第十五屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第2試一、選擇題(每小題5分，共50分)1.方程|x+1|+|x-3|=4的整數(shù)解有()(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)5個(gè)(D)無(wú)窮多個(gè)2.若等式對(duì)任意的x(x≠±3)恒成立，則mn=()(A)8(B)-8(C)16(D)-163.若x＞z，y＞z，則下列各式中一定成立的是()(A)x+y＞4z(B)x+y＞3z(C)x+y＞2z(D)x+y＞z2mx-3nx+6的值為16，4.規(guī)定[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，當(dāng)x=-1時(shí)，代數(shù)式3則[m-n]=()(A)-4(B)-3(C)3(D)45.如圖1，在ABCD中，AC與BD相交于O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，那么圖中的全等三角形共有()(A)5對(duì)(B)6對(duì)(C)7對(duì)(D)8對(duì)6.如圖2，在直角扇形ABC內(nèi)，分別以AB和AC為直徑作半圓，兩條半圓弧相交于點(diǎn)D，整個(gè)圖形被分成S，S，S，S四部分，則S和S的大小關(guān)系是()123424(A)S＜S(B)S=S(C)S＞S(D)無(wú)法確定242424mGivenisarealnumber,，sandimpl|1-m|=|m|+1ifyanalgebrai7.expression,then=()(A)|m|-1(B)-|m|+1(C)m-1(D)-m+1(英漢小詞典simplify：化簡(jiǎn)；algebraicexpression：代數(shù)式)8.二(1)班共有35名學(xué)生，其中的男生和的女生騎自行車(chē)上學(xué)，那么該班騎自行車(chē)上學(xué)的學(xué)生的人數(shù)最少是()(A)9(B)10(C)11(D)129.李編輯昨天按時(shí)間順序先后收到A、B、C、D、E共5封電子郵件，如果他每次都是首先回復(fù)最新收到的一封電子郵件，那么在下列順序：①BAECD②CEDBA③ACBED④DCABE中，李編輯可能回復(fù)的郵件順序是()(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)①和④10.有A、B、C三把刻度尺，它們的刻度都是從0到30個(gè)單位(單位長(zhǎng)度各不相同)，設(shè)三把尺子的0刻度和30刻度處到尺子邊緣的長(zhǎng)度可以忽略不計(jì)，現(xiàn)用其中的一把尺子量度另兩把尺子的長(zhǎng)度.已知用C尺量度，得A尺比B尺長(zhǎng)6個(gè)單位；用A尺量度，得B尺比C尺長(zhǎng)10個(gè)單位；則用B尺量度，A尺比C尺()(A)長(zhǎng)15個(gè)單位(B)短15個(gè)單位(C)長(zhǎng)5個(gè)單位(D)短5個(gè)單位二、填空題(每小題5分，共50分)11.若方程|1002x-1002|=1002的根分別是x和x，則x+x=______.231212a+2ab+3ab+2ab+b=______.12.分解因式：43223413.對(duì)于任意的自然數(shù)n，有f(n)=，則f(1)+f(3)+f(5)+…+f(999)=______.x，x，x，x，x，x都是正數(shù)，且，，14.123456，，，,則xxxxxx=______.123456(Figure3)Ina，trapezoidAE=DE，CE⊥AD，CEABCDisabisector15.∠BCD，thentheratiooftheareaofaquadriltriangleCDEis_____.(英漢小詞典trapezoid：梯形；bisector：平分線；ratio：比值；quadrilateral：四邊形)16.已知a，b，c，d為正整數(shù)，且，，則的值是______；的值是______.17.一個(gè)直角三角形的三條邊的長(zhǎng)均為整數(shù)，已知它的一條直角邊的長(zhǎng)是18，那么另一條直角邊的長(zhǎng)有______種可能，它的最大值是______.18.“神舟”飛船由返回艙、軌道艙和推進(jìn)艙三個(gè)艙組成，已知三個(gè)艙中每?jī)蓚€(gè)艙的長(zhǎng)度和分別為4859mm、5000mm、5741mm，那么這三個(gè)艙中長(zhǎng)度最大的是_____mm，長(zhǎng)度最小的是_____mm.19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36，則x+2y+3z的最大值是______，最小值是_____.20.