3.1.1函數(shù)及其表示方法（第2課時(shí)）教學(xué)課時(shí)：第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：（1）在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用；（2）通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；（3）感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系,數(shù)學(xué)來(lái)源于生活也應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．經(jīng)歷從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法、分段函數(shù)；教學(xué)難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；對(duì)分段函數(shù)的理解。教學(xué)過(guò)程:一、問(wèn)題引入初中學(xué)習(xí)函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法，大家還記得上節(jié)課一開(kāi)始的四個(gè)實(shí)際問(wèn)題嗎？我們分別使用了三種不同方法刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中問(wèn)題1、問(wèn)題2采用的是解析法，問(wèn)題3采用的是列表法,問(wèn)題4采用的是圖象法。引例：某種筆記本的單價(jià)是５元，買x（x∈｛1，2，3，4，5｝）個(gè)筆記本需要y元．試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f（x）。解：這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集｛1，2，3，4，5｝。用解析法可將函數(shù)y＝f（x）表示為f(x)＝５x，x∈｛1，2，3，4，5｝。用列表法可將函數(shù)y＝f（x）表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)y＝f（x）表示為

師：請(qǐng)你說(shuō)出函數(shù)這三種不同表示方法各自的特點(diǎn)是什么？預(yù)設(shè)答案：解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是精確，全面的概括了變量之間的關(guān)系；二是通過(guò)解析式，可以求出自變量取特殊值時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，缺點(diǎn)在于抽象。列表法的優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算就可以直接得到與自變量的值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，同時(shí)也可以非常直觀的看到函數(shù)的定義域、值域。不過(guò)列表法所能列出的值畢竟是有限的。圖象法的優(yōu)點(diǎn)：能夠直觀形象的表示與自變量的變化相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化情況，可以利用圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)。此外，圖像法在生產(chǎn)和生活中應(yīng)用非常廣泛。缺點(diǎn)：手工繪制函數(shù)的圖象并不容易。因此我們?cè)谘芯亢瘮?shù)時(shí)通常是幾種表示方法同時(shí)使用，其中以解析法與圖象法為主，以便全面、準(zhǔn)確、直觀地理解函數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】函數(shù)的三種表示方法在初中就已學(xué)過(guò)，但學(xué)生印象比較深刻的是解析法，引例的解答雖然很簡(jiǎn)單，但它的作用不僅僅是讓學(xué)生動(dòng)筆回顧知識(shí)；更重要的是引發(fā)學(xué)生對(duì)函數(shù)三種表示方法各自特點(diǎn)的理性思考，讓學(xué)生從函數(shù)學(xué)習(xí)一開(kāi)始就要重視函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)與掌握，養(yǎng)成畫(huà)圖的好習(xí)慣。二、例題講授例1：（課本第90頁(yè)例5）設(shè)x為任意一個(gè)實(shí)數(shù)，y是不超過(guò)x的最大整數(shù)，判斷這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。如果是，作出這個(gè)函數(shù)的圖象；如果不是，說(shuō)明理由。思考:1．判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的依據(jù)是什么?2．在理解題意的基礎(chǔ)上填寫(xiě)下列表格，然后判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).x6.895π0-1.5-2y3．當(dāng)x[1,2)時(shí)，y的取值是多少?解:是函數(shù)，詳解見(jiàn)課本第90、91頁(yè)，函數(shù)圖象如下圖定義幾個(gè)特殊函數(shù)1．取整函數(shù)：像例1這樣的函數(shù)通常稱為取整函數(shù)y=[x]，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)閆。2．常數(shù)函數(shù)：值域只有一個(gè)元素的函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù)。如f(x)=7，x∈R，它的值域?yàn)閧7}，圖象是一條平行于x軸的直線?！驹O(shè)計(jì)意圖】取整函數(shù)又稱高斯函數(shù)，在數(shù)學(xué)研究和生活實(shí)際中有廣泛應(yīng)用。