2,

圓。2的標(biāo)準(zhǔn)方程是（*-3）2+0-5）2=4,,所以圓心是Q（3,5）,半徑是4=2,

所以兩個圓心的距離是|。0』=7（3-1）2+（5-3）2=2&,

因為h一目＜|°|°2上。+5，

所以圓。|與圓。2相交，

故選：B

2.（2021?四川省綿陽南山中學(xué)高二月考）圓一+/-21=0與圓f+丁+4）=0的公共弦長等于（）

A.y/3B.—C.—D.—

355

【答案】D

【詳解】

8

x=-

x2+y2-2x=0x=05

解：聯(lián)立，,解得或<

x2+y2+4y=0y=04

故公共弦長等于J曾+3=竽.

故選：D.

3.(2021?南昌市八一中學(xué)高二月考)己知圓，：(x-l)2+(y+2)2=9,圓O?:x?+丁+4x+2y-11=0,

則這兩個圓的位置關(guān)系為()

A.外離B,外切C.相交D.內(nèi)含

【答案】C

【詳解】

圓Oi的圓心為(1,—2),半徑為4=3,

x2+y2+4x+2y-l1=0可化為(X+2)2+(y+l)2=42,

圓。2的圓心為(一2,—1),半徑為4=4,

圓心距IOQI=B+F=Vio,

r2-=\,r2-=1,\<V10<7>

所以兩個圓的位置關(guān)系是相交.

故選：C

4.(2021?河北張家口,高二期末)圓G:廠+)2+2n—2y+l=0與圓C?:/+y2—6x—8y+9=0的位置關(guān)系是

()

A.外切B.內(nèi)切C.相交D.外離

【答案】A

【詳解】

解:圓弓：(工+1)2+()，-1)2=1.圓心￡(-1,1),半徑4=1；

圓C2：/+y2_6x_8y+9=0.g|J(x-3)2+(y-4)2=16.圓心C2(3,4).半徑4=4.

兩圓的圓心距IC|C?|=5=4+4,.?.兩圓外切，

故選：A.

5.(2021?銀川三沙源上游學(xué)校(文))圓與圓(》一1)2+>2=1的公切線的條數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】

圓V+（y-l）2=l的圓心為（0,1）,半徑彳=1,圓（x-iy+y2=i的圓心為（1,0）,半徑4=1,則兩圓心的距離

為，［-4=。＜"=夜＜八+4=2，則兩圓相交，公切線條數(shù)為兩條

故選：C

6.（2021?江蘇高二專題練習(xí)）兩圓。：V+y2=i與C?：（x-3p+y2=4的公切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

由題意，圓G的圓心（0,0）,半徑為1,而圓G的圓心為（3,0）,半徑為2,

??.GG=3,故圓C1、圓G外切.

它們公切線條數(shù)為3條.

故選：C

22

7.（2021?