與三角形有關(guān)的線段三角形的定義定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．注意：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.(3)三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．題型1：三角形相關(guān)概念1.下面是小強用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）【解答】解：因為三角形是由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．故選：C．【點評】此題考查了三角形的定義．解題的關(guān)鍵是熟練記住定義．【變式1-1】已知△ABC的周長為18cm，AB邊比AC邊短2cm，BC邊是AC邊的一半，則AB=cm，BC=cm，CA=cm．【分析】由題意得：AC-AB=2，AC=2BC，AB+BC+AC=18．設AC為X，則有（X-2）+12【解答】解：設AC為X，則AC=X-2，BC=12∵△ABC的周長為18，∴（X-2）+12解得：X=8，∴AB=6，BC=4，CA=8．故答案為6，4，8．【點評】此類題利用列方程的方式求解即可．【變式1-2】一個三角形有條邊，個頂點，個外角．【分析】根據(jù)三角形的概念知，一個三角形有3條邊，3個內(nèi)角，3個頂點，6個外角．【解答】解：一個三角形有3條邊，3個內(nèi)角，3個頂點，6個外角．【點評】三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形．三角形的分類(1)按角分類：(2)按邊分類：注意：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;②等邊三角形：三邊都相等的三角形.題型2：三角形的分類2.用集合來表示“按邊把三角形分類”，下面集合正確的是（）【解答】解：三角形根據(jù)邊分類故選：D．【點評】此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．【變式2-1】下列說法正確的是（）三角形分為等邊三角形和三邊不相等的三角形等邊三角形不是等腰三角形等腰三角形是等邊三角形D.三角形分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形【解答】解：A．三角形分為等腰三角形和三邊不相等的三角形，故本選項錯誤，B．等邊三角形是等腰三角形，故本選項錯誤，C．等腰三角形不一定是等邊三角形，故本選項錯誤，D．三角形分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，故本選項正確，故選：D．【點評】此題考查了三角形，用到的知識點是三角形的分類，關(guān)鍵是掌握等腰三角形與等邊三角形之間的關(guān)系．【變式2-2】圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個三角形是（）銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都有可能【解答】解：從圖中，只能看到一個角是銳角，其它的兩個角中，可以都是銳角或有一個鈍角或有一個直角．故選：D．【點評】此題考查了三角形的分類．題型3：三角形的計數(shù)問題3.課堂上，老師把教學用的兩塊三角板疊放在一起，得到如圖所示的圖形，其中三角形的個數(shù)為（）A.2B.3C.5D.6【解答】解：圖中三角形的個數(shù)是5個，故選：C．【點評】此題考查三角形，關(guān)鍵是根據(jù)圖中圖形得出三角形個數(shù)．【變式3-1】圖中三角形的個數(shù)是（）A.8B.9C.10D.11【解答】解：∵圖中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9個三角形．故選：B．【點評】此題考查了三角形，注意要不重不漏地找到所有三角形，一般從一邊開始，依次進行．【變式3-2】如圖，圖中三角形的個數(shù)為（）A.6B.15C.18D.21【分析】線段BH上有7個點，可以與點A組成7×（7-1）÷2=21個三角形．【解答】解：線段BH上有7個點，可以與點A組成7×（7-1）÷2=21個三角形，故選：D．【點評】本題考查了認識平面圖形的知識，注意數(shù)三角形的個數(shù)，可以按照數(shù)線段條數(shù)的方法解答．題型4：三角形三邊關(guān)系的應用4.已知三角形的兩邊長分別為2和7，則該三角形的第三邊長可以為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】【解答】解：∵三角形的兩邊長分別為2和7，設第三邊為m，∴三角形的第三邊取值范圍為：7?2<m<7+2，即5<m<9，∴三角形的第三邊可以是7；故答案為：C.【分析】設第三邊長為m，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，求出第三邊的取值范圍，據(jù)此判斷.【變式4-1】若一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7，則該三角形的周長可能是（）A．17 B．13 C．13或17 D．15【答案】A【解析】【解答】解：當3是腰時，3＋3＜7，不符合三角形三邊關(guān)系，故舍去；當7是腰時，7＋3>7，符合三角形三邊關(guān)系，周長＝7＋7＋3＝17.故它的周長為17.故答案為：A.【分析】分3為腰、3為底，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形，進而求出周長.【變式4-2】設a，b，c是△ABC的三邊的長，化簡(a?b?c)2?|a﹣b+c|?【分析】可根據(jù)三角形的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊．依此對原式進行去根號和去絕對值．