八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1431提公因式法新版新人教版第1頁(yè)/共33頁(yè)問(wèn)題

新興一中決定購(gòu)買m臺(tái)電腦和m套桌子,現(xiàn)在知道每臺(tái)電腦的單價(jià)為a元,每套桌子的單價(jià)為b元,那么怎樣表示該校購(gòu)買電腦和桌子總共需要的資金呢?學(xué)習(xí)新知第2頁(yè)/共33頁(yè)一:購(gòu)買一臺(tái)電腦和一套桌子需(a+b)元,購(gòu)買m臺(tái)電腦和m套桌子共需m(a+b)元.二:購(gòu)買m臺(tái)電腦需ma元,購(gòu)買m套桌子需mb元,則購(gòu)m臺(tái)電腦和m套桌子共需(ma+mb)元.答案從這兩種方法中,我們發(fā)現(xiàn)了什么?思考ma+mb=m(a+b)第3頁(yè)/共33頁(yè)請(qǐng)把下列多項(xiàng)式寫成整式的積的形式:一、因式分解小活動(dòng)(1)x2+x=

;

(2)x2-1=

.

第4頁(yè)/共33頁(yè)思考等式左邊是多項(xiàng)式,右邊都是乘積的形式.

觀察上述兩個(gè)式子和ma+mb=m(a+b),這些式子的共同特點(diǎn)是什么?第5頁(yè)/共33頁(yè)定義因式分解:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫做因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.第6頁(yè)/共33頁(yè)

正確理解因式分解要注意以下三點(diǎn):(1)因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式,不是單項(xiàng)式,也不是以后我們要學(xué)習(xí)的分式.(2)因式分解的結(jié)果是整式的乘積的形式.(3)不能走回頭路,如x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1,本來(lái)已經(jīng)完成了對(duì)x2-1的因式分解,但習(xí)慣性地按整式乘法算出x2-1的結(jié)果,就畫蛇添

足了.知識(shí)拓展第7頁(yè)/共33頁(yè)練習(xí)

下列從左到右的變形中,哪些是分解因式?哪些不是分解因式?為什么?(1)12ab=3a·4b;(2)(x+3)(x-3)=x2

-9;(3)4x2

-8x-1=4x(x-2)-1;(4)2ax-2ay=2a(x-y);(5)a2-4ab+4b2

=(a-2b)2.是是第8頁(yè)/共33頁(yè)總結(jié)(1)分解因式是多項(xiàng)式的恒等變形,也就是分解因式的結(jié)果的積等于多項(xiàng)式;(2)分解因式的結(jié)果必須是整式的積的形式,每個(gè)因式必須是整式且每個(gè)因式的次數(shù)都不高于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù).第9頁(yè)/共33頁(yè)思考

因式分解時(shí),左邊必須是多項(xiàng)式,右邊是幾個(gè)因式的乘積,且又是左、右兩邊恒等,那么分解因式與整式乘法有什么關(guān)系?第10頁(yè)/共33頁(yè)

如果把整式乘法看作一個(gè)變形過(guò)程,那么多項(xiàng)式的分解因式就是整式乘法的逆過(guò)程;如果把多項(xiàng)式的分解因式看作一個(gè)變形過(guò)程,那么整式乘法又是多項(xiàng)式的分解因式的逆過(guò)程.因此,多項(xiàng)式的分解因式與整式乘法互為逆過(guò)程,一方面說(shuō)明了兩者之間的密切關(guān)系,另一方面又說(shuō)明了兩者的根本區(qū)別.第11頁(yè)/共33頁(yè)練習(xí)

根據(jù)乘法運(yùn)算的算式,把下列多項(xiàng)式分解因式:乘法運(yùn)算分解因式a(3a-5b)=3a2-5ab

3a2-5ab=

(x-3y)(2x+y)=2x2-5xy-3y2

2x2-5xy-3y2=(x-2y)(x+2y)=x2-4y2x2-4y2=(a-3b)2=a2-6ab+9b2a2

-6ab+9b2=第12頁(yè)/共33頁(yè)歸納ma+mbm(a+b)分解因式整式乘法第13頁(yè)/共33頁(yè)

如圖,一塊菜園由兩個(gè)長(zhǎng)方形組成,這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)分別是3.8m,6.2m,寬都是3.7m,如何計(jì)算這塊菜園的面積呢?二、提公因式法思考

3.83.73.76.2第14頁(yè)/共33頁(yè)列式:3.7×3.8+3.7×6.2有簡(jiǎn)便算法嗎?解:3.7×3.8+3.7×6.2=3.7×(3.8+6.2)=3.7×10=37(m2).第15頁(yè)/共33頁(yè)

在這一過(guò)程中,把3.7換成m,3.8換成a,6.2換成b,于是有:ma+mb

=m(a+b).m(a+b)=ma+mb利用整式乘法驗(yàn)證:第16頁(yè)/共33頁(yè)觀察多項(xiàng)式ma+mb有什么特點(diǎn)？

各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m,我們把因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

