每日練16解三角形及其應(yīng)用一、選擇題1．在△ABC中，假如sinA：sinB：sinC＝：：4，那么cosC等于()2B2A.3．－311C．－3D．－4答案：Dabc分析：由正弦定理sinA＝sinB＝sinC可知a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝：：4，設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，cosC＝a2＋b2－c22ab4k2＋9k2－16k21＝2×2k×3k＝－4，答案選D.2．(2018·東廣雅中學(xué)、江西南昌二中聯(lián)合測試廣)已知a，b，c為△ABC的三個角A，B，C所對的邊，若3bcosC＝c(1－3cosB)，則sinC∶sinA＝(

)A．：3C．：1

B．：3D．：2答案：C分析：由正弦定理得

3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝sinC,3sinA＝sinC，所以sinC：sinA＝：1.應(yīng)選

C.3．(2018·成都摸底測試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，則角A的大小為( )A.πB.π23ππC.4D.6答案：A分析：由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC＝3sinCcosB，∴sin2CcosC＝3sinCcos2C，∴2cos2C＝3(cos2C－sin2C)，求得tan2C＝13.∵B＝2C，∴C為銳角，∴tanC＝3πππ3，∴C＝6，B＝3，A＝2.應(yīng)選A.．·天津河?xùn)|區(qū)模擬在△中，π4(2018)ABC＝，＝，tanA＝2，b5B4則a的值是()A．102B．210C.10D.2答案：B分析：∵在△ABC中，tanA＝cosAsinA＝2，sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝25πa55.由b＝5，B＝4及正弦定理可得25＝2，解得a＝52210.應(yīng)選B.5．非直角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已π知c＝1，C＝3.若sinC＋sin(A－B)＝3sin2B，則△ABC的面積為( )15315A.4B.4213333C.4或6D.28答案：D分析：由于sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB6sinBcosB，由于△ABC非直角三角形，所以cosB≠0，所以sinA＝3sinB，即a＝3b.π又c＝1，C＝3，由余弦定理得

22a＋b－ab＝1，聯(lián)合

a＝3b，可21得b＝7，所以

132π33S＝absinC＝bsin＝.應(yīng)選22328

D.6．(2018

·長春調(diào)研)在△ABC

中，角

A，B，C的對邊分別為

a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，則△ABC的形狀是( )．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形答案：B分析：∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴2tanC＝3tanC，得tanC＝3πππ3，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC1－tan2C632為直角三角形．7．(2018·東莞二模)已知△ABC的內(nèi)角分別為A，B，C，AC＝7，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高為()333A.2B.23＋63＋39C.2D.4答案：B分析：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得7＝AB2＋44ABcos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，得BC邊上的高為33ABsin60＝°2，應(yīng)選B.8．(2018·貴陽一模)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若cosA＋sinA－2＝0，則a＋b的值是( )cosB＋sinBcA．1B.23D．2答案：B分析：由cosA＋sinA－2＝0得，＋π·2cosB＋sinB2sinA4πππππsinB＋4＝2，即sinA＋4sinB＋4＝1，又sinA＋4≤1，sinB＋4≤1，∴sinA＋πsinB＋πππ＝2a＋b4＝4＝，＝＝，＝，∴＝，c1AB4C2ab2c2，應(yīng)選B.二、填空題9．(湖南長沙一模)△ABC的周長等于2(sinA＋sinB＋sinC)，則其外接圓半徑等于________．答案：1分析：設(shè)外接圓半徑為R，已知2(sinA＋sinB＋sinC)＝a＋b＋c，a＋b＋c得＝2①.依據(jù)正弦定理知a＋b＋c＝2RsinA＋2RsinbsinA＋sinB＋sinC2Rsinc，代入①式得2R＝2，即R＝1.10．(2018·上海楊浦區(qū)一模)若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，則ABC面積的最大值是________．答案：11分析：在△ABC中，∵C＝30°，a＋b＝4，∴△ABC的面積S＝2ab·sinC＝1ab·sin30＝°1ab≤1×a＋b2＝1×4＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝224424時取等號．所以△ABC面積的最大值是1.11．(2018·鄭州二模)如圖，一棟建筑物AB的高為(30－103)米，在該建筑物的正東方向有一個通訊塔CD，在它們之間的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角是30°，則通訊塔CD的高為________米．答案：60分析：在Rt△ABM中，AM＝AB30－10330－103＝＝＝sin15°sin15°6－246，過點(diǎn)A作AN⊥CD于點(diǎn)N，在Rt△ACN中，由于∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以AC＝sin105°AM＝206，所以AC＝60＋203，所以CN＝30＋103，所sin∠ACMsin30°以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－103＋30＋103＝60.三、解答題12．(2017·課標(biāo)全國卷新Ⅱ，17)△ABC的內(nèi)角，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2B2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.分析：此題考察了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用．2B(1)由題設(shè)及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)．上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝151(舍去)，cosB＝17.158(2)由cosB＝17得sinB＝17，14故S△ABC＝2acsinB＝17ac.17又S△ABC＝2，則ac＝2.由余弦定理及a＋c＝6得