【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三邊的長，∴a＜b+c，a+c＞b，∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，c+a+b＞0，∴原式＝b+c﹣a﹣a+b﹣c﹣a﹣b﹣c＝﹣3a+b﹣c，故答案為：﹣3a+b﹣c．【點評】本題考查了二次根式的化簡和三角形的三邊關(guān)系定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊去根號和去絕對值解答．三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.注意：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系.題型5：三角形三邊關(guān)系的證明5.已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延長線上，如圖，求證：BD－BC＜AD－AB.【答案】證明：∵在△BCD中，BD－BC＜CD,∵CD=AD－AC且AB＝AC，則CD=AD－AC=AD－AB,即BD－BC＜AD－AB【解析】【分析】在△BCD中，由三角形任意兩邊之差小于第三邊可得BD－BC＜CD,由線段的構(gòu)成和已知可得CD=AD－AC=AD－AB,代入即可求解.【變式5-1】已知：如圖，P是△ABC內(nèi)一點．求證：AB+AC>PB+PC．【答案】證明：延長BP交AC于點D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．【解析】【分析】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，可通過換算得出AB+AC>PB+PC?！咀兪?-2】如圖，△ABC中，點D在AC上，點P在BD上，求證：AB+AC＞BP+CP．【分析】由三角形的三邊關(guān)系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得結(jié)論．【解答】證明：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△PDC中，CD+PD＞PC，∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC∴AB+AC＞BP+CP．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練運用三角形的三邊關(guān)系是本題的關(guān)鍵．題型6：三角形中的分類討論6.等腰三角形的兩邊長滿足|a﹣5|+（b﹣9）2＝0.求這個等腰三角形的周長.【答案】解：根據(jù)題意得a-5=0，b-9=0，解得a=5，b=9，①5是腰長時，三角形的三邊分別為5、5、9，∵5+5>9能組成三角形，∴周長=5+5+9=19.②5是底邊時，三角形的三邊分別為5、9、9，∵5+9>9能組成三角形，周長=9+9+5=23.綜上所述，這個等腰三角形的周長為19或23.【解析】【分析】根據(jù)非負數(shù)之和為0，則每一個數(shù)都為0可得a-5=0，b-9=0，求出a、b的值，然后分5為腰；5為底邊，由三角形三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形，進而求出周長.【變式6-1】已知等腰△ABC的周長為20，求腰長的取值范圍．【答案】解：設等腰△ABC的腰長為x，則底邊長為20﹣2x，依題意有2x>20?2xx+20?2x>x解得5＜x＜10．故腰長的取值范圍是5＜x＜10．【解析】【分析】設等腰△ABC的腰長為x，則底邊長為20﹣2x，根據(jù)題意列出不等式組，即可得出x的范圍?！咀兪?-2】等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，求這個等腰三角形的底邊長.【答案】解：如答圖所示．設AD=DC=x，BC=y，由題意得x+2x=12或x+2x=21解得{x=4，當時x=4，當時x=7，∴這個等腰三角形的底邊長是5．【解析】【分析】作出圖形，設AD=DC=x，BC=y，再分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可得解。三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.題型7：三角形的穩(wěn)定性7.人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【答案】B【解析】【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加梯子的穩(wěn)定性.故答案為：B.【分析】三角形具有穩(wěn)定性，據(jù)此解答即可.【變式7-1】下列圖形中不具有穩(wěn)定性的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A選項圖形中是兩個三角形組成，具有穩(wěn)定性；B選項圖形中是四個三角形組成，具有穩(wěn)定性；C選項圖形中是三個三角形組成，具有穩(wěn)定性；D選項圖形中是四邊形，不具有穩(wěn)定性；故答案為：D.【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性逐項判斷即可。【變式7-2】小輝用7根木條釘成一個七邊形的木架，他為了使該木架穩(wěn)固，想在其中加上四根木條，請你在圖1、2、3中畫出你的三種想法，并說明加上木條后使該木架穩(wěn)固所用的數(shù)學道理?【答案】解：如圖所示：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性．?【解析】【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行畫圖即可．三角形的高、中線與角平分線1、三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；2、三角形的中線三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.3、三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.