第五章薄板的小撓度彎曲板是工程中常用的構(gòu)件，當外荷載作用方向平行于板面且沿板厚均勻分布且不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象時，可以處理為平面應力問題；當外荷載作用方向垂直于板面時，則屬于彈性力學的空間問題。由于數(shù)學上處理空間問題的復雜性，要求得滿足全部基本方程和邊界條件的精確解非常困難，這就需要引入簡化計算的近似假設(shè)。下面將通過引入這樣的近似假設(shè)，建立薄板彎曲問題的基本方程和基本關(guān)系式以及各種支承情況下的邊界條件，并討論幾種常用的薄板彎曲問題。第五章薄板的小撓度彎曲

§5-1基本概念與計算假定§5-2薄板內(nèi)力§5-3薄板彎曲的基本方程§5-4邊界條件§5-5四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解(Navier解)§5-6矩形薄板的三角級數(shù)解(Levy解)§5-7圓形薄板的彎曲

§5-1基本概念與計算假定

板、板面、板邊、板厚薄膜薄板：當板厚與板面內(nèi)最小特征尺寸之比在1/80～1/5之間時

厚板撓度小撓度問題：撓度與板厚之比小于或等于1/5大撓度問題

基爾霍夫假設(shè)（1）變形前垂直于薄板中面的直線段（法線）在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，且其長度不變，稱為直法線假設(shè)，它與材料力學中梁彎曲問題的平面假設(shè)相似。若將板中面作為xOy坐標面，z軸垂直向下，則根據(jù)此假設(shè)，有εz=0和γxz=γyz=0?；鶢柣舴蚣僭O(shè)（2）與σx，σy，τxy等相比，σz很小，在計算變形時可以略去不計。（3）薄板中面內(nèi)各點只有垂直位移w而無x方向和y方向的位移，即（u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y）根據(jù)這個假設(shè)，中面內(nèi)的應變分量εx，εy和γxy均等于零，即在中面內(nèi)無應變發(fā)生。中面內(nèi)的位移函數(shù)w（x,y）稱為撓度函數(shù)。在上述假設(shè)基礎(chǔ)上建立起來的彈性薄板的小撓度理論，屬于薄板彎曲的經(jīng)典理論，它在許多工程問題的分析計算中，已得到廣泛的應用?！?-2薄板內(nèi)力

根據(jù)§5-1中的三個基本假設(shè)，利用彈性力學的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，可以將薄板內(nèi)任一點的位移分量、應變分量、應力分量和板橫截面上的內(nèi)力，都用撓度w來表示。下面就來建立這些基本關(guān)系式。一、薄板中的位移分量和應變分量的表示式二、薄板中的應力分量表示式

三、薄板橫截面上的內(nèi)力表示式

（5-1）式（5-1）表示，薄板內(nèi)坐標為（x,y,z）的任一點，分別在x和y方向的位移沿板厚方向呈線性分布，中面處位移為零，在上、下表面處位移最大。利用式（a）的第一、第二和第四式，得應變分量的表示式

由此可見，應變分量εx,εy,γxy也是沿板厚呈線性分布，在中面為零，在上、下板面處達極值。

（5-2）

二、薄板中的應力分量表示式

根據(jù)上述的第一個和第二個假設(shè)，物理方程簡化為這是薄板小撓度彎曲時，主要應力σx，σy和τxy與撓度w的關(guān)系式。可見它們沿板的厚度也是呈線性分布，其在中面上為零，在上、下板面處達到極值。

（5-3）

次要應力分量按假設(shè)，σz，τxz和τyz應為零，實際上，它們只是遠小于σx，σy和τxy的次要的應力分量，對于它們所引起的變形可略去不計，但對于維持平衡，它們不能不計。為了求得它們，現(xiàn)考慮不計體力的平衡微分方程：

（5-4）

（5-5）

式（5-4）就是切應力τxz和τyz與撓度w的關(guān)系式，它們表明，剪應力τxz和τyz沿板厚方向呈拋物線分布，在中面處達最大值，這也與梁彎曲時剪應力沿梁高方向的變化規(guī)律相同。σz沿板厚呈三次拋物線規(guī)律分布（圖5-2）。

將式（5-3）代入方程（c），經(jīng)積分后，利用邊界條件（d）的前三式，不難得到以下結(jié)果:三、薄板橫截面上的內(nèi)力表示式下面要建立這些合成內(nèi)力與撓度之間的關(guān)系。陰影微分面單位寬度上的正應力和切應力的主矢量分別為σxdz，σydz和τxy=τyxdz。由于σx，σy，τxy=τyx沿板厚按線性規(guī)律分布，以及分布的反對特性，所以，它們在板的全厚度上的主矢量為零。構(gòu)成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表示它們在單位寬度內(nèi)的力偶矩橫向剪力切應力分量只可能合成橫向剪力，在每單位寬度上分別為

