2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷新課標(biāo)理科理科數(shù)學(xué)（全國卷）第Ⅰ卷一、選擇題（每小題5分，共60分）1，則1.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為-1，虛部為=（）A.1-iB.1+iC.-iD.i1.【答案】A【解析】因?yàn)閦=-1+i，則選A.2.雙曲線的離心率為2,則它的漸近線方程是（）A.B.C.D.2.【答案】A【解析】∵，∴，所以，漸近線方程為.3.如果對于任意實(shí)數(shù)1）,a,b(a<b),隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為,若X～（0，,則（）A.1/6B.1/3C.1/2D.5/63.【答案】A【解析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)圖像的對稱性可知.4.若有意義且，，則=（）A.B.C.D.4.【答案】C【解析】，，，所以.法二：特值驗(yàn)證，A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，中，所以1在中，答案為C.【易錯(cuò)提示】注意排列上下標(biāo)所滿足的條件.5.如圖所示得程序框圖若輸入n=5，則輸出的n為（）A.-3B.-1C.1D.35.【答案】B【解析】第一次循環(huán)之后：n=3；第二次循環(huán)之后：n=1；第三次循環(huán)之后：n=-1，這時(shí)對應(yīng)函數(shù)在上為減函數(shù)，輸出n=-1.答案為B.【易錯(cuò)提示】具有循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖問題，最有效的求解方法之一就是當(dāng)循環(huán)次數(shù)比較少時(shí)，把每一次循環(huán)之后每個(gè)變量的取值都一一列出，當(dāng)循環(huán)次數(shù)比較多時(shí)，利用數(shù)列通項(xiàng)把每次循環(huán)之后每個(gè)變量的取值一一列出，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.6.已知向量且，則（）A.-10B.10C.D.6.【答案】[要學(xué)習(xí)網(wǎng),只做中學(xué)生最喜歡址]B【解析】因?yàn)?，所?，故，、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址手機(jī)版地7.一組數(shù)據(jù)3，4，5，s,t的平均數(shù)是4，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是m,則過點(diǎn)P（Q（m,m）的直線與直線y=-x+4的位置關(guān)系是（）和A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合7.【答案】P（2,2），，所以Q（4,4），過點(diǎn)PQ的直線斜率為【易錯(cuò)警示】沒有注意整體求出s+t，一直想單獨(dú)求出s,t，鉆進(jìn)死胡同.C【解析】由3，4，5，s,t的平均數(shù)是4可得1，故直線PQ與直線y=-x+4垂直.8.已知（m,n為正整數(shù)），類比以上等式，可推測出則m,n的值，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A.28B.-28C.56D.-568.【答案】B【解析】歸納可知，故二項(xiàng)式為，所以常數(shù)項(xiàng)為.【易錯(cuò)警示】不能很好地運(yùn)用歸納法從已知的幾個(gè)等式中歸納出，解題受阻..9.已知，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則的解析式為（）A.C.B.D.9.【答案】B【解析】，由圖可以知道的周期為，所以知，又因?yàn)?，所?4，故，由第一零點(diǎn)法可，所以.【易錯(cuò)警示】誤以為所給是函數(shù)的圖像，造成答非所問.10.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)Q在曲線上，則的最大值與最小值之差為（）A.7/2B.C.D.10.【答案】C【解析】對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，的最小值為圓心到三條邊界線的距離減去圓的半徑，到直線2x-y+2=0的距離減去圓的半徑為，到直線2y-1=0的距離減去圓的半徑為3/2，到直線x+y-2=0的距，所以最小值為3/2；最大值為圓心到B點(diǎn)的距離加上圓的半離減去圓的半徑為徑，即4+1=5，所以最大值與最小值之差為.【易錯(cuò)警示】簡單粗略的習(xí)慣性認(rèn)為到圓上距離最小和最大的點(diǎn)是三角形都是ABC的頂點(diǎn)，認(rèn)識出現(xiàn)偏差，錯(cuò)誤解題.11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，且，則的最小值為（）A.2/3B.2C.4D.611.【答案】C【解析】由題意知，化簡得，所以q=-1（舍）或q=2，又由已知條件可得，所以，故m+n=6，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，也就是m=n=3時(shí)取“=”.12.