人教版高中數(shù)學(xué)教材（必修二）

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

閱讀與思考畫法幾何與蒙日

1.3空間幾何體的表面積與體積

探究與發(fā)現(xiàn)祖眶原理與柱體、椎體、球體的體積

實(shí)習(xí)作業(yè)

小結(jié)

復(fù)習(xí)參考題

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

閱讀與思考?xì)W幾里得《原本》與公理化方法

小結(jié)

復(fù)習(xí)參考題

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角與斜率

探究與發(fā)現(xiàn)魔術(shù)師的地毯

3.2直線的方程

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

閱讀與思考笛卡兒與解析幾何

小結(jié)

復(fù)習(xí)參考題

第四章圓與方程

4.1圓的方程

閱讀與思考坐標(biāo)法與機(jī)器證明

4.2直線、圓的位置關(guān)系

4.3空間直角坐標(biāo)系

信息技術(shù)應(yīng)用用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡：圓

小結(jié)

復(fù)習(xí)參考題

空同幾何體的結(jié)掏

4我們郵1，1"住善各種各樣的物體?它們都占據(jù)泊制的部分.如■我們只用

慮這'匕物體的膨狀和大小?而不學(xué)慮北他因索.那么由這叫物體狀軟出來的空間圖形

就叫做:W!'1體.奉%我心［改從結(jié)構(gòu)特征我向認(rèn)識(shí)幾種柩壯術(shù)的審間幾何體.

.■1?.■

我們把這好物體的形狀叫做什么？我們?nèi)绾?￡i七七一的?狀?

觀察?件文物.說出它孤「哪種空間幾何體.并分析它的結(jié)構(gòu)特征.要注意它與

步向圖形的聯(lián)系.汴點(diǎn)觀察組成兒何體的每1、面的特點(diǎn).以及向勺血之間的關(guān)系.

第一章空間幾何體第—章

一過說察?可以發(fā)現(xiàn)?（2八（3）、（7/（9）.（13）.（II）.（13）.<|6）II”同樣的

特點(diǎn):組成兒何體的海個(gè)的都足丫向圖形?Ml部足￥面多邊心。；⑴.⑶.⑴,

（8八（I。八（"）.<12>1“|同樣的叩點(diǎn);組成它們的而不令是￥制圖形.

般地?代心把山7；「?jìng)€(gè)中向多邊杉建成的幾何體叫做多面體（圖1.12）.用成多而

,,

體的各個(gè)名邊形叫做％向體的面.（anftiA/?1/>.Ifti/?'CBS相鄰兩個(gè)多的公共邊叫做多

而體的棱.如棱八”.極VW板。楂的公共點(diǎn)叫做多制體的汕盧..如頂點(diǎn)八./>'.（2）.

（.■?）,（7）,<?>>.（I：；）.（II）,（!.■>）.<it；）這叫物體/im血體的膨狀.

我們把巾1、斗向圖形繞它所作'!'血內(nèi)的?條定條線旋轉(zhuǎn)所形成的成用兒何體叫做依

轉(zhuǎn)體（圖I.I3）.這條過H線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.U）,（3人（1）,（6>?（X）.（10）.（II）,

（12）這北物體部11〃旋轉(zhuǎn)體的形狀.

1.1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

I.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

HI.II中的⑵足我們作常熟悉的長方體包裝盒.它的每1、師睇是，'行四邊形<H>

形）.JMI制對(duì)的兩個(gè)向給我夕|以平行的修泉.如同入佗板'j地廝?樣.

如圖1.1I.?般地.〃兩個(gè)間比相平行.其余各向「是四

邊形.HIU：jHI鄰兩個(gè)四邊形的公共邊部〃.HI平行.由這辿而所

圍成的影制體叫做棱柱（Rristu）.梭桿中.網(wǎng)1、比和羋行的叫叫

做校住的底面.諭稱底:苴余各向叫做樓II的，：；川鄰閘向

的公北邊叫做棱柱的側(cè)棱;鯽血。底血的公犬頂點(diǎn)叫做核桿的歐

點(diǎn).收制?ffjlfi.四邊形.“邊形……的梭柱分別叫做.校

住.四核H、"H+I……我們用々示悵向各頂點(diǎn)的才叫人小棱

?1…

II

CHAPTER曲通育中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2及I魅

H.圖1.11的，'、梭+1&示為棱柱A'li'CD'E'l-'.|1f|I.II中的（7）.

（9）都是.極樸結(jié)構(gòu)的物體.

2.棱錐的結(jié)構(gòu)特征$欣點(diǎn)

國i.i??|'（19（II）tn（15）這樣的多立體.均出乎向圖版川伊位

成.其中個(gè)向足多邊形.北余件而部足的形?片IL這此用膨/：\\福血

/I?個(gè)公共頂點(diǎn).

