序言一、什么是微積分？二、微積分發(fā)展簡(jiǎn)史三、學(xué)什么?怎么學(xué)?一、什么是微積分？

微積分是關(guān)于運(yùn)動(dòng)和變化的數(shù)學(xué)。那里有運(yùn)動(dòng)或增長(zhǎng)、變力作功產(chǎn)生的加速度，那里要用到的數(shù)學(xué)就是微積分。微積分開創(chuàng)的初期是這樣，今天仍然是這樣。

二、微積分發(fā)展簡(jiǎn)史

1.

微積分思想萌芽

?戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家的代表作《莊子?天下篇》惠施的一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”

?魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”；

?“祖暅原理”：“冪勢(shì)既同，則積不容異”；

?安提芬、歐多克斯的“窮竭法”；

?阿基米德借助于窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計(jì)算問題。他的方法通常被稱為“平衡法”，實(shí)質(zhì)上是一種原始的積分法。

劉徽生于公元250年左右，東漢三國(guó)后期魏國(guó)人，是中國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家，也是中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一．

祖沖之于公元429年生于江蘇南京，漢族，南北朝時(shí)期人。其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械三方面。

安提芬(Antiphon,公元前480-403）古希臘早期十大最偉大的演說家之一。

歐多克斯（EudoxusofCnidus,408BC-355BC）希臘天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家。

名言：

“給我一個(gè)支點(diǎn)，我將移動(dòng)地球”

阿基米德(Archimedes，約前287～前212)，古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，靜力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人。除了偉大的牛頓和偉大的愛因斯坦，再?zèng)]有一個(gè)人象阿基米德那樣為人類的進(jìn)步做出過這樣大的貢獻(xiàn)。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。2.

十七世紀(jì)微積分的醞釀

微積分思想真正的迅速發(fā)展與成熟是在16世紀(jì)以后。1400年至1600年的歐洲文藝復(fù)興，使得整個(gè)歐洲全面覺醒。一方面，社會(huì)生產(chǎn)力迅速提高，科學(xué)和技術(shù)得到迅猛發(fā)展；另一方面，社會(huì)需求的急需增長(zhǎng)，也為科學(xué)研究提出了大量的問題。這一時(shí)期，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題，以常量為主要研究對(duì)象的古典數(shù)學(xué)已不能滿足要求，科學(xué)家們開始由對(duì)以常量為主要研究對(duì)象的研究轉(zhuǎn)移到以變量為主要研究對(duì)象的研究上來，自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段。

微積分的創(chuàng)立，首先是為了處理十七世紀(jì)的一系列主要的科學(xué)問題。(2)望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任意一點(diǎn)的法線,求任意曲線切線的連續(xù)變化問題。(1)如何確定非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度與加速度及瞬時(shí)變化率問題。(3)確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題。(4)行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計(jì)算等。

這一時(shí)期的幾位科學(xué)大師及其工作：

開普勒與無限小元法

：用無數(shù)個(gè)同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積

卡瓦列里與不可分量法：“兩個(gè)等高的立體,如果它們的平行于底面且離開底面有相等距離的截面面積之比為定值,那么這兩個(gè)立體的體積之間也有同樣的比”，利用這個(gè)原理他建立了等價(jià)于下列積分：

的基本結(jié)果，使早期積分突破體積計(jì)算的現(xiàn)實(shí)原型而向一般算法過渡。

巴羅與“微分三角形”

：給出了求曲線切線的方法，這對(duì)于他的學(xué)生牛頓完成微積分理論起到了重要作用。

笛卡兒、費(fèi)爾馬和坐標(biāo)方法——代數(shù)方法，對(duì)推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響,牛頓就是以此為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路。

沃利斯的“無窮算術(shù)”：沃利斯是在牛頓和萊布尼茨之前，將分析方法引入微積分貢獻(xiàn)最突出的數(shù)學(xué)家。在其著作《無窮算術(shù)》中，他利用算術(shù)不可分量方法獲得了一系列重要結(jié)果。

約翰尼斯·開普勒（JohannesKepler，1571-1630)，德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。

牛頓曾說過：“如果說我比別人看得遠(yuǎn)些的話，是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏??！遍_普勒無疑是他所指的巨人之一。

卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647)，意大利數(shù)學(xué)家，積分學(xué)先驅(qū)者之一。

伊薩克·巴羅(IsaaeBarrow，1630一1677)是十七世紀(jì)英國(guó)最著名的科學(xué)家和數(shù)學(xué)家，牛頓的老師。精于數(shù)學(xué)和光學(xué)，對(duì)幾何學(xué)頗有建樹。

勒奈·笛卡爾（ReneDescartes，1596-1650）,法國(guó)偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、生理學(xué)家。解析幾何的創(chuàng)始人。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分與積分也就立刻成為必要的了。

——恩格斯

費(fèi)爾馬(PierredeFermat，1601～1665）法國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。

對(duì)費(fèi)爾馬的評(píng)價(jià)：費(fèi)爾馬一生從未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究也不過是業(yè)余之愛好。然而，在17世紀(jì)的法國(guó)還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵：他是解析幾何的發(fā)明者之一；對(duì)于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人，以及獨(dú)承17世紀(jì)數(shù)論天地的人。此外，費(fèi)馬對(duì)物理學(xué)也有重要貢獻(xiàn)。3.