拋物線C點(diǎn)，點(diǎn)的面積是（）焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，l，經(jīng)過交準(zhǔn)線于A在x軸上方，AK⊥l，垂足為K，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，則△AKFA.4B.C.D.812.C【解析】如圖，引垂足為N，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交與M點(diǎn)，由拋物線定義可得|BF|=|NN|，因?yàn)閨BC|=2|BF|，所以|BC|=2|BN|，故在中，，所以在中，|CF|=2|FM|，同理知|CA|=2|AK|，因?yàn)閨AK|=|AF|=4，所以|CF|=4，所以P=|FM|=2，|NB|=4/3，故，答案為C.【命題要點(diǎn)】本題以直線和拋物線相交為背景，把解析幾何與平面幾何結(jié)合，考查了拋物線定義，方程、簡單幾何性質(zhì)等基本知識，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算能力，屬于難題.第Ⅱ卷一、填空題（每小題5分，共20分）13.2011年8月12日—2011年8月23日第二十六屆世界大學(xué)生運(yùn)動會將在我國深圳舉行，某一網(wǎng)站調(diào)查對比了年齡高于40歲和不高于40歲的人對大運(yùn)會吉祥物“UU”（如圖所示）178人所得數(shù)據(jù)制成如下聯(lián)表：的喜愛程度，40歲以上調(diào)查的122人與不高于40歲調(diào)查的一般很喜愛40歲以上40歲yx35A143B不高于總計(jì)若工作人員所從有統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個(gè)，取到很喜愛吉祥物“UU”的人的概率為設(shè)從所有人中任意抽取一個(gè)取到很喜愛吉祥物“UU”的人為事件，所以X=85B=228Y=37A=72，B-A=156.19/25，則B-A=13.【答案】由已知156【解析】A，14.一個(gè)圓錐被過頂點(diǎn)的平面截去了較小的一部分幾何體，余下的幾何體的三視圖如圖，則該圓錐的體積為14.【答案】【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示，由正視圖得，由側(cè)視圖得。，由俯視圖得OB=1，由勾股定理算得OC=CP=2，∴該圓錐的體積.【易錯(cuò)警示】不能把三視圖還原為直觀圖，有效地從三視圖中提取信息是本題的最大難點(diǎn).15.在正三棱臺中，，從9條棱中任取兩條棱，則這兩條棱所在直線夾角為的概率為.15.【答案】3/4【解析】總試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)為，因?yàn)榇苏馀_是有正四面體截，故兩條棱夾角為來的，所以任取兩條棱要么平行、垂直，要么夾角為的結(jié)果數(shù)為36-3-6=27，所求事件的概率為27/36=3/4.【易錯(cuò)警示】題要力爭做到不能把三棱臺還原為正四面體來解題，是出錯(cuò)的根源，學(xué)習(xí)和解答立體幾何問“能割善補(bǔ)”.16.函數(shù)的圖像很想網(wǎng)絡(luò)流行的“囧”字的內(nèi)部，我們不妨把它稱為囧函數(shù)，則以下對于囧函數(shù)的敘述正確的是（把所有正確命題的序號都填上）①函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；②對于內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m,n（），恒成立；③對于恒成立；④③對于內(nèi)的任意實(shí)數(shù)p,q，的導(dǎo)函數(shù)有沒有零點(diǎn)；其中所有正確結(jié)論的序號是．16.【答案】①③【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以①正確；函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，所以象可知，③錯(cuò)誤④正②錯(cuò)誤；令a=1畫出函數(shù)圖確.【易錯(cuò)警示】沒有注意題目所給出的函數(shù)圖象信息，充分地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合來解題，而造成隱性浪費(fèi)時(shí)間或解題失誤，所以解數(shù)學(xué)題之前要認(rèn)真審題.三、解答題（共5小題17.（本小題滿分12分）為9頭豬中隨意抽3頭進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)有一頭豬含有“瘦肉精”，則當(dāng)天的屠宰的所有豬肉都不能通過，今天此屠戶屠宰的9頭豬中有4頭含有“瘦肉精”+選作，12+12+12+12+12+選作10=70分）了對“瘦肉精”豬肉進(jìn)行檢查，質(zhì)檢部門每天要在某屠宰戶屠宰的（1）求次屠戶今天的豬肉不能通過檢查的概率；（2）求質(zhì)監(jiān)部門今天所選的3頭豬中含有“瘦肉精”的豬數(shù)ξ的分布列，并求ξ的期望.17.解：（1）；（4分）0，1，2，3（5分）（2）的可能取值為（8分）012P5/4210/215/14的分布列為：（10分）.（12分）【規(guī)律總結(jié)】以求期望為最終目標(biāo)的題型是高考對概率知識以解答題形式考查的熱點(diǎn)題型．