直線與平面平面與平面的相對(duì)位置第五章2§

5-1

平行問題§

5-2

相交問題§

5-3

垂直問題本章作業(yè)直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置35.1

直線、平面的相對(duì)位置相對(duì)位置關(guān)系是指平行、相交和垂直關(guān)系。垂直關(guān)系：直線與平面垂直，兩直線垂直和兩平面垂直。

平行關(guān)系：直線與平面平行，兩平面平行；

相交關(guān)系：直線與平面相交，兩平面相交；

4一、平行關(guān)系

⒈直線與平面平行若平面外的一直線與平面內(nèi)的某一直線平行，則該直線與該平面平行。幾何條件是：兩直線的平行問題直線與平面的平行問題

由于EF∥BD，且BD

是△ABC面內(nèi)的一直線，因此直線EF∥△ABC

面。

分為：直線與平面平行，以及平面與平面平行5n●●acbmabcmn例：過M點(diǎn)作直線MN平行于△ABC平面。有多少解？dd空間分析先在面內(nèi)取一直線作該直線的平行線有無數(shù)解，解的軌跡是與△ABC平行的平面6例：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和△ABC平面。唯一解c●●bamabcmnndd空間分析與V面平行的直線是正平線與△ABC平行平行于△ABC內(nèi)的正平線作圖步驟…若本題改成平行于H面，如何求解？72.

兩平面平行若一平面內(nèi)的兩相交直線分別與另一平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則兩平面平行。幾何條件是：兩組相交直線的平行問題兩平面平行的問題cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde若兩平面垂直于同名投影面，且積聚性投影互平行，則兩平面平行。8例：過點(diǎn)K作一平面，平行于由AB、CD兩平行直線構(gòu)成的平面。1）在AB、CD平面內(nèi)，取一條與AB、CD相交的線，如AC；

2）過K作KL∥AB，KM∥AC；3）描深LKM即為所求。

空間分析作圖步驟根據(jù)平面間平行的幾何條件，先找出相交二直線；作相交二直線的平行線。9acebbaddfcfekhkhmm結(jié)論不平行！例：已知AB∥CD∥EF∥MH，判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行。

空間分析依據(jù)平面間平行的幾何條件，先找出相交二直線；判斷兩組相交二直線是否分別平行。求解步驟作輔助線EK//AC10二.相交關(guān)系

⒈

直線與平面相交幾何特性是：兩直線的相交問題直線與平面的相交問題可轉(zhuǎn)化分為：直線與平面相交，以及平面與平面相交直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)?！瘛裥枰鉀Q：求交點(diǎn)判別線段可見性，即線段被遮擋的關(guān)系，交點(diǎn)是可見性的分界點(diǎn)當(dāng)相交的直線或平面的投影具有積聚性時(shí)，求解較為簡(jiǎn)便。當(dāng)直線或平面都是一般位置面時(shí)，需要用輔助平面法求解。111(2)km(n)a●mnbaccb空間分析

鉛垂線MN的水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)的水平投影也積聚在該點(diǎn)，它是線與平面的共有點(diǎn)。1）用面上取點(diǎn)法求交點(diǎn);2）利用V面重影點(diǎn)確定線段在V面的可見性;

還可通過觀察水平投影，cb在mn之前，得出km可見的同樣結(jié)論。k●2●1●作圖步驟●例：求鉛垂線MN與△ABC面的交點(diǎn)，并判別可見性。點(diǎn)1在平面內(nèi)，在前（V面）；點(diǎn)2在MN上，在后（V面），k2為不可見。121(2)例：求直線MN與鉛垂面△ABC的交點(diǎn)，并判別可見性。空間分析△ABC是鉛垂面，其水平投影積聚為直線，與mn的交點(diǎn)k就是線與平面的共有點(diǎn)。1）用線上取點(diǎn)法求出交點(diǎn)的正面投影k2）可直接從水平投影看出：KN段在平面前，即V面投影kn為可見。還可由V面重影點(diǎn)確定線段在V面的可見性。作圖步驟abcmncnbamk●k●2●1●●132.

兩平面相交兩平面相交其交線為直線；交線是兩平面的共有線；交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。幾何特性是：兩組直線與平面相交的問題兩平面相交的問題三面共點(diǎn)的思想可有效地用于求兩平面的交線。推斷需要解決：判別可見性，即平面間的遮擋關(guān)系，交線是可見性的分界線當(dāng)相交兩平面的投影具有積聚性時(shí)，求解較為簡(jiǎn)便。當(dāng)兩平面都是一般位置面時(shí)，需要用輔助平面法求解。交線的求解方法：

（1）確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)；

（2）確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。14交線總是可見；可見輪廓構(gòu)成封閉圖形。defabcfcaebdm(n)空間分析