微積分的創(chuàng)立—牛頓和萊布尼茨的工作

1）牛頓的“流數(shù)術(shù)”

牛頓于1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法),1666年5月建立“反流數(shù)術(shù)”(積分法)。1666年10月,牛頓將前兩年的的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文—《流數(shù)簡(jiǎn)論》，明確了現(xiàn)代微積分的基本方法,這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。牛頓將自古希臘以來的求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——正、反流數(shù)術(shù)(流數(shù)就是微商)，并證明了二者的互逆關(guān)系，將這兩類運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體，這是他超越前人的功績(jī),也正是在這樣的定義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。2）萊布尼茨的微積分工作

與牛頓的切入點(diǎn)不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文《一種求極大值與極小值以及求切線的新方法》（簡(jiǎn)稱《新方法》），它包含了微分記號(hào)

以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，包含積分符號(hào)

。

牛頓萊布尼茲戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨（GottfriendWilhelmvonLeibniz，1646.7.1.—1716.11.14.）德國(guó)最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見的科學(xué)天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。

艾薩克·牛頓Isaacnewton(1643年1月4日—1727年3月20日)是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家，同時(shí)他也是一個(gè)神學(xué)愛好者，晚年曾著力研究神學(xué)。牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了微積分和經(jīng)典力學(xué)。

3）18世紀(jì)微積分的發(fā)展

從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過渡時(shí)期，法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾(M.Rolle,1652-1779)在其論文《任意次方程一個(gè)解法的證明》中給出了微分學(xué)的一個(gè)重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說的羅爾微分中值定理。微積分的兩個(gè)重要奠基者是伯努利兄弟雅各布和約翰他們的工作構(gòu)成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求未定型極限的一個(gè)定理，這個(gè)定理后由約翰的學(xué)生羅比達(dá)(L’Hospital,1661-1704)編入其微積分著作《無窮小分析》，現(xiàn)在通稱為羅比達(dá)法則。

雅各布·伯努利

（JakobBernoulli?，1654年12月27日－1705年8月16日）伯努利家族代表人物之一，數(shù)學(xué)家。他是最早使用“積分”這個(gè)術(shù)語的人，也是較早使用極坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)家之一。他研究了懸鏈線，還確定了等時(shí)曲線的方程。

約翰·伯努利(JohannBernoulli)1667年8月6日生于巴塞爾，是雅各布·伯努利的弟弟。最初學(xué)醫(yī)，同時(shí)研習(xí)數(shù)學(xué)。1691年到巴黎,曾為C.-F.-A.de羅比達(dá)的私人教師?，F(xiàn)今求不定式極限的羅比達(dá)法則，實(shí)出自約翰。1705年接替其兄雅各布任巴塞爾大學(xué)教授。1691年解出懸鏈線問題。

布魯克·泰勒(Brook.

Taylor,1685-1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家，他主要以泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)出名。

科林麥克勞林（ColinMaclaurin,1698-1746）是18世紀(jì)英國(guó)最具有影響的數(shù)學(xué)家之一。麥克勞林得到泰勒公式在

時(shí)的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級(jí)數(shù)稱為“麥克勞林級(jí)數(shù)”。

18世紀(jì)，微積分得到進(jìn)一步深入發(fā)。

約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-LouisLagrange1735~1813），法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他最突出的貢獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)方面起了決定性的作用．

其他代表性人物

萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707-1783），18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被稱為“分析的化身”。18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步是由歐拉作出的。他的《無限小分析引論》（1748）、《微分學(xué)原理》（1755）與《積分學(xué)原理》（1768~1770）都是微積分史上里程碑式的著作，在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教材而廣泛使用。勒讓德(A.M.

Legendre,1752-1833），主要貢獻(xiàn)是橢圓積分理論

4．微積分中注入嚴(yán)密性

微積分學(xué)創(chuàng)立以后，由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，使微積分學(xué)成了研究自然科學(xué)的有力工具。但微積分學(xué)中的許多概念都沒有精確的定義，特別是對(duì)微積分的基礎(chǔ)—無窮小概念的解釋不明確，在運(yùn)算中時(shí)而為零，時(shí)而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。正因?yàn)槿绱?，這一學(xué)說從一開始就受到多方面的懷疑和批評(píng)。

最令人震撼的抨擊是來自英國(guó)克羅因的主教貝克萊。

貝克萊集中攻擊了微積分中關(guān)于無限小量的混亂假設(shè)，他說：“這些消失的增量究竟是什么？它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄Я康墓砘陠?？”這就是著名的“貝克萊悖論”。貝克萊的許多批評(píng)切中要害，客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷，引起了當(dāng)時(shí)不少數(shù)學(xué)家的恐慌。這也就是我們所說的數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第二次“危機(jī)”。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。

到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是逐步的、漫長(zhǎng)的。有限與無限的差別：

Hibert賓館.

