第1章函數(shù)1.1函數(shù)觀點(diǎn)函數(shù)的定義同學(xué)們從入小學(xué)到高中畢業(yè)向來(lái)要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在這一階段所面對(duì)的數(shù)學(xué)對(duì)象的特色是：所議論的量在研究問(wèn)題的過(guò)程中保持不變．不過(guò)從未知到已知．比如解方程或方程組，求得的解都是固定不變的．又如議論三角形，它的邊長(zhǎng)也是固定不變的量．這些量叫做常量．常量——只取固定值的量這門(mén)課程中議論的量在研究問(wèn)題的過(guò)程中不是保持不變的．如圓的面積與半徑的關(guān)系：S=πr2考慮半徑r能夠變化的過(guò)程．面積和半徑叫做變量．變量——可取不一樣值的量變域——變量的取值范圍我們考慮問(wèn)題的過(guò)程中，不單是一個(gè)變量，可能有幾個(gè)變量．比方兩個(gè)變量，要研究的是兩個(gè)變量之間有什么關(guān)系，什么性質(zhì)．函數(shù)就是變量之間確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系．比方股市中的股指曲線，就是時(shí)間與股票指數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．又如銀行中的利率表存期六個(gè)月一年二年三年五年年利率9.00(%)它反應(yīng)的是存款存期與存款利率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．這幾個(gè)例子反應(yīng)的都是兩個(gè)變量之間確實(shí)定的對(duì)應(yīng)關(guān)系．函數(shù)的定義是：定義1.1設(shè)x,y是兩個(gè)變量，x的變域?yàn)镈，假如存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，使得對(duì)D內(nèi)的每一個(gè)值x都有獨(dú)一的y值與x對(duì)應(yīng)，則這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f稱(chēng)為定義在會(huì)合D上的一個(gè)函數(shù)，并將由對(duì)應(yīng)規(guī)則f所確立的x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記為：yf(x)，稱(chēng)x為自變量，y為因變量或函數(shù)值，D為定義域．會(huì)合{yyf(x),xD}稱(chēng)為函數(shù)的值域．我們要研究的是如何發(fā)現(xiàn)和確立變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．1例1求函數(shù)y的定義域．ln(x1)1，求函數(shù)的定義域就是使表達(dá)式存心義的x．由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)獲得解：yln(x1)x10，即x1．由分式的性質(zhì)獲得ln(x1)0，即x11，即x2．綜合起來(lái)得出所求函數(shù)的定義域?yàn)镈(1,2)(2,)．例2設(shè)國(guó)際航空信函的郵資F與重量m的關(guān)系是F(m)4,0m1040.3(m10),10m200求F(3),F(8),F(20)．14,0m10解：F(m)40.3(m10),10m200m用3代替，由第一個(gè)關(guān)系式表示，獲得F(3)4，相同能夠獲得F(8)4．m用20代替，由第二個(gè)關(guān)系式表示，獲得F(20)7相關(guān)函數(shù)的幾點(diǎn)解說(shuō)函數(shù)的表示法如何表示函數(shù)關(guān)系是需要我們不停研究和發(fā)現(xiàn)的．常用的方法有三種：一種是用一個(gè)數(shù)學(xué)公式來(lái)表示，叫做分析法；一種是用坐標(biāo)系中的曲線反應(yīng)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，叫做圖示法；還有一種方法是用一個(gè)表格反應(yīng)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，叫做表格法．一般常常使用的就是這三種方法．函數(shù)的記號(hào)在考慮一個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，f表示一個(gè)確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在以后考慮這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，f從頭至尾表示相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系．