如圖LI般地.一一個(gè)面是多邊形.JC余各血都）仃/”一%

個(gè)公共頂點(diǎn)的加形.由這叫向所用成的彩面體叫做棱錐（pym

mid）.這個(gè)■邊修囿叫做棱錐的底面或底;勺公共頂點(diǎn)的各個(gè)?俗m'-1

形面叫做內(nèi)維的側(cè)面?各傳向的公共預(yù)立叫做棱維的頂點(diǎn)；相鄰僻面的公共邊叫做棱錐的

側(cè)棱.粕向與：加形.叫邊形、“邊形……的棱錐分別叫做:棱錐.四棱傕,無棱餓……其

中極錐乂叫叫畫體.極錐也川喪示頑點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的卞母發(fā)示.圖1.1.，的四梭錐要

小:為校徘SAlUlf.

如何描述圖1/1中（13）、（16）的幾何結(jié)構(gòu)特征.它們與枝鋒有何

3.棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

我們C經(jīng)學(xué)過梭柱和極錐.他共圖I.II中像（13）.

（陽這種結(jié)構(gòu)的兒何體我心沒4t學(xué)過.像I!［（13）fil（16）

An~x\2這種兒何結(jié)構(gòu)特征的多面體.足川?個(gè)"卜松得帳血的平面

去僦梭鉗.底面上做血之間的部分.這樣的影曲體I.16）

叫做，麥臺(tái)（frusimnof;ipyramid）.I京極錐的代向和微而分別叫

做校臺(tái)的下底面和上底面.極行也有惻血.他極、頂點(diǎn).

請(qǐng)仿照校椎中關(guān)于葩面、僧校、頂點(diǎn)的定義，給出校臺(tái)的JU?

面、角校、頂點(diǎn)的定義.并在困1.16中標(biāo)出它們.

III枝錐.網(wǎng)棱俳.無梭錐……戰(zhàn)得的梭核分別叫做枝很叫一臺(tái)，八校臺(tái)

棱性的人小書?償11.1，中的四枝價(jià)我小為性介八

18

第一尊空間幾何體第一章

4.圓柱的結(jié)構(gòu)特征

如圖1.17.做即形的?邊所在線為艇轉(zhuǎn)軸.八余:邊旋

轉(zhuǎn)形成的血所作成的艇轉(zhuǎn)體叫做,(circularcyliixkr).旋轉(zhuǎn)

軸叫做WM的軸；小I'lJ軸的邊加制而成的KI血叫做

面，?!'行卜軸的邊版轉(zhuǎn)向成的曲向叫做］11；無論旋M4

什-”；，？7?I、巾I'II他的邊都叫做.，

付卜活中?i'l*容器和物體都是同柱修的.如圖l.lI中的

(i)和小).wm川人小它的仙的〃：1人小.圖i.i7'i'MHK

示為網(wǎng)fl<>t>.

HH和楨把統(tǒng)稱為杵體.

5.圓槌的結(jié)構(gòu)特征

。網(wǎng)柱樣?陰徘也可以行作是由之附圖形旋轉(zhuǎn)而成的.如

圖1.18.UfiJft上形的?條H'邊所作I'岷為旋轉(zhuǎn)軸?凡余

兩邊旋轉(zhuǎn)形成的制所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做(einnhirwin).圖

I.II中的(：“fll<?；>就足圈仰杉物體.同俳也外軸、底而.

偏而和母線.

請(qǐng)你仿照?qǐng)A柱中關(guān)于軸、底面、惻面、計(jì)埃的定義,給出圓錐

的軸、底面、蒯面、母投的定義.并在圖1.18中標(biāo)出它們.

W削也用&小它的他的'〃：，人小.圖1.18中的回鉗人小為同仰.7).

核鈾?陰錐統(tǒng)稱為錐體.

6.圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

?一介類似.用4'行J網(wǎng)佛底向的平向人戰(zhàn)網(wǎng)鋪.底面。戰(zhàn)向之間的

部分(圖I.I!”叫做(fruEum<>fa圖I.II中的(I)和

<l<?都是14側(cè)門結(jié)構(gòu)特征的物體.

'州陽和網(wǎng)鉗樣.阿介也有械底優(yōu)一妣竦線.—圖1.19

中林;I沱年.井用學(xué)母將圖I.19中的建介衣示出來.

極門'泅臺(tái)統(tǒng)稱為介體.

II

CHAPTER符通離中課程標(biāo)賽實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2必婚

面住可以由矩形旄轉(zhuǎn)。到.圓錐可以也直角角形盅轉(zhuǎn)得到.