但學(xué)生初次接觸理解起來(lái)還是有一定的困難，為此搭設(shè)了三個(gè)臺(tái)階。值得一提的是，學(xué)生在理解函數(shù)概念時(shí)會(huì)出現(xiàn)認(rèn)為“x、y必須都是變量”，“構(gòu)成函數(shù)關(guān)系時(shí)，x要變，y也要變”，這些都是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因都是沒(méi)有抓住函數(shù)的概念的本質(zhì)．倒是應(yīng)該強(qiáng)調(diào)“x定，y也定”，這里的定，是指“唯一確定”。這樣的話，常值函數(shù)就不難理解了。例2．（課本第89頁(yè)例4)北京市自2014年5月1日起，居民用水實(shí)行階梯水價(jià)：年用水量不超過(guò)180m3的部分，水價(jià)為5元/m3；超過(guò)180m3但不超過(guò)260m3的部分，水價(jià)為7元/m3。如果北京市一居民年用水量為水價(jià)為xm3，其要繳納的水費(fèi)為f(x)元．假設(shè)0≤x≤260，試寫(xiě)出f(x)的解析式，并作出f(x)的圖象．思考:1.如果居民用水量是50m3，100m3需要繳費(fèi)多少?200m3、230m3呢?從中你能發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律嗎?解:思考：2．如果題目的已知條件再補(bǔ)充一條“年用水量超過(guò)260m3的部分，水價(jià)為9元/m3.”你能寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式嗎?通過(guò)問(wèn)題的解答請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)階梯水價(jià)制定的意義是什么?思考：3．如果某居民一年交納了水費(fèi)1040元，你知道他使用了多少噸水嗎?定義幾個(gè)特殊函數(shù)：3．分段函數(shù)：如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】分段函數(shù)是中學(xué)階段常見(jiàn)的一類特殊函數(shù)，通常需要分類討論，最后還要有一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論，因此學(xué)生會(huì)感覺(jué)比較困難．在分析題意時(shí)，讓學(xué)生先計(jì)算幾個(gè)具體值有助于理解分類，畫(huà)出函數(shù)的圖象可以使學(xué)生更好地理解分段函數(shù)是“一個(gè)函數(shù)”而不是“幾個(gè)函數(shù)”。思考2的設(shè)置一方面是問(wèn)題的深化，另一方面是引發(fā)學(xué)生關(guān)注社會(huì)生活實(shí)際問(wèn)題。思考3的設(shè)置是為了引發(fā)學(xué)生注意由函數(shù)值求自變量的值時(shí)要關(guān)注自變量的取值范圍。例3:函數(shù),稱為狄利克雷函數(shù)，請(qǐng)你說(shuō)出這個(gè)函數(shù)的定義域、值域，并思考能否做出這個(gè)函數(shù)的圖象?解：狄利克雷函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閧0，1}，但它的圖象不能形象地展示出來(lái)．【設(shè)計(jì)意圖】狄利克雷函數(shù)是一個(gè)非常典型的分段函數(shù)。由于在數(shù)軸上無(wú)法明顯地界定出無(wú)理數(shù)，因此無(wú)法畫(huà)出函數(shù)圖象。但這也恰恰說(shuō)明引入用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系的觀點(diǎn)來(lái)定義函數(shù)的必要性，同時(shí)也可借此說(shuō)明函數(shù)的三種表示方法都有各自的局限性。例4已知：f(x)=x2，求f(0)，f(2)，f(a)和f(x-1)解：f(0)=0，f(2)=4，f(a)=a2，f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1；思考：1．你能說(shuō)出f(a)與f(x)有什么關(guān)系嗎？2．如果已知：f(x-1)=x2，你能求出f(x)的解析式嗎？【設(shè)計(jì)意圖】本例題主要是幫助學(xué)生理解函數(shù)概念中“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”的作用。已知函數(shù)解析式求自變量取某些特殊值的函數(shù)值，這個(gè)內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)應(yīng)該不難。但如何正確理解f(a)與f(x)的關(guān)系是有一定難度的。其中f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，它是一個(gè)常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下它是一個(gè)變量，即f(a)是f(x)在x=a時(shí)的函數(shù)值。函數(shù)f(x)=x2，即x→x2，表示自變量通過(guò)“平方運(yùn)算”得到它的函數(shù)值，與我們選擇什么符號(hào)表達(dá)自變量沒(méi)有關(guān)系。函數(shù)y→y2，t→t2，u→u2，…都表示同一個(gè)函數(shù)關(guān)系．同樣自變量換成一個(gè)代數(shù)式，如x-1，平方后對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就是(x-1)2。這里f(x-1)表示自變量變換后得到的新函數(shù)。由此可見(jiàn)f(x)與f(x-1)這兩個(gè)表達(dá)式，字母f表示的是同一對(duì)應(yīng)關(guān)系，f(x)中對(duì)應(yīng)關(guān)系f作用的對(duì)象是x；f(x-1)中對(duì)應(yīng)關(guān)系f作用的對(duì)象是x-1；兩個(gè)都是變量，沒(méi)有什么聯(lián)系。但只有學(xué)生搞清上述關(guān)系后，在解答思考2時(shí)就會(huì)自然想到要找出