比方f(x)x23x5，它反應(yīng)的就是這樣一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：f()()23()5，等式左端的函數(shù)括號(hào)中帶入一個(gè)量，表示要對(duì)其進(jìn)行等式右端的運(yùn)算．如：f(1)123151，又如：f(x2)(x2)23(x2)5x43x25不論左端帶入什么，都對(duì)它進(jìn)行相同的運(yùn)算.函數(shù)的基天性質(zhì)下邊把在中學(xué)里大家已經(jīng)知道的函數(shù)的基本屬性復(fù)習(xí)一下，也就是：函數(shù)的單一性、奇偶性、有界性、周期性．當(dāng)一個(gè)變量增添時(shí)另一個(gè)變量也跟著增添，這樣的函數(shù)就叫做單一增添的函數(shù)．從圖形上看這條曲線，曲線上的點(diǎn)x在增添的時(shí)候，它所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)y也在增添，這樣的函數(shù)是單一增添的．單一減少是相反的，跟著x的增添相對(duì)應(yīng)的y在減少，這樣的函數(shù)是單一減少的，正如圖形中演示的這樣．假如函數(shù)當(dāng)x在增添的時(shí)候，它所對(duì)應(yīng)的y不是增添，也不是減少，這樣的函數(shù)就不擁有單一性．例1判斷函數(shù)f(x)＝x2當(dāng)x>0時(shí)的單一性．剖析：能夠利用單一性的定義，證明對(duì)隨意的x1>x，有f(x)>f(x)．212解：當(dāng)x>0時(shí)，對(duì)隨意的x2>0，有x12x22（當(dāng)x>x>0時(shí)，在不等式x>x2兩頭同乘以x或x，明顯有12112x2xx，xx2x2，由不等式的傳達(dá)性就獲得x2x2．）1121212由定義可知f(x)＝x2當(dāng)x>0時(shí)是單一增添的．一個(gè)函數(shù)的圖形假如對(duì)于y軸對(duì)稱(chēng)，這樣的函數(shù)就稱(chēng)為偶函數(shù)．從圖形上來(lái)剖析，曲線上任一點(diǎn)對(duì)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在曲線上邊，這條曲線所描述的函數(shù)就是偶函數(shù)．從分析式上看，假若有f(－x)＝f(x)，f(x)就叫做偶函數(shù)．2一個(gè)函數(shù)的圖形假如對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這樣的函數(shù)就稱(chēng)為奇函數(shù)．曲線上任一點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在曲線上邊，這條曲線所描述的函數(shù)就是奇函數(shù)．從分析式上看，假若有f(－x)＝－f(x)，f(x)就叫做奇函數(shù)．例2判斷以下函數(shù)的奇偶性：（1）y＝x3－1（2）y＝xcosx解：（1）取x＝1，－1，f(1)＝0，f(－1)＝－2，明顯f(1)≠－f(－1)，由此可知y＝x3－1不是奇函數(shù)．又明顯f(1)≠f(－1)，由此可知y＝x3－1不是偶函數(shù)．2）由于y＝x是奇函數(shù)，y＝cosx是偶函數(shù)，而奇函數(shù)和偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù)．因此y＝xsinx是奇函數(shù)假如自變量在定義域中變化時(shí)，函數(shù)值一直在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)變化，如圖形中演示的，不論如何變化，都有－M≤f(x)≤M，這條曲線所反應(yīng)的函數(shù)就是有界函數(shù)．假如存在一個(gè)正數(shù)T，對(duì)隨意的自變量x，有f(x+T)＝f(x)，這樣的函數(shù)就叫做周期函數(shù)．從圖形上反應(yīng)，這個(gè)函數(shù)在相隔為T(mén)的隨意兩點(diǎn)上函數(shù)值都是相同的．也能夠這樣來(lái)看，從隨意一點(diǎn)出發(fā)，以長(zhǎng)度T為間隔區(qū)分區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上的函數(shù)圖形都是能夠完全重合的．1.2幾類(lèi)基本初等函數(shù)我們?cè)谥袑W(xué)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一些函數(shù)，這些函數(shù)是特別基本的，有這樣幾類(lèi)：常數(shù)函數(shù)：y=c．