11x11x2020年暑假數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)(必修4)第一章三角函數(shù)一、基內(nèi)容串講本章主知識：三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用，函數(shù)sin角函數(shù)模型在解決具有周期變化規(guī)律問題中的應(yīng)用。1任意角和弧制

從運(yùn)動的角度，在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進(jìn)負(fù)角及大于

0

的角。在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)角的終邊確定時，其大小不一定（通常使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸非負(fù)半軸重合為了把握這些角之間的聯(lián)系，引進(jìn)終邊相同的角的概念，凡是與終邊α相同的角，都可以表示成α+k·3600（k∈Z）的形式，特例，終邊在x軸上的角的集合為{α|α=k·180，k∈Z}，終邊y軸上的角的集合為{α|α=900+k·180，k∈Z}終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{α|

0

，k∈Z}。另外，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。弧度制是角的度量的重要表示法正確地進(jìn)行弧度與角度的換算熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧長公式=|α|R，扇形面積公式弧所對圓心角的弧度數(shù)。2任意角的三函數(shù)

S2|，其中α為22利用直角坐標(biāo)系以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)P(x，y)是角α終邊上任一點（與原點不重合記y。tanx

rOPx2，

yr

，r3同角三角函的基本系式（1）平方關(guān)系

2

2

（2）商數(shù)關(guān)系：

4三角函數(shù)的導(dǎo)公式k利用三角函數(shù)定義，可以得到誘導(dǎo)公式：即與α之間函數(shù)值的關(guān)系k∈Z2其規(guī)律是“奇變偶不變，符號看象限5三角函數(shù)的象與性函數(shù)圖象

y=sinxy=cosxy=tanx定義

R

{xk

2

,Z}域值域

[[

R奇偶性周期性

奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)在

[

22

]Z)

在

2k]Z)

在

22

)

Z)單調(diào)

上是增函數(shù)

上是增函數(shù)

上是增函數(shù)性

在

[

322

]Z)

在

[]

Z)上是減函數(shù)

上是減函數(shù)當(dāng)

x

2

Z

時，

當(dāng)

x2kZ

時y

1最值

y

1

當(dāng)

xZ

時，

無當(dāng)

x

2

Z

時，

y

1對稱性

y1對稱中對稱軸xkZ)2

k對心，對稱中(22對稱軸：無對稱軸Z)

，k6函數(shù)

的圖象作函數(shù)

)

的圖象主要有以下兩種方法：（1）用“五點法”作圖用“五點法”作

y

的簡圖，主要是通過變量代換，zx，z取0，

2

，，

32

2來求出相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后得出圖象。（2）用“圖象變換法”作圖由函數(shù)

的圖象通過變換得到

Ax

的圖象，有兩種主要途徑平移后伸縮”與“先伸縮后平移法一：先平移后伸縮向左(或向右，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉鞟倍向左(或向右，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉鞟倍向左或向右(A倍|ysinyx平移單位

)

1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變法二：先伸縮后平移

yA橫坐標(biāo)不變1ysinx可以看出前者平移個單位后者平移

平移個位個單位原因在于相位變換和周期變換都是針對變量言的。因此在用這樣的變換法作圖象時一定要注意平移的先后順序，否則會出現(xiàn)錯誤。當(dāng)函數(shù)

y

（A>00

，

）表示一個振動量時A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個振動的振幅；往復(fù)振動一次所需要的時

2

，它叫做振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)

1，它叫做振動的頻率；

叫做相位，叫做初相（即當(dāng)＝0時的相位7三角函數(shù)模的簡單用通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，學(xué)會由圖象求解析式的方法；體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。二、考闡述考點任意角的念和弧度制1、已知角α是第三象限角，則角-α的終邊在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限2、范圍內(nèi)，與終邊相同的角是（）3A.

B.63

C.

4D.333、

sin

，則的終邊在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4sin150o的值等于（）A.

112

C.