兩平面都是正垂面，其交線為一條正垂線；兩平面在V面積聚，投影交點(diǎn)即為交線的正面投影。1）用面上取線的方法求交線2）可見性：可從正面投影看出，即交線左側(cè)的△DEF部分在上，則該部分水平投影可見；作圖步驟

m●●注意：例：求兩正垂面的交線，并判別可見性。其余部分可由推理得出可見性。n●15可見部分涂色便于區(qū)分遮擋關(guān)系defabcfcaebdm(n)n●m●●例：求兩正垂面的交線，并判別可見性。defabcfcaebdm(n)●m●n●16e′e

fa(b)b′f′a′d(c)gc′g′d′1(2)′′空間分析鉛垂面ABCD的水平投影具有積聚性，分別與fg和eg的交點(diǎn)是m和n，即兩個(gè)共有點(diǎn)的投影。1）用面上取線的方法求交線；2）可利用重影點(diǎn)判別可見性。

點(diǎn)Ⅰ在MG上，點(diǎn)Ⅱ在CD上，點(diǎn)Ⅰ在前，點(diǎn)Ⅱ在后，故mg可見。亦可通過直觀判斷。作圖步驟2●1●m′●m●n●●n′●例：求鉛垂面與一般位置平面的交線，并判別可見性。17例：求鉛垂面與一般位置平面的交線，并判別可見性。efa(b)b′f′a′d(c)gc′g′d′m●n●n′●m′●可見部分涂色便于區(qū)分遮擋關(guān)系e′e

fa(b)b′f′a′d(c)gc′g′d′1(2)′′2●1●m′●m●n●●n′●18dabcfefedabc空間分析正垂面△ABC的正面投影有積聚性，分別可求出交線上的點(diǎn)M和N，即兩個(gè)共有點(diǎn)。

n●n●m●k●m●k●例：求正垂面與一般位置平面的交線，并判別可見性。n位于Δabc的范圍外面，N是交線上的點(diǎn)，但不是兩平面圖形范圍內(nèi)的交線部分，一般只描深公共范圍內(nèi)的部分，真正的交線線段部分應(yīng)為MK。1）用面上取線的方法求交線；2）可利用重影點(diǎn)判別可見性。作圖步驟交線可見；可見輪廓構(gòu)成封閉圖形。19dabcfefedabc

n●n●m●k●m●k●例：求正垂面與一般位置平面的交線，并判別可見性。dabcfefedabcm●k●k●m●可見部分涂色便于區(qū)分可見性203.輔助平面法用于求解一般位置直線和平面的交點(diǎn)幾何分析①任何已知投影都沒有交點(diǎn)的投影：②可以利用特殊位置面與平面求交線的思想；③包含該直線AB作特殊位置面P，與面EFG求交線CD；④

求該直線AB與交線CD的交點(diǎn)K；K下面通過例子說明如何使用輔助平面法輔助平面

就是把求直線與平面的交點(diǎn)問題，變?yōu)樵谕黄矫鎯?nèi)求兩直線交點(diǎn)的問題，而使問題得到解答的方法。怎么求？21例：試求直線AB與△EFG平面的交點(diǎn)

1）包含AB

作鉛垂輔助面P

；

2）求P與△EFG

的交線CD；

PH作圖步驟3）求CD

與AB

的交點(diǎn)K；

4）利用重影點(diǎn)判別投影的可見性；

22

交點(diǎn)及交線方向均未知，可分別用輔助面法求出兩個(gè)公共點(diǎn)

例：求兩一般位置平面△ABC與△EFG的交線

幾何分析23三.垂直關(guān)系

⒈

直線與平面垂直幾何條件是：直線與平面內(nèi)直線的垂直問題直線與平面的垂直問題可轉(zhuǎn)化分為：直線與平面垂直，以及平面與平面垂直若直線與平面內(nèi)相交二直線垂直，則該直線與該平面垂直。需要解決：如有必要可求線面交點(diǎn)，(一般位置的線面交點(diǎn))判別線段的可見性當(dāng)相互垂直的直線或平面的投影具有積聚性時(shí)，求解較為簡(jiǎn)便。如果無積聚性時(shí)，求解的思路？作垂線，運(yùn)用直角投影定理，直角定理有何要求？反之：如果直線垂直于平面，則該直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線24

直線AB

和AC

分別是△ABC

面內(nèi)的水平線和正平線，作ad⊥ac及ad⊥ab，則AD

垂直于△ABC平面，這可由直角定理得以證明。垂線作圖：找出平面內(nèi)兩條投影面的平行線，然后利用直角投影定理，即可作出該平面的垂線。

25例：試求點(diǎn)K

到△ABC

的垂線

作圖步驟投影分析用直角投影定理作垂線；用輔助平面法求垂足。

1)取正平線AE和水平線BD；

2)引垂線KL⊥BD和AE；

3）過KL作輔助面P，求出垂足F；PH262.