這個(gè)函數(shù)在它的定義域中的取值一直是一個(gè)常數(shù)，它在直角坐標(biāo)系中的圖形就是一條水平線．冪函數(shù)：y=xα，(α∈R)．以x為底，指數(shù)是一個(gè)常數(shù)．當(dāng)α=1時(shí)就是y=x，它的圖形是過(guò)原點(diǎn)且均分一、三象限的直線；當(dāng)α=2時(shí)就是y=x2，它的圖形是過(guò)原點(diǎn)且張口向上的拋物線；當(dāng)α=3時(shí)就是y=x3，它的圖形是過(guò)原點(diǎn)的立方曲線．3.指數(shù)函數(shù)：y=ax，(a>0，a≠1)．底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是變量．比如y=ex，y=2x，y=(1)x．全部指數(shù)函數(shù)的圖形都過(guò)(0,1)點(diǎn)，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單一增添，當(dāng)a<1時(shí)，函2數(shù)單一減少．4.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logx，(a>0，≠1)．以a為底的x的對(duì)a數(shù)．比如y=lnx，y=log2，y=log1x．全部對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形都過(guò)(1,0)點(diǎn)，當(dāng)a>1x2時(shí)，函數(shù)單一增添；當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)單一減少．5.三角函數(shù)：正弦函數(shù)：y=sinx．余弦函數(shù)：y=cosx．例1判斷以下函數(shù)中，哪些不是基本初等函數(shù)：（1）y＝51；（2）y＝(1)x；（3）y＝lg(－x)；x22（4）y＝35；（5）y＝2x；（6）y＝e2x．剖析：依照基本初等函數(shù)的表達(dá)式來(lái)判斷．解：直接察看可知⑵與⑷中的函數(shù)是基本初等函數(shù)，而由

5122x2xyx，y＝ex2＝(e)可知（1）與（6）中的函數(shù)是基本初等函數(shù)．（3）與（5）中的函數(shù)不是基本初等函數(shù)31.3函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算自然有加、減、乘、除運(yùn)算，這些就不需要講了．在這里我們主要將函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算．所謂復(fù)合運(yùn)算，就是指假如y是u的函數(shù)，u是x的函數(shù)，y經(jīng)過(guò)u作為中間媒介就成為x的函數(shù)，這就是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算．以下邊這個(gè)例子表示的：ylnuusinxylnsinx這里y是u的函數(shù)，u是x的函數(shù)，y經(jīng)過(guò)u作為中間媒介就成為x的函數(shù)，這就是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算．下邊把這個(gè)復(fù)合的步驟以及它們的變域聯(lián)系起來(lái)認(rèn)真地介紹一下：y=f((x))Uφf(shuō)XYy是u的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)用f來(lái)表示．u是x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)用φ來(lái)表示．φ的值域正好落在函數(shù)f的定義域里，經(jīng)過(guò)u作為媒介y就成為x的函數(shù)，這個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域是這樣一個(gè)（紅色）地區(qū)，它的值域就減小成為這樣一個(gè)（綠色）地區(qū)了．這是為何呢？由于x在它的定義域內(nèi)變化時(shí)，u僅在這樣一個(gè)（黃色）地區(qū)取到值，相應(yīng)的y的取值范圍就減小成為這樣一個(gè)（綠色）地區(qū)．復(fù)合函數(shù)的記號(hào)就記為y=f(φ(x))．這類(lèi)運(yùn)算就叫做函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算．這樣我們把函數(shù)分一下類(lèi)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次加、減、乘、除或復(fù)合而獲得的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù)．