解答這類問題關(guān)鍵在分析隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所對應(yīng)的隨機(jī)事件，并求相關(guān)概率，再列出隨機(jī)變量分布列，應(yīng)用公式求解即可．天18.（本小題滿分12分）把正方形D,E,F分別為以邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)到正方形，其中的中點(diǎn).（1）求證：DE∥平面ABC；（2）求證：平面；（3）求二面角的大小.18.解：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為G,連接DG,CG∵D是的中點(diǎn)∴DG∥且∵E是的中點(diǎn)∴∥且，∴CE∥DG且CE=DG∴CEDG是平行四邊形，∴∵平面ABC,平面ABC，∴（2）∵為等腰直角三角形，DE∥GCDE∥平面ABC,且F是BC的中點(diǎn)平面∴平（4分）∴面∵平面∴設(shè)則，則在中，，∴是直角三角形，∴∵（3）分別以坐標(biāo)系∴平面（8分）為X,Y,Z軸建立空間直角如圖，設(shè)，則設(shè)∵平面設(shè)平面的法向量為，∴面的法向量為，∵,∴,file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-20289.png，∴不妨設(shè)，可得，∴∴二面∵二面角是銳角，角的大?。?2分）【規(guī)律總結(jié)】對于空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判定與證明問題，以及角度的求解問題，一類思維是通過幾何法，正確對線線、線面、面面的平行（或垂直）加以相互轉(zhuǎn)化，要證明線面垂直，必須通過線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化來達(dá)到目的；另一類是通過向量法，利用向量中的相關(guān)知識的運(yùn)算來達(dá)到證明與求解的目的19．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：(a＞b＞0)，圓O：x2+y2=a2，且過點(diǎn)A（c(a2)，0）所作圓的兩條切線互相垂直．（1）求橢圓離心率；（2）若直線y=2與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；（3）設(shè)點(diǎn)T（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)P的最遠(yuǎn)距離不大于5，求橢圓C的短軸長的取值范圍．19.解：（1）由條件：過點(diǎn)A（c(a2)，0）作圓的兩切線互∴OA=a，即：c(a2)=a，∴e=（3分）相垂直，（2）∵e=，∴a2=2c2，a2=2b2，∴橢圓C：．得x2=a2－12，∴DE=2,得x2=2b2－24，∴MN==4（2b2－24），,由DE=2MN，得∴2b2－12=4（2b2－24）（6分）解得b2=14，a2=28，∴橢圓方程為：．（8分）（3）∵點(diǎn)PT2=x2+(y－3)2=2b2－2y2+(y－3)2=－(y+3)2+2b2+18，其中，T（0，3）在橢圓內(nèi)部，∴b＞3，設(shè)P（x，y）為橢圓－b＜y＜b，上任一點(diǎn)，則∵b＞3，∴－b＜－3，∴當(dāng)y=－3時(shí)，PT2的最大值2b2+18．依題意：PT≤5∴PT2≤50，∴2b2+18≤50，∴0＜b≤4，又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，∴橢圓C的短軸長的取值范圍6＜b≤8．（12分）【規(guī)律總結(jié)】直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，從代數(shù)的角度看轉(zhuǎn)化為對一個(gè)二元一次方程與一個(gè)二元二次方程組成的方程組的研究，對于消元后的一元二次方程必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，如若能數(shù)形結(jié)合，借助圖形的幾何性質(zhì)則較為簡便，對于動態(tài)問題，注意“動中求基本方法是聯(lián)方立程組，判斷方程組解的組數(shù)，對于個(gè)數(shù)的問題還可借助直線與漸近線斜率的關(guān)系來判斷，而直線與拋物線的位置關(guān)系則可借助直線與拋物線對稱軸的位置關(guān)系來判定，不可混淆．20.(本小題12分)靜”．判定直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的直線與雙曲線的交點(diǎn)設(shè)m>3，對于有窮數(shù)列(n=1,2,…，m),令為…，中的最大值，稱數(shù)列為的“極值數(shù)列”.數(shù)列中不相等項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的“極值個(gè)數(shù)”.例如數(shù)列2,1,3,7,5的創(chuàng)新數(shù)列為2,2,3,7,7，極值個(gè)數(shù)為3.考察自然數(shù)1,2,…，m(m>3)的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列.（1）若m=5,寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的所有各項(xiàng)都不相等的數(shù)列；(2)是否存在數(shù)列，使它的極值數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列，若不存在，請說明理由.20.