內(nèi)容提要17-1.約束的分類約束的定義雙面約束與單面約束定常約束與非定常約束完整約束與非完整約束17-2.自由度與廣義坐標自由度廣義坐標17-3.虛位移與虛功虛位移虛功17-4.理想約束理想約束的定義光滑接觸面連接兩剛體的光滑鉸鏈連接兩質(zhì)點的無住重剛桿虛位移原理117-1.約束的分類(1)約束的定義當質(zhì)點或質(zhì)點系中的某些質(zhì)點運動時,受到某些事先給定的幾何上或運動學上的限制條件,這些限制條件稱為質(zhì)點或質(zhì)點系的約束.例17-1.圓盤C在粗糙的平面上作純滾動.約束是指事先給定的限制條件.它與作用力,起始條件以及運動的其他條件無關.Cy=R表示圓盤C受到幾何上的限制.vc=R表示圓盤C受到運動學上的限制.(xc=R)..2受有約束的質(zhì)點系為非自由質(zhì)點系.約束加于質(zhì)點或質(zhì)點系的限制條件,可以利用幾何學和運動學知識,寫成具體的數(shù)學表達式,這樣的數(shù)學表達式稱為約束方程.例18-2.曲柄連桿機構的約束方程為:

x12+y12=r2(x1-x2)2+y12=l2

y2=0yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl不受任何約束的質(zhì)點系為自由質(zhì)點系,它可以在主動力作用下作空間任意運動3右圖中擺錘A的約束方程為

x2+y2=l2在約束方程中用嚴格的等號表示的約束為雙面約束.這種約束如能限制物體向某一方向運動,則必能限制向相反方向運動.在約束方程中用不等號表示的約束為單面約束.這種約束只能限制物體某個方向的運動,而不能限制相反方向的運動.左圖中擺錘A的約束方程為

l2x2+y2xyOA(x,y)lOyxA(x,y)l(2)雙面約束與單面約束4如果約束方程中僅包含坐標或坐標與時間的,或包含坐標對時間的導數(shù)但能積分成有限形式的(P2:xc=R),則這種約束稱為完整約束.如上面所舉各例.完整約束方程的一般形式為?(x1,y1,z1,…xn,yn,zn,t)=0(=1,2,…,s)如果在約束方程中不顯含時間t,既約束不隨時間而改變,這種約束稱為定常約束.如上面所舉二例.如左圖圓周的半徑隨時間改變,約束方程為x2+y2=(r+at)2如果在約束方程中顯含時間t,既約束隨時間而改變,這種約束稱為非定常約束.如上面舉例.(4)完整約束與非完整約束O(3)定常約束與非定常約束R5如果約束方程中不僅含有坐標,還含有坐標對時間的導數(shù),且這種含有坐標導數(shù)的方程不能積分成有限形式,則這種約束稱為非完整約束.其一般形式為因為完整約束方程中僅含坐標,它表現(xiàn)為對質(zhì)點系的幾何位置起限制作用,所以這種約束又稱為幾何約束.因為非完整約束方程中包含有速度投影量,它僅表現(xiàn)為對質(zhì)點速度所加的限制,所以這種約束又稱為運動約束.?(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn;t)=0(=1,2,…,s)本單元內(nèi)容只涉及定常的,雙面的完整約束.6解:由質(zhì)點距離不變的條件寫出M1

和M2的約束方程(x1-x2)2+(y1-y2)2=l2

由點C的速度vc必須沿桿的方向的條件寫出約束方程或oxycM1(x1,y1)M2(x2,y2)vc圖1-6例題17-3.平面上兩個質(zhì)點M1和M2

質(zhì)量相等.由一長為l不計質(zhì)量的剛

性桿連接,運動中桿中點C的速度

只可以沿著桿的方向如圖所示.寫出

質(zhì)點M1和M2及中點C的約束方程.yc=(y1+y2)/2xc=(x1+x2)/2tg=(y1-y2)/(y1-y2)(非完整約束}717-2.自由度與廣義坐標(1)自由度在完整約束的條件下,用來確定質(zhì)點系在空間的位置所需獨立坐標的個數(shù),稱為質(zhì)點系的自由度.一個由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系在平面內(nèi)的位置,在直角坐標系中需用2n個坐標來確定.如果質(zhì)點系受有s個完整約束,則質(zhì)點系的2n個坐標必須滿足s個約束方程.因此質(zhì)點系只有k=2n-s個坐標是獨立的.例題17-4.確定右圖所示系統(tǒng)的自由度.yOA(x1,y1)B(x2,0)rxlxo=0yo=0yB=0xA2+yA2=r2(xA-xB)2+yA2=l2

k=23-5=18例題17-5.求右圖所示雙擺的自由度.系統(tǒng)由3個質(zhì)點組成,受4個約束xO=0yO=0xA2+yA2=l12(xA-xB)2+(yA-yB)2=l22k=23-4=2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)129(2)廣義坐標唯一地確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù),稱為廣義坐標.例題17-4.確定右圖的廣義坐標.xA