圖4是某電臺(tái)“市民熱線”欄目一周內(nèi)接到的熱線電話的統(tǒng)計(jì)圖，其中有關(guān)房產(chǎn)城建的熱線電話有30個(gè)，那么有關(guān)環(huán)境保護(hù)的電話有_____個(gè)；如果每年按52周計(jì)算，每周接到的熱線電話的數(shù)量相同，那么“市民熱線”一年內(nèi)接到的熱線電話有______個(gè).三、解答題(每題10分，共30分)21.民航規(guī)定：旅客可以免費(fèi)攜帶a千克物品，若超過(guò)a千克，則要收取一定的費(fèi)用，當(dāng)攜帶物品的質(zhì)量為b千克(b＞a)時(shí)，所交費(fèi)用為Q=10b-200(單位：元).(1)小明攜帶了35千克物品，質(zhì)量大于a千克，他應(yīng)交多少費(fèi)用？(2)小王交了100元費(fèi)用，他攜帶了多少千克物品？(3)若收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)以超重部分的質(zhì)量m(千克)計(jì)算，在保證所交費(fèi)用Q不變的情況下，試用m表示Q.22.如圖5，一張矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)分別為9cm和3cm，把頂點(diǎn)A和C疊合在一起，得到折痕EF.(1)證明四邊形AECF是菱形；(2)計(jì)算折痕EF的長(zhǎng)；(3)求△CEH的面積.23.如圖6，用水平線與豎直線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形格子，點(diǎn)O、A、B均在)處，其中點(diǎn)O與點(diǎn)A位于同一水平線上，相距a格，點(diǎn)O與點(diǎn)B位于同一豎直線上，相距b格.正方形格子的頂點(diǎn)(格點(diǎn)(1)若a=5，b=4，則△OAB中(包括三條邊)共有多少個(gè)格點(diǎn)？(2)若a，b互質(zhì)，則在線段AB上(不包括A、B點(diǎn)兩)是否有格點(diǎn)？證明你的結(jié)論.(3)若a，b互質(zhì)，且a＞b＞8，△OAB中(包括三條邊)共有67個(gè)格點(diǎn)，求a，b的值.參考答案一、1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.D8.D9.B10.A1、解：從三種情況考慮：第一種：當(dāng)x≥3時(shí)，原方程就可化簡(jiǎn)為：x+1+x-3=4，解得：x=3；第二種：當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，原方程就可化簡(jiǎn)為：第三種：當(dāng)x≤-1時(shí)，原方程就可化簡(jiǎn)為：-x-1+3-x=4，解得：x=-1；所以x的取值范圍是：-1≤x≤3，故方程的整數(shù)解為：-1，0，1，2，3．共5個(gè)．x+1-x+3=4，恒成立；故選C．2、3、解：∵x＞z，y＞z，∴x+y＞2z，故選C．4、5、解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD．∴△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．（SSS）∵AF⊥BD于F，CE⊥BD于E，∴△ABF≌△CDE，△AFD≌△CEB，△AOF≌△COE．（AAS）故選C．6、8、設(shè)有a個(gè)男生騎車(chē)，b個(gè)女生騎車(chē)，則題目可簡(jiǎn)寫(xiě)成2a+3b=35，求a+b的最小值（a，b均為正整數(shù)）所以求的a為1，b為11，即班上最少有1+11=12個(gè)人騎車(chē)9、B(2)開(kāi)始時(shí),已收到A,B,剛收到C,所以,先回C回信時(shí),又收到D,E,回完信,先回最新收到的E然后依次是D,B,A正確(3)收到A,回信回信時(shí),又收到B,C,回完信,先回最新收到的C然后是B回信B時(shí),又來(lái)新D,E,回完信,先回最新收到的E然后是D正確(1):E后應(yīng)該是D,C錯(cuò)誤(4):C后應(yīng)該先B后A,錯(cuò)誤10、設(shè)各自長(zhǎng)度為30a,30b,30cC量時(shí)，30a-30b=6c（1）;A量時(shí)，30b-30c=10a（2）;求：30a-30c=?b(3)那么由（1）（2）可得，a=9/8bc=5/8b代入（3），可得30a-30c=15b選A。二、11.200412.(a+b+ab)22213.514.615.7:916.21；717.2；80解：設(shè)另一直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)分別是Z，X，顯然X＞Z＞0根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系有：182=X2-Z2即：182=（X+Z）（X-Z）式中X+Z和X-Z分別是大于零的整數(shù)，且滿足：X+Z＞X-Z＞0再來(lái)看看182=324這個(gè)數(shù)的因數(shù)：1，2，3，4，6，9，18，36，54，81，108，162，324．