題型8：三角形的角平分線、中線和高8.如圖，AD⊥BC于點D，GC⊥BC于點C，CF⊥AB于點F，下列關(guān)于高的說法錯誤的是（）A．在△ABC中，AD是BC邊上的高B．在△GBC中，CF是BG邊上的高C．在△ABC中，GC是BC邊上的高D．在△GBC中，GC是BC邊上的高【答案】C【解析】【解答】解：A、在△ABC中，AD是BC邊上的高，該說法正確，故本選項不符合題意；B、在△GBC△GBC中，CF是BG邊上的高，該說法正確，故本選項不符合題意；C、在△ABC中，GC不是BC邊上的高，該說法錯誤，故本選項符合題意；D、在△GBC中，GC是BC邊上的高，該說法正確，故本選項不符合題意.故答案為：C.【分析】過三角形一個頂點向其對邊所在的直線引垂線，頂點與垂足間的線段就是三角形的高，利用三角形高線的定義，對各選項逐一判斷即可.【變式8-1】如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A．CG B．BF C．BE D．AD【答案】D【解析】【解答】解：△ABC中，BC邊上的高為：線段AD.故答案為：D.【分析】根據(jù)三角形高的定義求解即可?！咀兪?-2】下列說法中，①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點．正確的是（）A．① B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【解析】【解答】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故符合題意；②鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故不符合題意；③直角三角形有兩條直角邊和直角到對邊的垂線段共三條高，故不符合題意；④三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點是正確的，三條高線所在的直線一定交于一點，高線指的是線段，故不符合題意．所以正確的有①．故答案為：A．【分析】根據(jù)三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部；三角形三條高可以在內(nèi)部，也可以在外部，直角三角形由兩條高在邊上。題型9：三角形的中線與周長問題9.如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長為（）?A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【答案】A【解析】【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD周長的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，∴△ACD周長為：25﹣6=19cm.故答案為：A.【分析】利用三角形的中線可得BD=CD，由于△ABD和△ACD周長的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=6，據(jù)此即可求出結(jié)論.【變式9-1】如圖，AD為△ABC的中線，AB=12cm，△ABD和△ADC的周長差是4cm，求△ABC的邊AC的長(AC<AB).【答案】解：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD，∵△ABD和△ADC的周長差是4cm，∴AB+AD+BD–(AC+AD+CD)=AB+AD+BD–AC–AD–BD=AB–AC=4cm，∵AB=12cm，∴AC=AB–4cm=8cm.【解析】【分析】根據(jù)三角形中線的定義得出BD=CD，再根據(jù)△ABD和△ADC的周長差是4cm列出等式，化簡得出AB–AC=4cm，即可求出AC的長.【變式9-2】如圖:在ΔABC中（AC>AB），AC=2BC，BC邊上的中線AD把ΔABC的周長分成60cm和40cm兩部分，求邊AC和AB的長.【答案】解：∵AD是BC邊上的中線，AC=2BC，∴BD=CD，設BD=CD=x，AB=y，則AC=4x，∵AC>AB，∴AC+CD=60，AB+BD=40，即4x+x=60，x+y=40，解得：x=12，y=28，即AC=4x=48cm，AB=28cm．【解析】【分析】先根據(jù)AD是BC邊上的中線得出BD=CD，設BD=CD=x，AB=y，則AC=4x，再分△ACD的周長是60與△ABD的周長是60兩種情況討論即可。題型10：三角形的中線與面積問題10.三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（）A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形C．直角三角形 D．周長相等的三角形【答案】B【解析】【解答】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形.故答案為：B.【分析】根據(jù)等底同高，可知三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形.【變式10-1】如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AD的中點，△ABC的面積為6cm2，則△BDE的面積為．【答案】3【解析】【解答】解：∵D、E分別是BC，AD的中點，∴S△BDE=12S△ABD，S△ABD=12S∴S△BDE=14S△ABC=14×6=故答案為32【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)：將三角形的面積分成相等的兩部分可得S△BDE=12S△ABD，S△ABD=12S△ABC，因此S△BDE=14S△ABC【變式10-2】如圖，在△?ABC中，已知點D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，若△?ABC的面積為4cm2，則陰影部分的面積為【答案】1【解析】【解答】解：∵點E是AD的中點，∴S△ABE＝12S△ABD，S△ACE＝12S∴S△ABE＋S△ACE＝12S△ABC＝12×4＝2cm∴S△BCE＝12S△ABC＝12×4＝2cm∵點F是CE的中點，∴S△BEF＝12S△BCE＝12×2＝1cm故答案為：1．