§1.5全概率公式和貝葉斯公式

一、全概率公式例1有10件產(chǎn)品，其中有3件為次品，從中任取一件不放回，連續(xù)取兩次，求第2次取到的為次品的概率．解令A(yù)表“第2次取到次品”，B表“第一次取到正品”，則

從形式上看，上述分解式似乎將A復(fù)雜化了；但從實質(zhì)上看，上述分解式將復(fù)雜的事件A分解為較簡單的事件了．把這個想法一般化，得

全概率公式設(shè)試驗E的樣本空間為Ω，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，若滿足(1)BiBj=，i、j=1，2，…，n，i≠j；(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω．滿足(1)與(2)的事件組叫樣本空間的一個劃分．(完備事件組)若P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），那么，E的任一事件A的概率此式即為全概率公式證∵A=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪AB2∪…∪ABn

且P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），(ABi

)(ABj)=，i≠j

∴

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)

+P(B2)P(A|B2)

+…+P(Bn)P(A|Bn)例1就用了ｎ＝2的全概率公式．若P(A)不易直接求得，但卻容易找到Ω的一個劃分B1,B2,…,Bn

,且P(Bi)和P(A|Bi)已知或容易求，那么就可以根據(jù)全概率公式求P(A)。用全概率公式的關(guān)鍵在于找出完備事件組．例2某廠有1、2、3三個車間，生產(chǎn)同一型號的元件，其產(chǎn)量分別占該廠總產(chǎn)量的25%、35%和40%，各車間的次品率分別為5%、4%和3%，各車間的產(chǎn)品都混放在一起，求從總產(chǎn)品中任取一件為次品的概率．解令A(yù)表示“取到一件次品”，Bi表示“取到第i車間的產(chǎn)品”，i=1，2，3，則由題意知P(B1)=0.25，P(B2)=0.35，P(B3)=0.4．P(A|B1)=0.05P(A|B2)=0.04P(A|B3)=0.03而B1，B2，B3是完備事件組，由全概公式P(A)=P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)=0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.40×0.03=0.0385．例：有12個乒乓球為新球，每次比賽時取出3個用完后放回去，求第三次比賽時取到3個新球的概率。解：設(shè)Ai，Bi，Ci分別為第一、二、三次取到i個新球(i=0、1、2、3）。二、貝葉斯公式在全概率公式中，復(fù)雜事件A的概率是通過尋找出引起A發(fā)生的各種“原因”:B1、B2、…、Bn發(fā)生的概率P(Bi)，和它們對A產(chǎn)生的作用P(A|Bi)，i=1、2、…、n來求P(A)的

P(Bi)通常是從已知條件或以往經(jīng)驗得到的，是在試驗前對引起A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的可能性大小的估計，稱為驗前概率．若在事件A發(fā)生條件下，重新考慮引起A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的概率P(Bi|A)，i=1，2，…，n，則可以利用條件概率定義和全概率公式推導(dǎo)出此式稱貝葉斯公式，也稱逆概率公式．貝葉斯公式所求的P(Bi|A)(i=1,2,…,n)又稱為驗后概率．這是在試驗后當(dāng)A發(fā)生的條件下，對導(dǎo)致A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的可能性大小的重新估計．(i=1,2,…,n)例3對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機器調(diào)整良好時，產(chǎn)品合格率為90%，而當(dāng)機器發(fā)生某一故障時，合格率為30%．每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為75%．試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整良好的概率是多少？解設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機器調(diào)整良好”，已知P(A|B)=0.9，

這就是說，當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整良好的概率是0.9．這里，概率0.75是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，是驗前概率．而0.9就是驗后概率．有了驗后概率我們就能對機器的情況有進一步的了解．例4根據(jù)以往記錄資料，某疾病的診斷性試驗具有如下效果，確實患此病的人試驗反應(yīng)呈陽性的占95%，沒患此病的人試驗反應(yīng)呈陰性的占95%，此病的發(fā)病率為0.5%，現(xiàn)對自然人群進行普查，求當(dāng)試驗反應(yīng)呈陽性時，確實患此病的概率．解令A(yù)表示“試驗反應(yīng)呈陽性”，B表示“確實患此病”，則問題所求為P(B|A)．由題意可知：P(A|B)=0.95P(B)=0.005此題的結(jié)論表明，盡管有病反應(yīng)呈陽性和無病反應(yīng)呈陰性的概率都較高，都為0.95，但若將此試驗用于普查，則有P(B|