也就是X-Z和X+Z這兩個(gè)數(shù)必定取這些因數(shù)中的數(shù)．由于X-Z＜X+Z，它們可以?。篨-Z=1，X+Z=324，解這個(gè)聯(lián)立方程，得2X=325（舍去），X-Z=2，X+Z=162，解這個(gè)聯(lián)立方程，得2X=164，X=82，Z=80．X-Z=3，X+Z=108，解這個(gè)聯(lián)立方程，的2X=111（舍去）．X-Z=4，X+Z=81，解這個(gè)聯(lián)立方程，得2X=85（舍去）．X-Z=6，X+Z=54，解這個(gè)聯(lián)立方程，得2X=60，X=30，Z=24．X-Z=9，X+Z=36，解這個(gè)聯(lián)立方程，得2X=45（舍去）．X-Z=18，X+Z=18，已經(jīng)與題意不相符了．所以，共有2個(gè)整數(shù)解：X=82，Z=80X=30，Z=24所以，另一條直角邊的長(zhǎng)度只有（2）種可能，其中最大值是（80）．故答案為2，80．18.2941；2059解：設(shè)“神舟”飛船返回艙、軌道艙和推進(jìn)艙三個(gè)倉(cāng)的長(zhǎng)度是xmm、ymm、zmm．③①+②+③解得則由題意得x+y=4859①x+z=5000②y+z=5741x+y+z=7800④④-①解得z=2941④-②解得y=2800④-③解得x=2059故答案為2941，2059．19.15；-6|x+1|+|x-2|≥3|y-2|+|y+1|≥3|z-3|+|z+1|≥4（|x+1|+|x-2|)×(|y-2|+|y+1|)×(|z-3|+|z+1|)=36所以x∈〔-1，2〕，y∈〔-1，2〕，z∈〔-1，3〕所以x=y=z=-1時(shí)，x+2y+3z的最小值為-6當(dāng)x=2，y=2，z=3時(shí)，x+2y+3z的最大值為1520.45；7800解：房產(chǎn)城建熱線所占百分比為72÷360°=20%，一周內(nèi)接到的熱線電話的總數(shù)為30÷20%=150個(gè)，環(huán)境保護(hù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中的度數(shù)為360°-144°-72°-36°=108°，則環(huán)境保護(hù)熱線所占百分比為108÷360°=30%，∴有關(guān)環(huán)境保護(hù)的電話有150×30%=45個(gè)；∵一周內(nèi)接到的熱線電話的總數(shù)為30÷20%=150個(gè)，每年按52周計(jì)算∴“市民熱線”一年內(nèi)接到的熱線電話有52×150=7800個(gè)．故答案為：45、7800．三、21.(1)Q=35×10-200=150(元)；(2)設(shè)小王攜帶了x千克物品，則10x-200=100，解得x=30.(3)已知最多可以免費(fèi)攜帶a千克物品，則10a-200=0，解得a=20.所以m=b-a=b-20，即b=m+20.故所交費(fèi)用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).22.(1)如圖1，因?yàn)锳B∥CD，所以AF∥CE，CF∥HE，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，知∠CEH=∠AED，因?yàn)镈、E、C三點(diǎn)共線，所以A、E、H三點(diǎn)共線，所以AE∥CF，所以四邊形AECF是平行四邊形.又AF=CF，所以四邊形AECF是菱形.(2)設(shè)AF=x，則CF=x，BF=9-x.在△BCF中，CF=BF2+BC，22所以x=(9-x)+3，222解得x=5，即CF=5，BF=4.過(guò)E作EM⊥AB交AB于M，則MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1，EM=3.所以.(3)根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，知△CEH≌△AED，所以S=S=DE·AD=(AF-MF)·AD=×4×3=6(cm2).△CEH△AED23.(1)如圖2，a=5，b=4，△OAB中(包括三條邊)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+6=16.(2)若a，b互質(zhì)，假設(shè)線段AB上存在某一點(diǎn)P(恰為格點(diǎn))，可設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的水平距離為x，豎直距離為y(x，y均為整數(shù))，則S=S+S=ay+bx，△AOB△AOP△BOP所以ab=ay+bx，即ab=ay+bx，ay=b(a-x