圓臺(tái)可以由什么平面忸形旋轉(zhuǎn)得到？如何旋轉(zhuǎn)？

7.球的結(jié)構(gòu)特征

如圖I.II/以?['制的*徑所作|'f線為旋轉(zhuǎn)軸?半闕曲旋轉(zhuǎn)

制形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體（solklsphere）.簡(jiǎn)稱球.TM1的留心

叫做球的冰心?、門用的r件叫做原的泮￡?T網(wǎng)的I,[任叫做球的

直徑.圖1.11中的（11）、C2）兒〃原體的幾何結(jié)構(gòu)特征.原

常川喪小珠心的〃;J"々示,圖1.1I。中的跳&小為原（）.

HI1.110

慢柱、枝健與陵臺(tái)都是多面體.它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上有哪些相同點(diǎn)和

不同點(diǎn)？二者的關(guān)系如何？當(dāng)?shù)锥l(fā)生變化時(shí).它們能否互相轉(zhuǎn)

化？DB柱、網(wǎng)錐與81臺(tái)呢？

1.1.2簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

現(xiàn)關(guān)世界中的物體及小的幾何體.除一體、鉗體、一體和球體等箍單兒何體外.還“

k收的兒何體?山箍小兒何體組介而成的.這此幾何體叫做筒單組介體.

諭單組介體的構(gòu)成〃兩種從木形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成.如圖l.lII

（I）.（2）物體&小的兒何體；?種足由簡(jiǎn)單幾何體故去或挖去部分而成.WI.III

中（3）.（」）物體我東的幾何體.

mLIii

II6

第一季空間幾何體第一章

?察困l.l11中（I八（3）兩物體所小的幾何體.你位說出它Q

各由哪些箍單幾何體生合而成嗎?

圖1.1“小（I）物體所示的幾何體出卿個(gè)I如山和兩個(gè)KH臺(tái)組介而成.如圖1.1⑵圖

I.III>|<<3>物體所小的兒何體山?個(gè)長力偉棧人?個(gè)-:楊鉗而內(nèi)利.W\I.I13.

現(xiàn)實(shí)世界中,我們行例的物體大切IIU用.錐、fi.琮等幾何結(jié)構(gòu)恃征的物體組C

而成.

，第I幽>

2.根據(jù)卜的（|I兒何結(jié)構(gòu)的描述?說出幾何體的幺稱：

（I）由7個(gè)血陽成.H?|哂個(gè)面是匯出平行且企等的/!?邊形?H色咖郵是個(gè):"的也心

<2>tTJR的形蹺一那邊1的而斷力的■線旋轉(zhuǎn)附>彬成的川州HIM所IH成的遙暇

3（.■察我們用IH的物體.并說出這此物體所，J；幾何體的I收結(jié)內(nèi)卦W.

II

CHAPTER售通惠中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)IS科書教學(xué)2函扉

I.選擇的.

<1>卜例幾何體中盡快件的”《）

（2>卜列命的正確的是（）

（A）外兩］、面手行?箕余各曲都是四邊形的幾何體叫校住.

<B>"四個(gè)曲平行.其余各曲都是空行四邊形的幾何體叫校升.

<c）一兩個(gè)曲平行.其余各面都是兩邊形.IHI4相鄰兩個(gè)四邊杉的公共邊郁”.楸平行的

幾何體叫梭柱.

（D>川個(gè)平曲去戴核錐?底曲與截面之間的部分組成的幾何體叫椅f；.

（3）如圖.，|邊K方體中由左邊的平面圖形同成的是（>

8

第一章空間幾何體第i章

<?)充滿氣的4輪內(nèi)艙可由卜血乂個(gè)圖形邢M稱軸旋轉(zhuǎn)而成.這個(gè)圖冊(cè)足<).

2.2斷卜的幾何體企不足行體.并說明為什么.

I.如圖,個(gè)W注4MMi心的在線/標(biāo)轉(zhuǎn)18n.M象并說出它形成的兒何體的結(jié)構(gòu)撲征.

,.將圖中的T'向圖形按適"i比例放大.分別制作四血體用正方體?并說明1'而圖形'廣；；間兒何體

的關(guān)系.

-

B

3

J

4

II

CHAPTER普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書教學(xué)20夠

B組

I.如圖.長力體八中被截去部分.)??1?EH//A'l>'.

則卜的幾何體是什么？■去的幾何體及什么?你能說出它們的名

你叫？

2.請(qǐng)研定I；列物體所示幾何體的幾阿結(jié)構(gòu)特征.

11I。

空同幾何體的三視圖和直觀圖

前面我們隊(duì)隊(duì)"I體、錐體、臺(tái)體、球體以及簡(jiǎn)單M合體的結(jié)構(gòu)特征.為「將這

些空間幾何體的作紙I.用平面圖形伴東出來?使我們能夠脫去平而圖形想象空間幾

何體的形狀和結(jié)構(gòu).這就需要學(xué)習(xí)視圖的有關(guān)知識(shí).