應力分量又可通過相應的內(nèi)力表示

與材料力學中梁的彎曲應力和橫向切應力公式相似。

§5-2薄板彎曲的基本方程

通過板內(nèi)任一單元體的平衡，可進而建立撓度w所滿足和微分方程。薄板彎曲的小撓度問題，是以撓度w作為基本未知函數(shù)求解的，屬位移解法。

變扭矩為靜力等效的橫向剪力對此，基爾霍夫作了如下巧妙的處理：他將邊界上的扭矩變換為靜力等效的橫向剪力，再將它與原來的橫向剪力合并成總的分布剪力。這樣，就將每邊上的三個邊界條件歸并成兩個邊界條件。FRB=（Myx）B+（Mxy）B＝2（Mxy）B （5-16）集中力的指向，應由扭矩（Mxy）B的符號來判斷。圖示為當四個角點上的扭矩都為正時的指向。小撓度薄板的彎曲問題，已經(jīng)歸結(jié)為求解撓度w，w應滿足撓曲線微分方程和板邊的邊界條件?！?－5四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解求w條件對于四邊簡支的矩形板，邊界條件為(b)四邊簡支納維解答是用多種正弦波形的疊加來表示撓度w的。對于各種形式的荷載q，均可方便地求出解答。它的主要是，只能適用于四邊簡支的薄板。當q為集中荷載F，作用于一點時，可用代替q，并且只在處的微分面積上存在，其余區(qū)域q=0，于是中當q為均布荷載時，代入式(f)，便可求出，并得出w解答。設(shè)矩形板的兩對邊為簡支邊，其余兩邊為任意邊界?！?－6矩形薄板的單三角級數(shù)解

兩對邊簡支其中是待定的函數(shù)，m為正整數(shù)。式(a)已滿足了的簡支邊條件,萊維采用單三角級數(shù)表示撓度，將式(a)代入撓曲線微分方程，得兩對邊簡支將也展開為單三角級數(shù)，兩對邊簡支代入式(b)，比較系數(shù)，得出求的常微分方程，其中為式(d)的特解；其余四項為齊次方程的通解。將代入式(a)，得w解，其中的系數(shù)由其余兩邊界條件來確定。式(d)的解為書中列舉了受均布荷載時,四邊簡支板的解答。矩形薄板應用重三角級數(shù)和單三角級數(shù)求解，是非常重要的解法。下面我們進一步說明幾點。從求解薄板彎曲問題來看，兩者比較如下：

適用性四邊簡支兩對邊簡支，另兩邊可任意求解較困難，須求解系數(shù)

收斂性慢快應用局限于四邊簡支可推廣應用到其他各種邊界納維解法萊維解法簡便2.應用疊加方法，可將萊維提出的單三角級數(shù)解，用于解決各種矩形薄板的邊

界條件問題。3.納維解法和萊維解法，不僅在薄板的靜力（彎曲）問題中得到了廣泛的應用，而且可以推廣應用于薄板的動力、穩(wěn)定問題,以及能量法中。1.試考慮四邊固定的矩形板，受任意荷載，如何應用萊維法求解？2.試考慮一邊固定三邊自由的矩形板，受任意荷載，如何應用萊維法求解？思考題（3）兩對邊簡支，另兩對邊固定；（4）兩鄰邊簡支，另兩鄰邊固定；（5）一邊簡支，三邊固定；（6）四邊固定?！?－8圓形薄板的彎曲

圓板彎曲問題的方程和公式，都可以從直角坐標系的方程和公式導出。1.

撓曲微分方程仍為其中圓板方程將對x，y的導數(shù)變換為對的導數(shù)，并代入，得2.

內(nèi)力公式--類似地可利用公式，例如，內(nèi)力公式同樣，得出類似地，橫截面上的總剪力為

3.

邊界條件可以表示為⑵設(shè)為簡支邊，則⑴設(shè)為固定邊，則邊界條件前一條件使w對的導數(shù)在邊界上均為0，故簡支邊條件為⑶設(shè)為自由邊，則若圓板的荷載q和邊界條件均為軸對稱，則薄板的撓度和內(nèi)力必然也為軸對稱。所以有§9－9圓形薄板的軸對稱彎曲撓曲微分方程為軸對稱彎矩對于無孔板，則除2個外邊界條件外，還應考慮撓度和內(nèi)力在的有限值條件，所以得。式(a)的全解為對于有孔板，由內(nèi)外邊界共4個邊界條件來確定。通解的系數(shù)由邊界條件來確定：其中特解為邊界條件上述的軸對稱解答(b)，是軸對稱彎曲的一般解，可以應用于一切軸對稱彎曲問題。讀者可參考教科書的解答和有關(guān)力學手冊。受均布荷載作用，如圖，試求其撓度和內(nèi)力。固定邊橢圓板的邊界方程為

Oabyx例題1由，顯然。因此，從方向解：固定邊的邊界條件是(a)(b)導數(shù)的公式可推出，為了滿足邊界條件(a)，可以令便可滿足式(a)的邊界條件。對于均布荷載，將式(c)代入方程得出，并從而得因此，只需取(c)內(nèi)力為讀者可以檢驗，最大和最小彎矩分別為當時，便由上述解得出圓板的解答;若令則橢圓板成為跨度為的平面應變問題的固端梁。四邊簡支矩形板，如圖，受有分布荷載的作用，試用重三角級數(shù)求解其撓度。例題2解：將代入積分式，由三角函數(shù)的正交性，及得代入，得撓度的表達式為四邊簡支矩形板，如圖，在的直線上，受有線分布荷載F的作用，F(xiàn)為單位長度上的作用力。試用重三角級數(shù)求解其撓度。yxabOFa例題3解：板中的荷載只作用在的線上，對荷載的積分項只有在此線上才存在，其余區(qū)域上的積分全為0.在的線上，荷載強度可表示為代入系數(shù)的公式，(n=1,3,5…)得出撓度為四邊簡支矩形板，受靜水壓力作用，，如圖，試用單三角級數(shù)求解其撓度。xyaO例題4解：應用萊維法的單三角級數(shù)求解，將代入書中§9－6式(d)右邊的自由項，即代入式(d)，方程的特解可取為從而得到和撓度的表達式。在本題中，由于結(jié)構(gòu)及荷載對稱于軸，應為的偶函數(shù)，由此，。于是的表達式為在的邊界，有簡支邊條件將撓度代入邊界條件，記，得解出從而得撓度解答發(fā)生