h第一章線性空間與線性變換線性空間與線性變換是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論時經(jīng)常用到的兩個極其重要的概線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的重要基礎(chǔ)，所考慮的數(shù)域是實數(shù)域(記為R)和復(fù)數(shù)域(記為C)，統(tǒng)稱數(shù)域F．加法運算：對于V中任意兩個元素a,，總有V中一個確定的元素y與之對1)a+=+a；則稱V為數(shù)域F上的一個線性空間，也稱向量空間．V中所定義的加法及數(shù)乘運算統(tǒng)稱為線性運算，其中數(shù)乘又稱數(shù)量乘法．在不致產(chǎn)生混淆時，將數(shù)上的線性空間簡稱為線性空間．hnFn對于多項式f(x),g(x)F[x]，設(shè)nf(x)=axn1+axn2++ax+a，n1n210xbn1n210iif(x)+g(x)=(a+b)xn1+(a+b)xn2++(a+b)x+(a+b)F[x]，n1n1n2n21100nn1n210nn4數(shù)域F上的n維列(或行)數(shù)組向量的全體所構(gòu)成集合記為Fn，它對運算構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間．a(chǎn),b]上的實函數(shù)全體的集合V，對于函數(shù)加法、數(shù)乘運算構(gòu)y3y+2y=01212hD1h定理1設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，則12r12r12kk+k，1122rrr12r12r12s,,,中每個向量都可由向量組,,,線性表示，則稱向量組12r12s12r12s12r12s12r12s(2)對稱性如果向量組,,,與,,,等價，那么向量組12r12s12s12r12r12s12s12t12r12th12r12r kkhrr12r12r．12r12r12rkkk0，1122rr12rrk1k2kr1，rk1k2kr1rrrr12r112rlll，rll1122l(1)0，r1r1rrrr1121EEEEEEEhkE+kE+kE+kE=0，212321422h即(kk) (k3k4)2 (k3k4)12341112123214221234定理3設(shè)V為數(shù)域F上的線性空間，如果V中向量組a,a,,a線性無12r12s證采用反證法．假設(shè)r>s，因為向量組a,a,,a可由向量組b,12r1b,,b線性表示，即2sijijj=1rrijijjiijijj=1i=1ss22srrss22srr12r12r12r1122rr因此，向量組a,a,,a線性相關(guān)，這與a,a,,a線性無關(guān)矛盾，于是12r12r．定理4設(shè)線性空間V中向量組a,a,,a線性無關(guān)，而向量組a,a,12r12abbaaa一的．r12r證向量組a,a,,a,b線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)k,k,,12r12hrr+1kkhrrr+1并且k豐0；否則向量組a,a,,a線性相關(guān)，這與條件矛盾．從而r+112r12kkk1k2kk,a線性表示．rkr 假設(shè)b可由a,a,,a線性表示為12r1122rr1122rr則111222rrr12rii一的表示為a,a,,a的線性組合．12r定義5設(shè)a,a,,a是線性空間V中一組向量，如果a,a,,a中存12s12saaa12riiij12r任一向量都可由向量組a,a,任一向量都可由向量組a,a,ii線性表示，則稱向量組a,a,ii,airr1irr1212量組a,a,,a的一個極大線性無關(guān)組，數(shù)r稱為向量組a,a,,a的秩，12s12s記為rank{a,a,,a}=r．12s 12n12n12n12n使得nnh12nhc12n 12n12n一個線性無關(guān)的向量組．為證a,a,,a是基，只須證明V中任一向量a可12n由a,a,,a線性表示．此時，向量組a,a,,a中每個向量都可由基12n12n12na,a,,a，a線性相關(guān)．再由定理4，便知a可由a,a,,a線性表示，12n12n3123112233EEERR3．3(100)(010)(001)E=||,E=||,E=||,11(000)12(000)13(000)(000)(000)(000)E=||,E=||,E=||，21(100)22(010)23(001)hh(aaa)2)對于F2根3中任一元素A=|111213|，有 (aaa)2122232121313212122222323ij解V中一般元素可表示為(|ab)|，a,b,c=R，a,b,c所在位置各體現(xiàn)一 (bc)考慮V中向量組(10)(01)(00)A=||,A=||,A=||，1(00)2(10)3(01)123(a2)對V中任一矩陣，A=| (bb)b)c)12c)123于V中任一向量a，有數(shù)域F中惟一的一組數(shù)a,a,...,a，使22...nn22...nnn12n矩陣乘法的形式，記122hanhn (a)nnn-1n-210xna,a,...,a)T．