又如

:b是多項(xiàng)式ab-b2各項(xiàng)的公因式;2xy是多項(xiàng)式4x2y-6xy2z各項(xiàng)的公因式.第17頁(yè)/共33頁(yè)總結(jié)(1)公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)(當(dāng)系數(shù)是整數(shù)時(shí)).(2)字母取各項(xiàng)的相同字母,且各字母的指數(shù)取最低次冪,根據(jù)分配律,可得m(a+b)=ma+mb,逆變形得到ma+mb的因式分解形式ma+mb=m(a+b),這說(shuō)明多項(xiàng)式ma+mb各項(xiàng)都含有的公因式可提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式ma+mb寫成m(a+b)的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.第18頁(yè)/共33頁(yè)定義

如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取出來(lái),將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫提公因式法.第19頁(yè)/共33頁(yè)例1把8a3b2+12ab3c分解因式.

解析:從數(shù)、字母和字母的次數(shù)三個(gè)方面進(jìn)行分析;分解因式完成后要分析公因式和另一個(gè)因式之間的關(guān)系,并思考:如果提出公因式4ab,另一個(gè)因式是否還有公因式?從而把提公因式的“提”的具體含義深刻化,這是提公因式法的正確性的重要保證.解:8a3b2+12ab3c=4ab2?2a2+4ab2?3bc=4ab2(2a2+3bc).第20頁(yè)/共33頁(yè)例2把2a(b+c)-3(b+c)因式分解.解析

對(duì)該多項(xiàng)式的每項(xiàng)因式的特點(diǎn)進(jìn)行仔細(xì)觀察,從而發(fā)現(xiàn)把b+c看作一個(gè)“整體”時(shí)公因式就是b+c,再用提公因式法進(jìn)行分解.解:2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a-3).第21頁(yè)/共33頁(yè)例3計(jì)算:0.84×12+12×0.6-0.44×12.解析觀察并分析怎樣計(jì)算更簡(jiǎn)單?第22頁(yè)/共33頁(yè)

1.因式分解

(1)定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.等式特點(diǎn):左邊:多項(xiàng)式;右邊:整式×整式,整式乘整式結(jié)果是多項(xiàng)式,而多項(xiàng)式也可以變形為相應(yīng)的整式與整式的乘積,我們就把這種多項(xiàng)式的變形叫做因式分解.知識(shí)小結(jié)第23頁(yè)/共33頁(yè)(2)因式分解:pa+pb+pc=p(a+b+c).①(3)整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc.②(4)聯(lián)系:都是由幾個(gè)相同的整式組成的等式.(5)區(qū)別:這幾個(gè)相同的整式所在的位置不同,①式是因式分解,②式是整式乘法,兩者是方向相反的恒等變形,二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式,一個(gè)是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式,一個(gè)是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式.第24頁(yè)/共33頁(yè)

2.公因式

(1)多項(xiàng)式pa+pb+pc中,各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式p,因式p叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.(2)注意:公因式是每一項(xiàng)都含有的因式,是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.(3)公因式的確定方法:各項(xiàng)系數(shù)的最大

公因數(shù)和相同字母的最低次冪的積.第25頁(yè)/共33頁(yè)3.提公因式定義:一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.由定義可知,提公因式法的關(guān)鍵是如何正確地尋找公因式.第26頁(yè)/共33頁(yè)1.下列各式由左邊到右邊的變形中,屬于分解因式的是

(

)

A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x解析:A.是多項(xiàng)式乘法,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.右邊不是積的形式,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.提公因式法,故選項(xiàng)正確;D.右邊不是積的形式,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.C檢測(cè)反饋第27頁(yè)/共33頁(yè)B2.設(shè)x2+3x+y=(x+1)(x+2),則y的值為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析:∵(x+1)(x+2)=x2+3x+2,∴y=2.故選B.第28頁(yè)/共33頁(yè)3.觀察下列各式:①2a+b和a+b

;②5m(a-b)和-a+b;③3(a+b)和-a-b

;④x2-y2和x2+y2.其中有公因式的是

(

)A.①② B.②③C.③④ D.①④B解析：①和a+b沒(méi)有公因式;②5m(a-b)和-a+b=-(a-b)的公因式為a-b;③3(a+b)和-a-b=-(a+b)的公因式為a+b;④x2-y2和x2+y2沒(méi)有公因式.故選B.第29頁(yè)/共33頁(yè)4.用提公因式法分解因式.(1)4x2-4xy+8xz;(2)6x4-4x3+2x2;(3)6m2n-15mn2+30m3n;(4)(a+b)-(a+b)2;(5)x(x-y)+y(y-x);(6)(m+n)2-2(m+n).第30頁(yè)/共33頁(yè)解析:此題考查了因式分解——提公因式法,熟練掌握提公因式的方法是解本題的關(guān)鍵.解:

(1)4x2-4xy+8xz=4x(x-y+2z).(2)6x4-4x3+2x2=2x2(3x2-2x+1).

(3)6m2n-15mn2+30m2n=3mn(2m-5n+10m2).

(4)(a+b)-