我們常川：視圖和H觀圖表示第間幾何體.:視圖足觀察看從.個(gè)不同位置觀察

同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形；it觀圖是觀察者站在榮-點(diǎn)觀察個(gè)空間幾何體而

㈣出的圖形.:視圖和直觀圖在」.程世設(shè)、機(jī)械制造以及“常上活中FHi4要意義.

本在我們將〃學(xué)習(xí)投影知識(shí)的從礎(chǔ)I?學(xué)習(xí)&間幾何體的三視圖和仃觀圖.

1.2.1中心投影與平行投影

我一知道.光一4線傳播的.由于光的概射.一不透明物體后血的肝帶上可以留

卜套個(gè)物體的影廣,這種現(xiàn)象叫做投影.乂中.我們把光線叫做投影線?把招下物體

影子的屏傳叫做投影面.

我們把光山點(diǎn)向外散射形成的投影,叫做中心投影.中心投影的投影線交「?

點(diǎn).中心投影現(xiàn)用在我們的H常生活中獨(dú)常普遍.例如.在電燈泡的照射卜,物體后

面的屏AH:就會(huì)形成影子.而“隨抬物體跑離燈泡（或屏儕）的遠(yuǎn)近?形成的影孑大

小會(huì)仃不同（圖1.2D.另外.人們可以運(yùn)用中心投影的方法進(jìn)行繪㈣?使的出來的

美術(shù)作品。人們過宮的視覺效果足一致的＜1?1.22）.

M1.2I用1.22

我—我布?在平行此線照射下形成的投影.叫做平行投影.■行投影的投影線是

平行的.CW行投影中.投影線正時(shí)"投影而時(shí)?叫做正投影..力則叫做斜投影.

在乎"投影之卜?與投影間平行的平血圖脖陽F的影廣.」這個(gè)r而圖形的影狀

，漉一I11

CHAPTER尊通禹中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)救科書數(shù)學(xué)2必修

和大小是完全相同的.

個(gè):?板住中心投影和不同方向的平行投影之下.所產(chǎn)生的投影如圖1.2-3.

我們可以川平行投影的方法.畫出空間幾何體的:視圖和直觀圖.

空間幾何體的三視圖

I.柱.ft.臺(tái)、球的三視圖

把?個(gè)空間幾何體投影到?個(gè)平面上.可以獲得一個(gè)平面圖形，但比只打一個(gè)平面圖

形難以把樨幾何體的全貌.因此.我們需要從多個(gè)角度進(jìn)行投影,才能較好地把握幾何體

的形狀和大小.通常.總是選擇三種正投影.?種是光線從幾何體的前脩向后面正投影.

得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的：種足光線從幾何體的左血向右而正投

影.得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的：第三種是光線從幾何體的上面向下面

正投影.得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的i.幾何體的正視圖、制視圖和俯視

圖統(tǒng)稱為幾何體的作圖1.27是一個(gè)長方體的三視圖.

一般地.例

說國企正規(guī)用的

行邊.婚視圖&

正視圖的下邊.

mi.21

第一爐空間幾何體第一章

正視圖、只徹圖和餅理圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正

.它們都是平面圖形.觀察長方體的

三視圖,你能得出同一個(gè)幾何體的正泓忸.側(cè)視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關(guān)

系嗎？

由圖1.2I可以發(fā)現(xiàn).長方體的［視圖都是長方形.正視圖和劣視圖、俐覘圖和俯視

圖、俯視圖和正視圖都各外?條邊K相等.

般地.?個(gè)幾何體的他視圖和正視圖高度-樣.俯，圖與正視圖長度■樣,■視圖

與俯視圖寬度一樣.

圖1.25(1).(2)分別是［MIH和削錐的視圖.

rai.2s

出1.2-6是一個(gè)幾何體的三視圖.你能

說出它對(duì)應(yīng)的幾何體的名稱嗎？

CHAPTER瞽通高中課程標(biāo)賽實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)20恁

圖1.26的：視圖及示的幾何體是網(wǎng)臺(tái).

㈣幾何體的三視圖時(shí)，能看見的輪廓線和梭用實(shí)線衣示.不能行她的輪的線和棱用虛

線裹示.

2.簡(jiǎn)單組合體的三視圖

卜列物體衣示的幾何體是一些簡(jiǎn)單幾何體的組合體.你能畫出它們的：視圖嗎?