01n-1例13設(shè)V是二階實對稱矩陣全體的集合，對于矩陣加法與矩陣數(shù)乘運1121231232引理1在n維線性空間中，對于任一組基，向量a為零向量的充分必要a12n12n1122nn1122nn111222nnnh1122nnh12s12s12sFkkk12s3有數(shù)域F中不全為零的數(shù)k,k,...,k使12s1122ss12snlln1n12n2nnn|11|11AA|a21)|) (ani12n且是可逆的，把(1)式形式地表達為n12nn(2)式兩端同時右乘A-1，便得n2nhnn12n(x)1x||(x)1x|||||||| (x)n (x)h究同一向量在兩組基下的坐標間的關(guān)系．12n12n分別為(x,)1222，，n12n12nh例141=||2=||3=|-|例141=||2=||3=|-|5)5)2)ha,a,a下的坐標(x,x,x)T．123123解首先容易得到由基c,c,c到基a,a,a的變換公式為123123aaa)=(c,c,c)A，123123(–2 (3|||–1–2)0–5|(51 (2||||3–241–2 2–613123123T123(10)(00)(01)(01)(10|1234=1234|00即(A,A,A,A1234=1234|00|01h00|1|00B||| (00110h0)1||0)12341112212212341|||1 100-101100)1-11-1，|||0)341112212212|||2 (111001)，，|||0)1234111221222h12341234121h(1|=12=2|0 |=12=2|0 | (00011001-11)(11||-1||110||11||0)(1000)00)||||1=202 (01111100)定義8設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間V的一個非空子集合，且對V中已有1條件111111因為線性子空間中不可能比整個線性空間中有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向hdimVdimV(1)1設(shè)x,x,設(shè)x,x,m111mmi1子空間稱為由x,x,,x生成(或張成)的子空間，記為12mm11mm12m(2) 1112m112m特別地，零子空間就是由零元素生成的子空間L(0)．ijiaA12n12n12n12n12n1122nn合，則h1122nn與A的列向量組的線性組合的集合L(a,a,,a)相同，從而有Aij123123ij因hVFVnm子空間，x,x,,x是12m1m+1m+2n12n證對維數(shù)差nm作歸納法．當(dāng)nm=0時，定理顯然成立，因為12m12m在Vn中至少有一個向量x不能被x,x,,x線性表出，把x添加進去，m12mm+112mm+112r12r12r式(3)知子空間L(x,x,,x,x)是m+1維的．因為2mm+112mm+112mm+1VVV間．121212121212V121212VV是V的子空間．hVV為子空間V,V的交．212VV=VV，1221(VV)V=V(VV)．123212所有x+y這樣的元素的集合稱為V與V的和，記為V+V，即121212定理10如果V,V都是數(shù)域F上的線性空間V的子空間，那么它們的和V+V也是V的子空間．證顯然V+V非空．又對任意向量x+y,x+y=V+V，設(shè)x,x=V，112212121y,y=V，則有2(x+y)+(x+y)=(x+x)+(y+y)=VV，1122121212Vk=F,k(x+y)=kx+ky=VV，111112這就證明了V+V是V的子空間．，V+V=V+V，1221(V+V)+V=V+(V+V)．123123例如，在線性空間R3中，V表示過原點的直線l上所有向量形成的子空12212l與l交點(原點)形成的零子空間；V+V是在由l與l所決定的平面上全體向12121212121221212間WV,WV，那么WV+V．這就是說包含V與V的子空間W也包含21212V+V；或者說V+V是包含V及V的最小子空間．21212關(guān)于兩個子空間的交與和的維數(shù)，有如下的定理．定理11(維數(shù)公式)如果V,V是數(shù)域F上的線性空間V的兩個子空間，hlx+lxlx+lx++lx+qz+mm1122xxhdim(V+V)2dimV+dimV=dim(V+V)dim(V+V)221212m11221221121121122從而V+V=V，故122dim(V+V)=dimV=n+nm．21212時，設(shè)x,x,,x為VV的基．由定理8，將它依m(xù)121111m11122只要證明向量組1m122是V+V的一個基，這樣一來，V+V的維數(shù)就等于n+nm，則式(10)成12121m1n1m12mnmnm122121m1nm12須證明這n+nm個向量線性無關(guān)．