達(dá)朗貝爾(d’Alembert,1717-1783)。在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。

完善時(shí)期的代表人物19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾(B.

Bolzano,1781-1848)開始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫的《無窮的悖論》一書中包含許多真知灼見。

做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。他在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。他對(duì)極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級(jí)數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。

另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(W.

Weierstrass,1815-1897)，。魏爾斯特拉斯定量地給出了極限概念的定義。魏爾斯特拉斯用他創(chuàng)造的一套

語言重新定義了微積分中的一系列重要概念，終于使分析學(xué)從完全依靠運(yùn)動(dòng)學(xué)、直觀理解和幾何概念中解放出來，消除了“貝克萊悖論”。基于魏爾斯特拉斯在分析嚴(yán)格化方面的貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)史上，他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)。

三、《微積分學(xué)》學(xué)什么？怎么學(xué)？1.學(xué)知識(shí)1）知識(shí)點(diǎn)概要及內(nèi)容①這條曲線在點(diǎn)處的切線方程是怎樣得到的(極限、導(dǎo)數(shù))？②圖中陰影部分的面積是怎樣計(jì)算的(極限、不定積分、定積分)？③OB弧的長(zhǎng)度是如何求出的(定積分的應(yīng)用)？

⑤圖中陰影部分的圖形繞軸(或軸)旋轉(zhuǎn)一周的立體的表面積是多少(二重積分的應(yīng)用)？⑥無窮多個(gè)數(shù)相加的和仍然是一個(gè)數(shù)嗎(級(jí)數(shù))？⑦兩電線桿之間的電線的長(zhǎng)度是多少(定積分的應(yīng)用、微分方程)？?jī)?nèi)容：①函數(shù)、極限、連續(xù)②一元函數(shù)微積分學(xué)③向量代數(shù)與空間解析幾何④多元函數(shù)微積分學(xué)⑤無窮級(jí)數(shù)⑥常微分方程④圖中陰影部分的圖形繞x軸(或y軸)旋轉(zhuǎn)一周的立體的體積有計(jì)算公式嗎(定積分的應(yīng)用、二重積分。)？

當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家柯朗曾出:“微積分，或數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一?！?/p>

數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具”，也是一種思維模式，即“數(shù)學(xué)方式的理性思維”

在整個(gè)《微積分》的學(xué)過程中，函數(shù)是微積分的研究對(duì)象，極限理論是微積分的重要基石，微分學(xué)和積分學(xué)是建立在它們之上的兩個(gè)主要內(nèi)容，微分學(xué)和積分學(xué)不是孤立的兩部分，而是相互關(guān)聯(lián)的，微積分基本定理是聯(lián)系它們之間的紐帶。2)學(xué)思維

3.為什么要學(xué)微積分？1）數(shù)學(xué)的重要性:什么是高技術(shù)？——本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)技術(shù)。什么叫現(xiàn)代化？——在某種意義上說就是數(shù)學(xué)化。三大科學(xué)是什么？——數(shù)學(xué)科學(xué)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)成為當(dāng)今的三大科學(xué)。尋找自然規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式成為一種時(shí)尚，也是該學(xué)科成熟的標(biāo)志。這種時(shí)尚發(fā)展到今天，就是非常熱門的話題——數(shù)學(xué)模型。微積分是現(xiàn)實(shí)世界的最出色的數(shù)學(xué)模型之一。2）素質(zhì)教育：數(shù)學(xué)不僅是一些知識(shí)，也是一種素質(zhì)，即“數(shù)學(xué)素質(zhì)”。

著名數(shù)學(xué)家李大潛院士指出：“數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上就是一種素質(zhì)教育”。體現(xiàn)在①具有運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力；②具有處理數(shù)據(jù)和圖形的能力，重點(diǎn)是應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模的能力；③具有進(jìn)行邏輯推理和選擇計(jì)算方法的能力；④具有判斷計(jì)算和推理結(jié)果正確性的能力；⑤具有自己主動(dòng)學(xué)習(xí)、適應(yīng)各種復(fù)雜環(huán)境的能力；⑥養(yǎng)成主動(dòng)合作的團(tuán)隊(duì)精神、堅(jiān)韌不拔的科學(xué)態(tài)度；⑦具有高水平的審美觀。3）微積分是學(xué)習(xí)專業(yè)技術(shù)課的基礎(chǔ)

微積分全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的內(nèi)容

微積分在研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)中占60%4.怎樣學(xué)習(xí)微積分？《微積分學(xué)》教學(xué)大綱中提出的“三個(gè)基本”：基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能要求：基本概念要準(zhǔn)確，基本理論要清楚，基本運(yùn)算技