解：（1）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的數(shù)列有兩個(gè)，即：①數(shù)列3，4，1，5，2；②數(shù)列3，4，2，5，1.（3分）[要學(xué)習(xí)網(wǎng),只做中學(xué)生最喜歡、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址手機(jī)版地址]（2）設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因?yàn)闉橹械淖畲笾?所以.由題意知：，且為中最大值，為中最大值，所以.若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，且.（6分）當(dāng)d=0時(shí)，為常數(shù)列，又，所以數(shù)列為，此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)符合條件的數(shù)列；當(dāng)d=1時(shí)，因?yàn)?，所以?shù)列為，此時(shí)數(shù)列是；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以，這與矛盾，所以此時(shí)不存在，即不存在使得它的創(chuàng)新數(shù)列為的等差數(shù)列.（11分）綜上，當(dāng)數(shù)列為首項(xiàng)為m的任意符合條件的數(shù)列或?yàn)閿?shù)列1,2,.....m時(shí)，它的極值數(shù)列為等差數(shù)列.（12分）【規(guī)律總結(jié)】數(shù)列問題一直是高考的重點(diǎn)，今年來新課標(biāo)高考數(shù)列的考查方向有兩個(gè)：一是和其他知識（函數(shù)、不等式、解析幾何）交匯，構(gòu)造復(fù)合問題，此類問題只要分清知識點(diǎn)的主次地位，逐步向考查中心靠攏即；可列在實(shí)際問題中的應(yīng)用。二是新課標(biāo)視數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，并多次考查數(shù)21.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知常數(shù)最小值時(shí)滿足，求函數(shù)m的值.21.解：（1）由題知函數(shù)定義域?yàn)閄>0，；（1分）當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，令當(dāng)k<0時(shí)，令（2）因?yàn)樗院瘮?shù)無單調(diào)區(qū)間，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單，則，所以函數(shù)在上單調(diào)，所以，由（1）知，（9分）所以則，令得，易判斷此點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，也就是函最小值點(diǎn)，即時(shí)，取到最小值.（12分）【規(guī)律總結(jié)】有關(guān)導(dǎo)數(shù)的高考題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、極值以及應(yīng)用問題中的最值．查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，側(cè)重于以下三個(gè)方面1)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識研究函數(shù)極值、最值長考不衰的熱點(diǎn)內(nèi)容．另一方面從數(shù)學(xué)角度反映實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再利用函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線斜率或切線方程問題也是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用，并且也是高考考查的重點(diǎn)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的單調(diào)性是一又重點(diǎn)應(yīng)用，在高考中占有很重要的地位．22.（本小題滿分10幾何證明選講如圖，已知△ABC中，AB=AC,D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與A、C重合），延長BD至E.（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為，求△ABC外接圓的面積A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠.22（1）證明：如圖設(shè)（2分）F為AD延長線上一點(diǎn)。CDF=∠ABC又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，對頂角∠線平分∠CDE（5分）EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CD(2)解：設(shè)O為外接圓圓心，連結(jié)AO交BC于H，則AH⊥BC連結(jié)OC，由