假定2kx++kx+22mmnmnm22令x=qz++qz=kxkxpypy，則由第一等式有x=V；由第二等式有x=V，因此有1x=VV，12即x可由x,x,,x線性表出，令12mx=lxlxlx，1122mm則有hmnm2222hl==l=0,q=m1kx++kx+py++py=0，111mm11nmn11m1nm1k==k=0,p==p=0．m1nm這就證明了x,,x,y,,y,z,,z線性無關(guān)，因而它是V+V的121m1nm1nm112式(10)表明，和空間的維數(shù)往往要比空間維數(shù)的和?。o出和空間V+V時，只知道其任一向量z均可表示為xV與yV的和，2121221y=(3,1,2)所生成的子空間．則其和V+V中的零向量0，一方面可表示為21212為xxyy，1221這就說明零向量的表示法不惟一．針對這種現(xiàn)象，作如下定義．VV中的任一向量只能惟一地表示為子空間V的一個向量121與子空間V的一個向量的和，則稱V+V為V與V的直和或直接和，記為21212V中V(或VV)．212定理12和V+V為直和的充要條件是VV=L(0)．12證充分性設(shè)VV=L(0)，對zV+V，若有1212即z=x+x,xV,xV；121122z=y+y,yV,yV，121122(xy)+(xy)=0,xyVxyV，1122111222(xy)=(xy)VV12212hxy=0,xy=0,1122112212h1212121212121212121212k1l2121k1l12l12k1l11kk11ll1k1故c=1cx+kk11ll12k1l1k1liVxsVxxxx，i1sii12s 都有V中一個確定元素a,與之對應(yīng)，則稱(為線性空間V的一個變換，并把hh定義14設(shè),T都是線性空間V的變換，如果對于任意的a=V，總有k*(k=F)：k*(a)=ka，a=V．(k)(a)=k(a),a=VaFk，總有h2線性變換保持線性組合關(guān)系不變，即對V中任何向量a,a,...,a及數(shù)域F中任何數(shù)k,k,...,k總有12sa1122ss1122ss3線性變換把線性相關(guān)組化為線性相關(guān)組．s12s2ss1122ss1122sss證對任意的a,V及任意的kF，有p數(shù)域F上的數(shù)k，l，總有(kl)=k(l);(k+l)=k+l;h 又，對于V中任意向量a及數(shù)域F中的任意數(shù)k，nDft)=f,(t),nnaba首先說明線性空間V的一個線性變換(，可以由它對基的作用完全確定．即已知(將e化為((e)(i=1,2,...,n)，則對V中任意向量ii1122nn122nn這說明((a)被完全確定．由a的任意性，知線性變換(被完全確定了．i12n|(|(c)=ac+ac+n1n12n2hn2nnnn (an2 (an2a)Ah|||||||，，引進記號G(:,:,...,:)用來表示(G(:),G(:),...,G(:))，故(4)又可表示n12n為G(:,:,...,:)=(:,:,...,:)A．(5)n12nnAGn顯然，當(dāng)G確定時，它在取定基:,:,...,:下的矩陣A是被G惟一決定i12ni1i12i2nin對于V中向量令1122nn1122nn1122nnl1122nn1122nn22nnh111222nnn111222nnn 122nn 1122nn1122nn 1122nnai1i一1ii+1n i1i一1ii+1ni1i12i2ninii換(是惟一的．n31231212123h(|010)|3iii)(k)k|||)||)||||k，k，n12n ( (ii1122nn122nn1122nnnhn12n123hn2nn12n1122nn12n12nnn12nn矩陣恰是A1．n反之，若線性變換在基,,...,下的矩陣A是可逆的，可設(shè)在基31231323的向量f(x)=2x2，求出1[f(x)]．0)0)|0)0)||||h(0 (0|||1002，因為恒等變換1*是線性變換并且在任一基下的矩陣都是單位矩陣．故知o(作為兩個線性變換之和)為線性變換，根據(jù)定理13又知o=T+1*在基ccc下的矩陣為123因為B可逆，由定理14知o為可逆線性變換．3113123313112323cccVo基下的矩證n221122nnnn(x)112n2 ( (x)nnh (x)12n23坐標為(2)(1-1B-1|0|2)(2)(0)-2||0|=|2|．123Vc,c,...,c及n,n,...,n下的矩陣分別是A和n2nn12n證12n12nnn12n12nn2nn12nn線性變換的特征值與特征向量對于線性變換的研究，起著十分重要的作用，而且在物理、力學(xué)和工程技術(shù)中具有實際的意義．h000x1(,,...,)212n1xn111x.,)2x12nx(,,...,)A2x12nx(,,...,)2x12n,)(12nx)xxxxxnnnnnxx11A2A22，xxxnnn1這說明特征向量的坐標xx2滿足齊次線性方程組xnhn222n 例8設(shè)線性變換裝在基c,c,c下的矩陣是A(||，求裝的特征21h2322nRx]中，線性變換nD[f(x)]f(x)22x(n1)!000D．0000EDED 量所組成的集合，記為V，即h然nnn,n下的矩陣4h