對(duì)丁新單幾何體的組合體.一定嬰認(rèn)真觀察?先認(rèn)識(shí)它的基本結(jié)構(gòu).然后iffli它的三視

圖.圖1.27(1)是我們熟悉的?種容器.容器的主要幾何結(jié)構(gòu).從I.往卜分別任網(wǎng)柱、

園臺(tái)和蚓柱,它的三視圖如圖1.2-8所示.圖1.2-7(2人(3)、(I)的.視圖請(qǐng)同學(xué)們自己

畫出.

圖1.29(1)、(2)分別是兩個(gè)簡(jiǎn)單組合體的三視圖,想象它們表示的組

合體的結(jié)構(gòu)特征.并嘗試畫出它們的示意圖(尺寸不作尸格般求).

困1.2-9

II

第一察空間幾何體第一章

5

J

j

J

j

2.觀察卜列兒何體的.視圖.想象并說出它心的幾何結(jié)構(gòu)特征.然后也出它力的示意圖:

j

j

J

j

j(事2?|)

3.根據(jù)下列描述.說出幾何體的結(jié)構(gòu)特征.并做出它m的：視圖;

(1)由六個(gè)血IH成.兒中個(gè)而3I」.邊出,我余八個(gè)面是全苗的等檢.角形的兒何體,

j

⑵如圖.由一畢加圖形旋轉(zhuǎn)崗彬成的幾何體.

j

j

j

j

1.如用是個(gè)幾何體的:視圖.想，它的幾何結(jié)構(gòu)特if.并說出它的行稱.

CHAPTER普遍篇中課程標(biāo)準(zhǔn)賣蚊教科書數(shù)學(xué)2必能

1.2.3空間幾何體的代理圖

對(duì)于幾何體的直觀圖.我們并不陌生.的l.I2圖1.10都是相應(yīng)兒何體的直觀圖.

它們是怎樣商出來的呢?

在立體幾何教學(xué)中,空間幾何體的■觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形.

要畫審問幾何體的直視圖.首先要學(xué)會(huì)水平放置的平面圖形的畫法.例如.在桌面t

放置個(gè)正六邊形.我們從空間某點(diǎn)/這個(gè)六邊形時(shí),它是什么樣子?如何畫出它的自

視圖？

下面我們以正六邊形為例.說明水平放置的平面圖形的直觀圖的法.對(duì)于平面多邊

形.我們常用科.測(cè)畫法叫它們的仃觀圖.斜二測(cè)畫法是一種特殊的平行投影畫法.

例1用斜二測(cè)網(wǎng)法網(wǎng)水平放置的正六邊形的f［觀圖.葉

畫法：(I)如圖1.2-10(I).在正六邊形入BCDEF中.取“)

所在在線為，軸.對(duì)稱軸MN所在H線為、軸.兩軸相交于點(diǎn)().

在圖1.210(2)中,」相應(yīng)的/'軸與y'軸.兩軸相交于點(diǎn)(九使

/Wy'15\

(2)在圖1.2-10(2)中.以。為中點(diǎn),在/軸上取人力'

在，軸I取M'N'\MN.以點(diǎn)N'為中點(diǎn).畫/〃?'平行r，'上二五》V

?/G受;

軸.并且等于/人再以M'為中點(diǎn).曬￡>“平行于才'軸?井IL等⑵

于EF.Ff

(3)連接八'/，'./XE\F'A'.并擦去輔助線軸和『:

軸?便獲得正六邊形ABCDEI-水平放置的,觀圖八，B'C'D'E'F'(3)

(UH1.210(3)).

上述畫宜觀圖的方法稱為科二測(cè)畫法.它的步驟是：

(I)在巳知圖形中取互相垂取的.「軸和y軸.兩軸相交千點(diǎn)。.畫1*［觀圖時(shí).把它們

畫成時(shí)應(yīng)的/軸'j.v'軸.兩軸交于點(diǎn)(九且使Z>'Oy45°(或133°).它們確定的平面

我示水平面.

(2)已知圖形中平行于上軸或、軸的線段.在在觀圖中分別叫成平行「.，'軸或丁軸的

線段.

(3)巳知圖形中平行廣上軸的線段,在宜觀圖中保持原長度不變.平行于y?l的線

段.長度為原來的?半.

II

第一舉空間幾何體第一章

1活經(jīng)驗(yàn)告訴代依.水T放評(píng)的I用6起來M常像怖網(wǎng).作實(shí)際卿休平放？T的IMI的水土

圖時(shí)?我們沿用如圖1.211所示的橢網(wǎng)模板.

i?體兒何中.

常川正，州向法

向術(shù)FAX的劇.

圖1.2II

卜向我們探求；間幾何體的卜觀圖的M法.

例；川斜即叫法㈣K.寬.高分別足Icm.3<-m.2rm的K方體八攸7）八

〃’的在視圖.