兩平面垂直如果直線垂直于平面，則通過該直線的所有平面都垂直于該平面。幾何條件是：直線與平面垂直的問題兩平面垂直的問題推斷需要解決：當(dāng)垂直兩平面的投影具有積聚性時(shí)，求解較為簡(jiǎn)便。反之：如果兩平面互相垂直，則自一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)向另一平面所作的垂線，一定在該點(diǎn)所屬的平面內(nèi)。判別線段可見性作垂線，運(yùn)用直角投影定理如有必要可求面面交線，(一般位置的)27例：試過直線EF作一平面垂直于平面ABCD。

1.找出ABCD面內(nèi)的水平線AB和正平線AG;2.作eh⊥ag，eh

⊥ab，得平面ABCD的垂線EH。

投影分析用直角投影定理向面內(nèi)相交二直線作垂線；如果需要求垂足，用輔助平面法。

作圖步驟g28*例：試判斷△ABC、△DEL兩平面是否相互垂直。1.找出△ABC內(nèi)的水平線CN和正平線AM;2.過E作ef⊥am，ef

⊥cn

；3.判別F不在△DEL面內(nèi)。幾何分析如果兩平面互相垂直，則自一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)向另一平面所作的垂線，一定在該點(diǎn)所屬的平面內(nèi)。用直角投影定理向面內(nèi)相交二直線作垂線；判別垂線是否在面內(nèi)。作圖步驟29也就是：若一直線垂直于另一直線所在的平面，則兩直線一定互相垂直。3.

兩一般位置直線垂直若直線垂直于平面，則該直線垂直該平面內(nèi)的所有直線。幾何條件是：直線與平面垂直的問題一般位置直線垂直的問題需要解決：當(dāng)垂直的兩直線處于特殊位置時(shí)，求解較為簡(jiǎn)便。如有必要可求線面交點(diǎn)，(一般位置的)作垂直面，運(yùn)用直角投影定理推斷30*例：試過A點(diǎn)作一條直線，使其與直線BC垂直相交。1.過A作水平線AC和正平線AE，使其垂直于BC;2.用輔助平面法包含BC,求交點(diǎn)K；3.連接所求垂線AK相應(yīng)的投影。幾何分析已知直線是一般位置直線，與其垂直相交的直線是一般位置直線(垂直交叉的則不一定)。過空間A點(diǎn)且與直線BC垂直的直線的軌跡為一垂直于BC的平面。即用直角投影定理。作圖步驟31

a

b

cabcVHABCXdD

d

1)若使平面內(nèi)的一直線垂直于新投影面，則該平面與新投影面垂直；

V1X1c′1b′1

a′1(d′1)空間分析：作圖步驟：兩平面垂直的條件？？可以換H面嗎用換面法求解平面投影問題1.將一般位置平面變換成投影面垂直面一.平面的投影變換基本問題2)平面內(nèi)的投影面平行線只經(jīng)一次換面就可變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本€。什么線一次就可變換成投影面的垂直線？平面的換面直線的換面α

a

c

babcXVHHV1X1ddc′1●a′1(d′1)●b′1●.1）作水平線AD并換成⊥V1；2）將平面向V1投影。

α反映平面對(duì)哪個(gè)投影面的夾角？32空間分析：

a

babcVHV1X1VHX

a

b

cabcABC使新投影的軸線與投影面垂直面的積聚線平行，則該平面與新投影面平行；僅需一次換面。

V1X1作圖步驟：？可以換H面嗎2.將投影面垂直面變換成投影面平行面

cXHc′1●b′1●.1）作軸線X1//積聚投影acb;2）將平面向V1投影。c′1b′1a′1a′1●一般位置平面

投影面的平行面？33與一般位置平面平行的新投影面一定是處于一般位置，因此一次換面不行。a’1(b’1)●？需經(jīng)幾次變換1）將一般位置平面換成投影面的垂直面；2）將投影面的垂直面換成投影面的平行面。

X2V1H2例：把一般位置平面變換成投影面平行面。ab

a

c

bXVHc作圖步驟：空間分析：a2●c2●b2●c′1●.X1HV1.注意：AB是水平線

RealShape1）作X1⊥ab,得積聚投影a′1b′1c′1；

2）作X2∥積聚投影a′1b′1c′1；

3）得實(shí)形投影a2b2c2。

34AB、CD都平行于投影面時(shí)，其投影才反映夾角的真實(shí)大小（60°），而AB，CD相交為平面，于是此問題就變成將一般位置平面變換為投影面的平行面問題。例：過C點(diǎn)作直線CD與AB相交成60o角。

dX1HV1X2V1H2ab

a

c

bXVHc作圖步驟：c2●●●c’1●a’1(b’1)●a2●d2●d●b2●

幾個(gè)解？

有兩解思考：還有其它求解方法嗎？60°D的原投影如何得到？..空間分析：1）一次換面,作X1⊥ab；

2）二次換面,作X2∥積聚投影a′1b′1c′1；

3）由實(shí)形投影a2b2c2求d2;

4）逆二次變換,求出d和d′。

35H2V1X2HV1X1cdbadacb●d′1●c′1●a′1●d2●b′1c2●●a2(b2)

θVHX*例：求平面ABC和ABD的二面角。

空間分析：二面角是指兩相交平面的夾角，它是由垂直于該兩平面的第三平面與該兩面形成交線的夾角來度量，即當(dāng)兩平面投影同時(shí)積聚時(shí)，積聚線的夾角反映其二面角。..使二面交線積聚的投影就可反映二面角。θ..二面角一般位置直