這樣的分類(lèi)把函數(shù)分紅了初等函數(shù)和非初等函數(shù)．我們?cè)谇懊嫠?jiàn)到的分段函數(shù)就是非初等函數(shù)的例子．例1已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)y=f(ex)的定義域．剖析：要使函數(shù)u=ex的值域包括于函數(shù)y=f(x)的定義域中，由這個(gè)拘束條件從頭確立x的取值范圍．解：設(shè)u=ex，它的值域要包括于y=f(x)的定義域中，即0≤ex≤1由此得－∞＜x≤0，由此可知復(fù)合函數(shù)y=f(ex)的定義域是(－∞,0]．（附：已知函數(shù)lnt是單一增添的，明顯有l(wèi)imlntlnexln1）0例2將以下初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算：（1）yesin(x2)2（2）y2xlncos2x剖析：由定義知初等函數(shù)是基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算獲得的．詳細(xì)解決的步驟是：先看函數(shù)表達(dá)式有無(wú)四則運(yùn)算，若有，則對(duì)每一個(gè)運(yùn)算項(xiàng)進(jìn)行剖析，看其能否為復(fù)合函數(shù)，如是，則選擇適合的中間變量將其化為基本初等函數(shù)．依此步驟頻頻進(jìn)行．解：（1）yeu，usinv，vw2，wx2此中y,u,v分別作為中間變量u,v,w的函數(shù)都是基本初等函數(shù)．而w是冪函數(shù)x與常數(shù)函數(shù)2的和．（2）y2xlnu，uv2，vcosx4此中y是指數(shù)函數(shù)2x與對(duì)數(shù)數(shù)函lnu的乘積．而中間變量u,v分別作為,x的函數(shù)v都是基本初等函數(shù)．1.5經(jīng)濟(jì)剖析中常有的函數(shù)需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)這一節(jié)課的內(nèi)容是要把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和未來(lái)搞經(jīng)濟(jì)工作聯(lián)系起來(lái)，我們把經(jīng)濟(jì)剖析中最最常有的5種函數(shù)介紹給大家（這節(jié)課只介紹前兩個(gè)）．同時(shí)我們希望經(jīng)過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí)能夠使大家感覺(jué)到數(shù)學(xué)工具在經(jīng)濟(jì)剖析中的應(yīng)用．第一我們介紹需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)．大家能夠想象到一個(gè)商品在市場(chǎng)上的需求必定是與它的價(jià)錢(qián)相關(guān)系，價(jià)錢(qián)貴，需求量就少，價(jià)錢(qián)廉價(jià)，買(mǎi)的人就多．需乞降價(jià)錢(qián)之間是相關(guān)系的，它們能否是函數(shù)關(guān)系呢？我們可以把它簡(jiǎn)化為一種函數(shù)關(guān)系．我們先不考慮其余要素，簡(jiǎn)單地以為價(jià)錢(qián)定了需求量就隨之確定，這樣需求量就是價(jià)錢(qián)的函數(shù)．供應(yīng)，就是廠方能夠?yàn)槭袌?chǎng)供應(yīng)多少產(chǎn)品，自然它也是和價(jià)錢(qián)相關(guān)系的，產(chǎn)品價(jià)錢(qián)高，廠方就增添生產(chǎn)，反之供應(yīng)量就減少．我們也能夠把它簡(jiǎn)化為一種函數(shù)關(guān)系．需求量與價(jià)錢(qián)之間的函數(shù)就稱(chēng)為需求函數(shù)，供應(yīng)量與價(jià)錢(qián)之間的函數(shù)就稱(chēng)為供應(yīng)函數(shù)．此刻我們議論一種最簡(jiǎn)單的狀況，以為需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)都是線性函數(shù)（一次函數(shù)），在這類(lèi)關(guān)系下經(jīng)過(guò)議論看能夠獲得什么性質(zhì)．qdapb(a0,b0)qd表示需求量，p表示價(jià)錢(qián)，a,b表示常數(shù)．qsa1pb1(a10,b10)qs表示需求量，p表示價(jià)錢(qián)，a1,b1表示常數(shù)．我們簡(jiǎn)單理解需求量應(yīng)隨價(jià)錢(qián)的增添而減少，因此a0，自然b0．而供應(yīng)量應(yīng)跟著價(jià)錢(qián)的增添而增添，因此a10，b10，由于當(dāng)價(jià)錢(qián)為零時(shí)，不會(huì)有供應(yīng)量．