322考點弧度與角的互化5、求下列三角函數(shù)的值cos＝；4（2tan(

6

)＝?？键c任意角三函數(shù)的定義6、函數(shù)y

xx

tanx的值域。tanx7[

上滿x的是()0,B.，C.，D.，8若角3

的終邊上有一值是（）A

B3

C．

D．【解析tan

aatan44，故選。33考點正弦、余、正切函數(shù)誘導(dǎo)公9、已tan(求：

2cos(4cos(sin(2

的值。解：

原式

3sin4cossintan4考點正弦、余、正切函數(shù)圖象畫及性質(zhì)的運(yùn)10、如圖，某地一天中6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（其中

2

T℃那么這一天6時14時溫差的最大值C中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式________________.

302011、已知fx)x0)在區(qū)間[的最小值是-2，最小值是（）

3

,

]

10O6812A、

23B、32

C、2D、312、已知函數(shù)y(A>O,

>0,

<

)的最小正周期是

，最小值-2且圖象經(jīng)過點（

9

求這個函數(shù)的解析式；給出下列6種圖象變換方法：1①圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的；3②圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的倍；③圖象向右平移個單位；④圖象向左平移個單位；33⑤圖象向右平移個單位；⑥圖象向左平移個單位。99請用上述變換將函數(shù)y=Asinx圖象變換到函數(shù)y圖象，則能實現(xiàn)y=Asinx到y(tǒng)圖象正確變換序號是?！窘馕觯┯深}意T3

,

3,y2sin(3∵圖象過（92sin(3

sin(

3

|，故函數(shù)解析式y(tǒng))3（2先平移后伸縮的步驟為④①先伸縮后平移的步驟為①⑥故變換為④①或①⑥?？键c三角函數(shù)周期性13、下列函數(shù)中，最小正周期是A.ycos

B.ysin

C.

D.cos2答案：考點同角三角數(shù)的基本關(guān)式1214）已，并第二象限角，costan．13（2）已

4，sin5

tan

．解）∵

sin

2

2

，

2

sin

2

12))13

2又第二象限角，cos

即cos

513

，從而

12

，

1（2）sin

2

2

，

2

2

4))5

2

，又

4，在第二或三象限角。5在第二象限時，即sin在第四象限時，即

從sin，從

sin3；cos3sin3．5cos415、已sin2cos，求

cos解：2cos

5sintan6變：求

416、已,5

.（1）求tan

的值；）cos2)的值.243解）因0sin，cos，所以55

4.…………3分33238（2sin(2sin2.………分225525考點Asin17、要得到函數(shù)圖象，只需將函數(shù)x

3

)的圖象（）A、向左平移個單位B、向右平移個單位C、向左平移個單位D、向右平移個單位18、已知函數(shù)(x)

x）.（1）時，寫出由f()

的圖象向右平移

6

個單位長度得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）若y()象(

,0)點，且在區(qū))上是增函數(shù)，的值.33解）由已知，所求函數(shù)解析式g()x)6（2）由

f()

22的圖象(點，sin，所以333

kZ.

32

kkZ.，以

*

.當(dāng)時

32

34，fx)sinx其周期為，23此時f(x上是增函數(shù)；當(dāng)2時，fx)sin

x的周期為

4≤，3此時f(x上不是增函數(shù).所以，

32

.考點三角函數(shù)型的簡單應(yīng)19、已知函數(shù)(x)5sinxx3cos

5x)2（1）求(x的最小正周期（2）求單調(diào)區(qū)間;2121（3）求(x)圖象的對稱軸，對稱中心.解析：（1）T=π；（2[,k為(x)的單增區(qū)間，125[kf(x)單減區(qū)間；12k（3）對稱軸為x.2620、以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的已知月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價最高為10，月份銷售價最低為6，假設(shè)某商店每月購進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月售完，請估計哪個月盈利最大？并說明理由【解析】設(shè)月份為x,由條件可得出廠價格函數(shù)y2sin(1