畫法：（I）嘶軸.如圖I.2T2.釉，軸.尸軸、:軸.泄相交一點(diǎn)”?使,<<>y

J5..<（h9<>.

⑵幽■血.以點(diǎn)〃為中點(diǎn).作，軸上取線段MN.使

MXI<iu；軸I.取線段，Q.使〃Q；<m.分別過區(qū)幾何體的ft.現(xiàn)出時(shí).

如果不作尸格疊力.陽彩乂

點(diǎn)M和\f1、,軸的甲行線.過苴，和Q作.，軸的羋行線.才可以送'i選取.”】5+二川

,法&圉的用吐也可以n

設(shè)它們的交點(diǎn)分別為I.H.（'.〃.四邊形八塊力就足尺定.但要求團(tuán)班具有一定的

方體的底血立體感.

⑶阿一梭.過八.B.C.一各點(diǎn)分別作？軸的平行

線.并住這線￥行線上分別截取2m氏的線段八八'.lili'.

（I）成田.般次連投八'.〃'.（'./）'.并加以整理（上拉輔助線.將被遮擋的部分改為

虛線）.就得刎氏方體的。視圖.

II

CHAPTER慧通離中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)蛇教科書教學(xué)2必能

例3如圖1.213.已知幾何體的?:視圖.用斜滿育法畫出它的直觀圖.

分析：山幾何體的:視圖如道.這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,它的下部是一個(gè)做

柱.上那是一個(gè)Iffl錐.并且圓錐的底面與上柱的上庭而取合.我們可以先畫出卜部的圓

柱.再幀出上部的圓錐.

畫法：(1)㈣軸.如圖1.2II(1).阿.，軸、z軸,使NXk90°.

(2)㈣陰性的卜底面.在.，軸上取A.8兩點(diǎn).使AB的長度等廣俯視圖中網(wǎng)的直徑.

且OAM)及選擇橢制模板中適當(dāng)?shù)臋E1Hl過八.8兩點(diǎn).使它為陰柱的卜底面.

(3)在(左上截取點(diǎn)。'，使(XP等于正視圖中8'的長度.過點(diǎn)。作平行于軸O的

軸(％'.類似圈住卜底面的作法作出陰柱的匕底面.

(4)閩陽健的頂點(diǎn).在6上截取點(diǎn)P.使P。等于正視圖中相應(yīng)的高度.

⑸成圖.連接，八'.p/r.AV.an'.整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖(圖

1.211(2)).

空間幾何體的三視圖與一觀圖看著密切的聯(lián)系.我們能夠由空間幾何體的「視圖得到

它的直觀圖.同時(shí).也能夠由空間幾何體的ft觀圖得到它的三視圖.

從投影的角度看.(視圖和用斜二測(cè)的法畫出的直觀圖

都是在平行投影下畫出來的空間圖形.在中心投影下,也可

以mil出空網(wǎng)圖形.圖1.2-15(D是中心投影下iE方體的直觀

圖.它與平行投影投1E方體的直的圖(ffl1.215<2?有什

么聯(lián)系與區(qū)別呢？

空間幾何體在平行投影與中心投影卜有不同的表現(xiàn)形式.

我H1可以根據(jù)阿密的實(shí)際情況?選擇不同的表現(xiàn)方式.

m1.2is

II18

第一季空向幾何體第一章

（1）圖1.2-16是一

個(gè)獎(jiǎng)杯的三視園.你能想

象出它的幾何結(jié)構(gòu)特征.

并畫出它的直觀圖嗎？

<2）空間幾何體的三視圖和直觀圖能夠

幫助我們從不同側(cè)面、不同角度認(rèn)識(shí)幾何體

的結(jié)構(gòu)，它們各有啡些特點(diǎn)？二者有何

關(guān)系？

ffl1.216

繞習(xí)

I.川斜川畫法畫出卜的水平放慳的1?'血圖形的自規(guī)圖（尺寸自定）'

J（1）任意：角彬；（2）平行四邊形，

<3）正八邊形.

2,判斷卜的結(jié)論足否正確.H確的住括號(hào)內(nèi)喇儲(chǔ)誤的篇“X判

<1）用的水丫放潸的在觀圖一定星角.

（2）相等的俗作圖中仍然相等.

（3）相等的線段4在猊國中仍然相等.

（I）若兩條線殿￥行.則住H觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行.

3.利川斜.泅刑法得到的

①角形的H觀國是：用形.

②1'行四邊形的H觀圖是1'?行兇邊形.

③正方形的h視圖是正方形.

④芟形的It觀圖是益形.

以上結(jié)論.正碎的是（）

<A）（DO<B>①（c>（i）>（ixzxsxa）

II

CHAPTER普返高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)20修

5I.用料濯曲法例出五枚錐。八枚"E的自觀圖?痣中底

順ABCDE足正71邊形.點(diǎn)P在底面的投影是正五邊形

的中心〃（hi寸自定）.