qqOOpp從圖形上看，需求函數(shù)是一條單一降落的直線，供應(yīng)函數(shù)是一條單一上漲的直線．qOp我們把這兩條曲線放在同一個(gè)坐標(biāo)系中，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有這樣的關(guān)系，兩條直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)的含義是，在價(jià)錢(qián)為p0時(shí)，產(chǎn)品的需求量與供應(yīng)量是相同的，即供需達(dá)到了均衡．這5一點(diǎn)稱(chēng)為供需均衡點(diǎn)．價(jià)錢(qián)超出p0時(shí)，供過(guò)于求；價(jià)錢(qián)低于p0時(shí)，求過(guò)于供．在經(jīng)濟(jì)分析中，供需均衡點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的價(jià)錢(qián)，稱(chēng)為市場(chǎng)均衡價(jià)錢(qián)；它所對(duì)應(yīng)的需求量或供應(yīng)量稱(chēng)為市場(chǎng)均衡數(shù)目．例1某種商品的供應(yīng)函數(shù)和需求函數(shù)分別為：qs25p10，qd2005p，求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)錢(qián)和市場(chǎng)均衡數(shù)目．解：由市場(chǎng)均衡條件：qdqs，獲得：25p102005p解出：p07，q0165成本函數(shù)我們?cè)俳榻B經(jīng)濟(jì)剖析中常有的三種函數(shù)：第一種叫做成本函數(shù)，第二種叫做收入函數(shù)，第三種叫做收益函數(shù)．我們先介紹成本函數(shù)．一種產(chǎn)品的成本能夠分為兩部分：固定成本C0，比方，生產(chǎn)過(guò)程中的設(shè)施投資，或使用的工具，不論生產(chǎn)產(chǎn)品與否，這些花費(fèi)都是要有的，它是不隨產(chǎn)量而變化的，這類(lèi)成本稱(chēng)為固定成本．改動(dòng)成本C１，比方每一件產(chǎn)品的原資料，這些花費(fèi)依靠于產(chǎn)品的數(shù)目，這類(lèi)成本稱(chēng)為改動(dòng)成本．總成本就是固定成本加上改動(dòng)成本：C=C0+C１成本應(yīng)與產(chǎn)品的產(chǎn)量相關(guān)，這類(lèi)函數(shù)表示為C(q)=c0+C１(q)這就是成本函數(shù)．此中總成本C(q)是產(chǎn)量q的函數(shù)，c0與產(chǎn)量沒(méi)關(guān)，改動(dòng)成本C１(q)也是產(chǎn)量q的函數(shù)．我們?cè)谝刖鶆虺杀镜挠^點(diǎn)CC(q)q，就是產(chǎn)量為q時(shí)的均勻成，總成本除以產(chǎn)量q本，用C來(lái)表示．例1生產(chǎn)某商品的總成本是C(q)5002q，求生產(chǎn)50件商品時(shí)的總成本和均勻成本．解：成本C(q)5002qC(q)5002q500均勻成本C(q)q2qqC(50)500250600，C(50)50012250收入函數(shù)下邊我們來(lái)講收入函數(shù)．一種產(chǎn)品銷(xiāo)售以后就會(huì)有銷(xiāo)售收入，銷(xiāo)售收入應(yīng)當(dāng)是價(jià)錢(qián)乘以產(chǎn)量．但價(jià)錢(qián)與產(chǎn)量之間也有必定的關(guān)系，這樣就獲得R=qp()q此中p(q)是價(jià)錢(qián)與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系．相應(yīng)地有均勻收入函數(shù)R(q)Rq此刻我們來(lái)研究一種最簡(jiǎn)單的狀況，把收入看作產(chǎn)量的線性函數(shù)（價(jià)錢(qián)不隨產(chǎn)量而變化），也就是R=pq，它的圖形就是下邊這樣6Oq圖形說(shuō)明銷(xiāo)售數(shù)目越多收入越多，這是一條單一增添的直線．還有一個(gè)函數(shù)就是收益函數(shù)，收益函數(shù)大家也簡(jiǎn)單理解，由于在收入中減去成本獲得的就是收益．既然成本是產(chǎn)量q的函數(shù)，收入也是q的函數(shù)，那么收益也是q的函數(shù)．即L(q)=R(q)-C(q)L(q)Lq（1）L(q)>0盈余（2）L(q)<0損失（3）L(q)=0盈虧均衡知足L(q)=0的q0稱(chēng)為盈虧均衡點(diǎn)（又稱(chēng)保本點(diǎn)）．在假定成本函數(shù)和收入函數(shù)都是線性函數(shù)的狀況下來(lái)