=l1sin1yA

=l1cos1xB

=l1sin1+l2sin2yB

=l1cos1+l2cos2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)12解:可取1和

2為廣義坐標來確定系統(tǒng)的位置.這時A和B點的直角坐標與廣義坐標的關系為:10在一般情況下,若若一個由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點點系,受s個定常的完整約束束,則系統(tǒng)具有k=2n-s個自由度.如以q1,q2,…,qk表示所選定的廣義義坐標,則質(zhì)點系系中任一質(zhì)點Mi的直角坐標可以表表示為廣義坐標的的函數(shù).xi=xi(q1,q2,…,qk)yi=yi(q1,q2,…,qk)(i=1,2,…,n)ri=ri(q1,q2,…,qk)(i=1,2,…,n)顯然質(zhì)點Mi的矢徑ri也可表示為廣義坐坐標的函數(shù)11例題17-5.分分別確定下下列結構的自由度度和廣義坐標.(1)長為l的剛桿.(2)用三根長為l的剛桿鉸接的三角角

形結構.(3)用四根長為l的剛桿鉸接的四邊邊形結構.解:xyAB(1)約束方程為為(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2自由度為:k=22-1=3廣義坐標為:x,y,rA=xi+yjrB=(x+lcos)i+(y+lsin)jxy12(2)約束方程為(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2(xA-xC)2+(yA-yC)2=l2(xB-xC)2+(yB-yC)2=l2自由度為:k=23-3=3廣義坐標為為:x,y,rA=xi+yjrB=(x+lcos)i+(y+lsin)jrC=[x+lcos(+60o)]i+[y+lsin(+60o)]j顯然用三根根長為l的剛桿鉸接接的三角形形結構可以以視為一根根剛桿.xyABCxy13(3)約束方程為(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2(xA-xD)2+(yA-yD)2=l2(xB-xC)2+(yB-yC)2=l2自由度為:k=24-4=4廣義坐標為為:x、y、、rA=xi+yjrB=(x+lcos)i+(y+lsin)jrC=[x+l(cos-sin)]i+[y+l(sin+cos)]j(xC-xD)2+(yC-yD)2=l2rD=(x-lsin)i+(y+lcos)jxyABCDxy1417-3.虛位移與與虛功(一)虛位位移質(zhì)點或質(zhì)點點系在給定定瞬時,為為約束所容容許的任何何微小的位移,稱為質(zhì)點點或質(zhì)點系系的虛位移移.記為r.虛位移只是是一個幾何何概念,它它完全由約約束的性質(zhì)質(zhì)及其限制的條條件所決定定.它只是是約束所容容許的可能能發(fā)生而實際不一一定發(fā)生的的位移,它它與作用力力無關,與與時間無關.它可以以有多種不不同的方向向,它必須須是微小量量.實位移是質(zhì)質(zhì)點或質(zhì)點點系在力的的作用下,在一定時時間間隔內(nèi)實際際發(fā)生的位位移.它有有確定的方方向,它可可以是微小量,也可可以是有限限量.15xyAMO例題17-6.鉸接于光光滑水平面面上的直桿桿OA受力如圖所所示.畫出出點A的實位移和和虛位移.drdr112r2在定常的幾幾何約束的的情形下,約束束的性質(zhì)與與時間無關,微小小的實位移移是虛位移移之一.xyAMO16BArr對于非定常常約束,由于它它的位置或或形狀隨時時間而改變,而虛位位移與時間間無關,實位移移卻與時間有關,所以微小小的實位移移不再是虛虛位移之一一.BAdr例題17-7.物塊B擱置于三三棱體A上,摩擦擦不計.畫出系系統(tǒng)由靜靜止開始始運動后后物塊B的實位移移和虛位位移.171)幾何法在定常約約束條件件下,微小小的實位位移是虛虛位移之之一.可可以用求實實位移的的方法來來建立質(zhì)質(zhì)點虛位位移之間間的關系系.I1rBrA22例題17-8.求求圖示機機構A點和B點的虛位位移解:應應用幾何何學和運運動學來來求A點和B點的虛位位移rA和rBOA桿作定軸軸轉(zhuǎn)動rA=

1

(1)

AB桿作平面面運動,I為瞬心

rA

=

2

(2)OAB182

=

1rB

=2

=1當然也可以取取1的轉(zhuǎn)向為為順時針針轉(zhuǎn)向,畫出虛虛位移圖圖得出的的rA和rB的表達式式與轉(zhuǎn)向向為逆時時針是一一致的.由(1)(2)式得:I1rBrA22OAB19OAB2)解析法利用廣義義坐標的的概念,可以得得到任意意質(zhì)點系系中各質(zhì)質(zhì)點的虛位移移表示為為廣義坐坐標的變變分的關關系式.即解析析法.解:xA=l1cosyA=l1sinxB=l1cos+l2cosl1sin=l2sinxy例題17-9.求圖示示機構A點和B點的虛位位移.OA=l1;AB=l2.xA=-l1sinyA=l1cos變分與微微分相似似20rA=ixA+jyA=l1(-isin+jcos)rB=ixB=i(-l1sin)[+ctgtg]l1cos=l2cosxB=-l1sin-l2sin可以證明用幾幾何法和解析析法所得的結結果是一致的的.OABxy21(二)虛功1)力作虛虛功W=Fr=Fxx+Fyy2)力矩或力力偶矩作虛功功W=MO(F)W=m例題17-10.計算上上圖中力偶矩矩作的虛功解:W=M1W=-M2W=MI(F)xyAMOr112r22217-4.理想約束以Ni表