)5.八圖是個(gè)空間幾何體的三視圖?試川斜能做法畫出

它的門觀圖.

J

J

J

色（笫5腦）

A10Ali占41141411A4,4,1b

II20

第一?？臻g幾何體第一章

2.根據(jù)下列?:視圖?想象對(duì)應(yīng)的幾何體:

3,根據(jù)第2跳給出的三視用.利用硬紙制作相應(yīng)的實(shí)物

M9.

4.用料二灣的江畫出水平放置的尚為6（兒邊長為1cm的

菱形的直觀隹.

5.如圖.已知幾何體的三視圖.想象對(duì)應(yīng)的幾何體的結(jié)構(gòu)特

征,并畫出它的直視圖.

俯現(xiàn)留

（第5胭）

211|

CHAPTER8通離中課檢標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)救科書數(shù)學(xué)2必啰

B組

1.■出你學(xué)校中一座理筑物的三視圖和直觀圖（尺寸.線條不作

產(chǎn)格蟄求）.

2.用學(xué)習(xí)過的幾何體.設(shè)計(jì)個(gè)學(xué)習(xí)用晶.并在小組中解幃你的

XKffi

設(shè)計(jì).

3.如圖是個(gè)荷中組合體的三段圖.想象它&示的組合體的結(jié)構(gòu)

特征,并僅試㈣出它的示意圖（尺寸不作嚴(yán)格要求》.

(Wrtffi

(第30

畫法幾何與蒙日

用法幾何就是在平面上繪冽空間圖影，并在平面圖上*達(dá)出空間原物體各部分的大

小、位置以及相互關(guān)系的一門學(xué)科.它在繪畫.立筑等方面有著廣泛的應(yīng)用.

曲法幾何起源于歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的繪畫和丈筑技術(shù).意大利t術(shù)家達(dá)?芬哥《12）

nardodaVinci.11521519）在他的繪畫作品中已經(jīng)廣泛地運(yùn)用了透祖理論.主要是中心

投影.法國故學(xué)家笛沙格（iXsarque.15931662）在他的“透視法”中給出了空間幾何

體透視像的用法.以及如何從平面圖中正境地計(jì)算出幾何體的尺寸大小的方法.文要是運(yùn)

用正投粉.以后又經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家蒙日（Monge.17451818）的深入研究，并在1799

年出版了《畫法幾何學(xué)》一書.在該書中.蒙日第一次詳細(xì)闡述了怎件把空間（三維）物

體投彩到兩個(gè)互相卷亢的平面上.并根據(jù)投影原理（這種原理后來發(fā)展成射粉幾何學(xué)）推

斷出該空間物體的幾何性質(zhì).蒙日的、畫法幾何學(xué)：一書不論是在桃念上.還是在方法上

都有深遠(yuǎn)的影響.這種方法對(duì)于立就學(xué)、軍事學(xué).機(jī)械制圖孑方面都有極大的實(shí)用價(jià)值.

從此畫法幾何就成,為一門獨(dú)立的幾何分支學(xué)科.蒙日成為畫法幾何的創(chuàng)始人.

蒙日生長在法國大革命時(shí)代.曾任海軍部長,并創(chuàng)立了巴黎多科工匕學(xué)校.他出生在

迪隆附近的一個(gè)小商人家庭.16歲就在里昂學(xué)院任講師,他熟練地以比例尺繪出他攣鄉(xiāng)的

地圖,因而裱梅齊愛爾軍事學(xué)院稗為繪圖員.1768年,蒙日在梅方斐爾擔(dān)任教學(xué)教授.那

時(shí)他只有23歲.1780年.他被選為巴黎科學(xué)院院士.迂居巴黎后胖在海軍學(xué)校收書.為

了從敦?fù)?jù)中R出生塞中炮兵陣地的位五.豪日用幾何方法避開了麻煩的計(jì)算.他用二維平

面上的適與投影來表達(dá)三維物體的聰明方法.在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用.并導(dǎo)致畫法幾何

的產(chǎn)生.法國大革命附后.由于軍,卜農(nóng)筑上的迫切甯要■.蒙日的畫法幾何方法被列為軍事

秘密.所以很久未能公諸于世.有到當(dāng)時(shí)的軍卡約火解除后.等H才公布了他的研究成

靈,這已是他立立反法兒何之后3。年的事了.

22

空同幾何體的表面積與體積

前面.我們分別從幾何結(jié)構(gòu)特征和視圖兩個(gè)方向認(rèn)識(shí)了空間幾何體.下面我們來

學(xué)習(xí)空間幾何體的衣畫枳和體枳.我面積是兒何體的面的面機(jī)它表示幾何體表面的

大小.體積是幾何體所占空間的大小.

柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

I.柱體,錐體、臺(tái)體的表面積

1了2在初中,我們巳經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長方體的表面積,以及它們的展開

圖（圖1.3-D.你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？

圖1.3-1

正方體.長方體是由多個(gè)平面圖陶M成的多的體?它們的整面表就是各個(gè)面的而體的

和.也就是展開圖的血積.

23

CHAPTER修通高中課程標(biāo)準(zhǔn)買險(xiǎn)我科書數(shù)學(xué)2期修

一般地,我們可以把多面體展成平面圖形.利用平面圖形求面積的方法.求多面體的

表而枳.

校柱、校錐、校臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形僧成的多面體.它們的

展開困是什么？如何計(jì)算它們的表面把？

例I已知梭長為a.各面均為等邊三角形的四面體S-ABC（圖1.3-2）.求它的表

面枳.

分析：由手四血體S體BC的四個(gè)面是全等的等邊三角形.

所以四面體的收面積等于其中任何一個(gè)面面積的1倍.

解：先求△$/，（,的面積.過點(diǎn)S作SO|HC.交BC于點(diǎn)D.

因?yàn)锽C

S/）S/JHI>、"（：；）

所以Sw?SD=

因此.四面體5ABe的表面枳

s==1x

4

如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征.求它們的表面積?

我們知道.陰注的（W面展開圖是一個(gè)矩形（ffll.33）.如果我柱的底面半徑為人母

線長為/.那么Ml住的底面面積為》.側(cè)雨面積為21M.因此.陰柱的&面積

S一2nr-f2nrl2M（r+/）.

I-----------------

將空間陽形問題轉(zhuǎn)化為

平面田杉問題.是解決立體

幾何問題的、常用的

?儺的側(cè)面展開圖是?個(gè)酎形（圖1.31）.如果斷錐的底面半徑為，、母線長為/.

那么它的人而枳

Snr+xr/?rr(rI/).

II24

（1）聯(lián)系38柱和圓錐的展開困，你能想象回臺(tái)展開圖的形狀，

并且漏出它嗎？

（2）如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為/.小母線長為/,你能計(jì)算出它的表面

積嗎？

一臺(tái)的側(cè)面艇開圖是一個(gè)，環(huán)（圖1.35）.它的表面枳等

于匕卜兩個(gè)底面的面枳和加II側(cè)而的而積?即

SK（/，卜/+//+,力.

例2如I圖1.36.?個(gè)惻臺(tái)形花熬盆I"［徑為20cm.盆

底直徑為15cm,底部滲水圈孔點(diǎn)徑為L$cm.盆壁長15cm.

為了美化花盆的外觀.需要涂化花.已知每平方米用100老升ffl1.35

油漆,涂l（M）個(gè)這樣的花盤需要多少油漆（“取3.II?結(jié)果精

確到1亳升,可用計(jì)算器）?

分析：只要求出每一個(gè)花盆外，的海面外.就可求出油漆

的用ht.而佗盆外堆的&面積等r花盆的側(cè)向面積加上底面面

積.再減去底面例孔的面積.

解：如圖1.3-6.由/臺(tái)的表面積公式面一個(gè)花盆外壁的圖1.36

友面積

S"X［借）+散15,散15卜&X（竽）

&lOOCXcnr'）—0.1（m：）.

涂1（X）個(gè)花盆制油漆：0.IXI00X1001000（包升）.

答：涂l<M）個(gè)這樣的花盆約需要1000包升油漆.

2.柱體、錐體與臺(tái)體的體積

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了計(jì)算特殊的棱柱正方體,長方體,

以及陰柱的體積公式.它們的體積公式可以統(tǒng)一為枚柱（圓柱）的高是找

西底面之間的距舄.即從一

VSh（S為底面血枳.h為高）.底面上任秀一點(diǎn)向另一個(gè)底

一般柱體的體枳也是面作?■餞這點(diǎn)與?■足（*

也與底面的支點(diǎn),之間的

v=s/?,距隊(duì)

其中S為底而向枳.h為柱體的曲.

BB-的體積公式是

CHAPTER瞽通離中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)較tg科書數(shù)學(xué)20第

V；Sh（S為底而面積.h為高）.

它是同底等府的陰性的體積的;.枝慎（WMt）的高是指

從慎點(diǎn)向底面作磨我.蕉點(diǎn)

與垂足（/我與底面的交

極錐的體積也是:同底等高的棱柱體枳的.1.即極錐的體積

*5點(diǎn)）之間的距離.

V1s/，（S為底曲血枳.h為高）.

由此可見.梭H*jM