4

x

4

)6,銷售價格函數(shù)y22

4

x

)8,

則每期的利潤函數(shù)為:my)sin(x)x)m)44所以，時，三、解方法分析

22，即6月份盈利最大.1明確任意角概念，角的概念推上理解角函數(shù)的定【方法點將角的概念推廣，引入弧度制，從而建立角的集合與實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，利用單位圓進(jìn)一步研究任意角的三角函數(shù)，樹立數(shù)形結(jié)合思想。例1角

的終邊上有一值是（）A

B3

C．

D．【解析tan

aatan44，故選。33【點評】：本題屬于“知道”層次，能準(zhǔn)確識別角的弧度制、了解三角函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合是解決問題的入手點。2熟悉同角三函數(shù)的本關(guān)系及誘公式，公式的應(yīng)用提高運(yùn)能力【方法點利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡、求值及簡單三角恒等式的證明是本章的基本問題之一，其主要考查形式為客觀題。例2

已sin

，是第四象限角，tan

[cos(3【解析：tan

[cos(3

]，∴f(x)在0,]上f()單調(diào)遞增；在[,]]，∴f(x)在0,]上f()單調(diào)遞增；在[,]tan

(tan

由已知得cos

4321tan，∴原式．520【點評】：（1）本題屬于“理解”層次，考查考生的基本運(yùn)算能；（2）本題解答的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，解題時要特別注意符號。3弄清三角函的圖象性質(zhì)，深化主干知的理解【方法點三角函數(shù)的圖象是三角函數(shù)概念和性質(zhì)的直觀反映，而性質(zhì)則往往通過對圖象的描繪、觀察進(jìn)行討論和探究，它是本章知識的重中之重，務(wù)必掌握。例知函數(shù)f()=性。

，試討論它的奇偶性、周期性以及區(qū)[0，]上的單調(diào)2【解析：fx)=

x

=|sin2x|，∴

f(-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)?！?/p>

f

sinx)sin(2xsinxf

∴周期T=

2∵f(x)=|sin2x|=，

[0，

2上單調(diào)遞減?！军c評】：本題屬于“理解”層次，考查考生對所學(xué)過的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析；通過對性質(zhì)的探究進(jìn)一步弄清函數(shù)的圖象。例4知函y(A>O,

>0,

<

)的最小正周期是，最小值是2，且3圖象經(jīng)過點（

9

（1）求這個函數(shù)的解析式.（2）給出下列6圖象變換方法：1①圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的；3②圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的倍；③圖象向右平移個單位；④圖象向左平移個單位；3⑤圖象向右平移

個單位；⑥圖象向左平移個單位。9請用上述變換將函數(shù)y=Asinx圖象變換到函數(shù)yAsin(圖象，則能實現(xiàn)y=Asinx到y(tǒng)圖象正確變換序號是?！窘馕觯┯深}意

3

,

Ax，∵圖象過（

9

2sin(3

sin(，故函數(shù)解析式為y)3（2先平移后伸縮的步驟為④①先伸縮后平移的步驟為①⑥故變換為④①或①⑥。【點評】：本題屬于“理解”層次，重點考查Asin(圖象變換和性質(zhì)，要注意知識間的相互聯(lián)系。4關(guān)注三角函模型的用，提高知遷移能【方法點解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟審題：它是解題的基礎(chǔ)。通過閱讀，理解文字語言所表述的實際問題的類型、思想內(nèi)涵以及問題的實質(zhì)，初步預(yù)測所屬數(shù)學(xué)模型，同時還要注意挖掘隱含的條件）建模：它是解題的關(guān)鍵。在深入理解的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，建立三角函數(shù)模型；（3）解模：它是解題的關(guān)鍵。運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式、圖象和性質(zhì)進(jìn)行推理、運(yùn)算，使問題得以解決）回驗：它是解題的總結(jié)。應(yīng)用問題有它的實際背景，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗、評判。例以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的已知月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價最高為10，月份銷售價最低為6，假設(shè)某商店每月購進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月售完，請估計哪個月盈利