【分析】利用三角形的角平分線、中線的性質(zhì)，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可。一、單選題1．下列長度的三條線段首尾相連能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，7 D．4，5，10【答案】B【解析】【解答】解：A.∵1+2=3，∴1，2，3不能組成三角形；B.∵2+3>4,∴2，3，4能組成三角形；C.∵3+4=7，∴3，4，7不能組成三角形；D.∵4+5<10,∴4，5，10不能組成三角形；故答案為：B.【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可一一判斷得出答案。2．下列長度的每組三根小木棒，能組成三角形的一組是（）A．3，3，6 B．4，5，10 C．3，4，5 D．2，5，3【答案】C【解析】【解答】A、3+3＝6，不能構(gòu)成三角形；B、4+5＜10，不能構(gòu)成三角形；C、3+4＞5，5?3<4,能夠組成三角形；D、2+3＝5，不能組成三角形.故答案為：C.【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，對各選項進行逐一分析即可.3．若一個三角形的兩邊長分別為2和8，則第三邊長可能是（）A．3 B．6 C．7 D．12【答案】C【解析】【解答】解：∵一個三角形的兩邊長分別為2和8，∴8-2＜第三邊長＜8+2，∴6＜第三邊長＜10則第三邊長可能是：7.故答案為：C.【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，列出不等式組，求解得出第三邊的取值范圍，據(jù)此進行判斷.4．下列各組長度的線段能構(gòu)成三角形的是（）A．2cm4cm2cm B．5cm8cm3cmC．8cm2cm8cm D．5cm12cm3cm【答案】C【解析】【解答】解：A、∵2+2=4，故不能構(gòu)成三角形，A不符合題意；B、∵3+5=8，故不能構(gòu)成三角形，B不符合題意；C、∵2+8＞8，故,能構(gòu)成三角形，C符合題意；D、∵3+5＜12，故不能構(gòu)成三角形，D不符合題意；故答案為：C.【分析】根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，依此逐一分析即可得出答案.5．某同學手里拿著長為3和2的兩個木棍，想要裝一個木棍，用它們圍成一個三角形，那么他所找的這根木棍長滿足條件的整數(shù)解是（）A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5【答案】C【解析】【解答】解：設他所找的這根木棍長為x，由題意得：3-2＜x＜3+2，∴1＜x＜5，∵x為整數(shù)，∴x=2，3，4，故答案為：C．【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可得：三角形的第三邊大于兩邊之差而小于兩邊之和，即3-2＜第三邊＜3+2，再找出其中的整數(shù)解即可。6．如圖，在ΔABC中，E是邊BC上點，EC=2BE，點D是AC的中點。連接AE，BD交于F，已知SΔABC=6，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【解答】解：∵S△ABC＝6，EC＝2BE，點D是AC的中點，∴S△ABE＝13S△ABC＝2，S△ABD＝12S∴S△ADF?S△BEF＝S△ABD?S△ABE＝3?2＝1.故答案為：A.【分析】本題需先根據(jù)同高三角形的面積關(guān)系就是底之間的關(guān)系分別求出S△ABD，S△ABE再根據(jù)S△ADF?S△BEF＝S△ABD?S△ABE即可求出結(jié)果.7．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．4，5，9 B．6，7，14 C．4，6，10 D．8，8，15【答案】D【解析】【解答】解：A.4+5＝9，故該選項不能組成三角形，B.6+7＝13＜14，故該選項不能組成三角形，C.4+6＝10，故該選項不能夠組成三角形，D.8+8＝16＞15，能組成三角形，故答案為：D.【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行分析判斷．8．一個三角形的兩邊分別為5cm、11cm，那么第三邊只能是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm【答案】D【解析】解答：設第三邊長為x，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得，即，在這里x只能取7cm.分析：根據(jù)“三角形兩邊的和大于第三邊”和“三角形兩邊的差小于第三邊”可得第三條邊的取值范圍.9．下列長度的三條線段中，不能組成三角形的是（）.A．2cm，5cm，5cm B．3cm，4cm，5cmC．2cm，4cm，6cm D．1cm，2cm，3cm【答案】C【解析】【解答】解：A、∵2+5＞5，∴這三條線段能構(gòu)成三角形，故A不符合題意；B、∵3+4=7＞5，∴這三條線段能構(gòu)成三角形，故B不符合題意；C、∵2+4=6=6，∴這三條線段不能構(gòu)成三角形，故C符合題意；D、∵1+2＞3，∴這三條線段能構(gòu)成三角形，故D不符合題意；故答案為：C【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，求出各選項中的較小的兩條線段的和，再與最長的線段比較大小，即可得出答案。二、填空題10．空調(diào)安裝在墻上時，一般會用如圖所示的三角形支架固定在墻上，這種方法應用的數(shù)學知識是.【答案】三角形的穩(wěn)定性【解析】【解答】解：這種方法應用的數(shù)學知