，（是常，af()（、n，（是常，af()（、n本章復(fù)習(xí)小結(jié)（2）一、遞推系通項(xiàng)公式求法：模式一：形如

n

f(n)n

遞推式。由累加法可得通項(xiàng)公式為：fnf(n

。例1．（2007

北京高考題）數(shù)列n

a1

cncn數(shù)，

n

），且

，a，13

成公比不為1的等比列．（I求c的值；（）求n

項(xiàng)公式模式二形如

n

fn)n

遞推式。由

n

f(n)n

得

nn

f(n)

使用累乘法可得

n

1

f(

(1)

。例

2．知數(shù)列{}滿足，n

1

，

nnn

，求通項(xiàng)公式。n模式三：如

n

n

（其中、

為常數(shù)）遞推式，通解法是設(shè)

n

(n

，求出，因

{

nn

}

是等比數(shù)列則可求出項(xiàng)公式。例

全國高考卷Ⅰ知列n

1n

an

，

．I求n

項(xiàng)公式；（II）略。模式四如

n

n

（其中為常數(shù)遞式，

n

n

為常數(shù)）是其特殊情。后者的等式兩邊同除以n，得

n

an

，令

n

n

，則可化歸為

n

n

（、為常數(shù)）型。不得用于商業(yè)用途

f(n)g(n)f(n)g(n)n，且{}a{a例

4．（

天津高考題）在數(shù)列n

中，aa1

n

n

n

)

，其中0．（求數(shù)列n模式五形如nn

項(xiàng)公式；（II）略；（其中為常數(shù)遞式設(shè)數(shù)列

{()}

，使

f()

(n)則h()(n(

()n

，即

nng()n

，令)nn

，則

n

g(nn

，即已化為模式一。例．已知數(shù)列n

n

nan1

，求數(shù)列n

公式。模式六：形如

a

n

a且n

遞推式，它的推廣形為

a

n

a

n

f(n

。通過對(duì)等式兩邊取數(shù)，得

lga

n

algn

，再令

an

n

，即轉(zhuǎn)化為類型一例

6．知數(shù)列滿n

n

n

2

，求

n

。模式七：如可變形為n

n

n

n

（其中、是不為的常數(shù)）遞推式，

n

n

)n

，則

n

}n

是公比為

的等比數(shù)列，這就轉(zhuǎn)為了模式三。例7．（2006福文科高已知數(shù)列n

滿足a1

n

n

n

,

n

。I略；（II求數(shù)列n

項(xiàng)公式；模八：形如

nn

n

n

及變形形式

n

nn

和

n

n

n不得用于商業(yè)用途

{}annna，{}annna，

（其中、是不為的常數(shù)）遞推式。對(duì)

n

n

n

兩邊同除以an

n

，再令

n

n

，

n

n

，即化為等差數(shù)列形。例

重慶高考題滿足n1

nn

n

n記

(

（略；（Ⅱ）求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式及數(shù)列

{}nn

的前n

項(xiàng)和

模式九形如

f(n)n

n

()an

n

(n

（其中

f(n

）遞推式，它是模式八的推廣。通兩除

aa

n

，得

f(n)g(n()nn

，有

n

g)h(n)，再令1f()f()an

，得

n

n

()()f()f()

，這就化為了模式五例9．（2006江西高題）已知數(shù)列｛

｝滿足

，且n

a

nn

(N

)

，（I求數(shù)列a｝的通項(xiàng)式；（）略。解：（I）將條件變?yōu)椋?/p>

1

nn)a3n

，因此

n{1}an

為一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為

1－

＝公比從而3

n1an

據(jù)此可得

n

(n

.模式十形如

a

n

n

2

n

（其中、不為零常數(shù)遞推式，將原式轉(zhuǎn)化為

a

n

(an

2

，然后再通過迭代進(jìn)求解。例10．（

江西高考題）已知數(shù)

{}的各項(xiàng)都是正數(shù)且滿:n0

，

).N.

（1）；（2）求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式

a.模式十一形如

n

nn

（、、、為常）遞推式，解常不得用于商業(yè)用途

xxn1xx，記{}{}時(shí)，僅供個(gè)人參考xxn1xx，記{}{}時(shí)，解法為：先設(shè)函數(shù)

f()

，視

n

、

n

為得到特征方程

x

，再以此方程的解的情況求解。若此方程無解，則此數(shù)列為循環(huán)數(shù)；若特征方程

x

有兩個(gè)不等的實(shí)根

1

、，則2

n

nn

可變形為n1an

（其中

k

12

）；若特征方程

x

有兩個(gè)相等的實(shí)根，則0

n

nn

可變形為

n

1xax00

（其中為常數(shù)）。例11．已知數(shù)列｛｝滿足

1

a

n

anan

，求

a.模式十二形如

（其中、

為非零常數(shù)）遞推式例（四川考題）已知函數(shù)

f(

2

，設(shè)曲線

f(x)

在點(diǎn)

(xf())n

處的切線與軸的交為

(x

n

,0)(nN)

中

1

為正實(shí)數(shù)（Ⅱ）略；（Ⅲ）若

x1n

xnxn

，證明數(shù)列成等數(shù)列，并n求數(shù)列的通項(xiàng)公。n二、例析列求和的常方法數(shù)列求和是數(shù)列教學(xué)容的中心問題之一，也是近年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)問題。掌握些求和的方法和技巧可以提高解決此問題能力。本文例析了一些和的方法，僅供參考。（一）倒序相加法：一個(gè)數(shù)列倒過來排序（倒序），當(dāng)它與數(shù)列相加時(shí)，若有因可提，并且剩余的項(xiàng)的和易于求得，則這的數(shù)列可用倒序相加法和。如等差數(shù)列的求和公式

S

()n

的推導(dǎo)。例．已知

f(x)

滿足

x,xR

，當(dāng)

x()()12

12

，若不得用于商業(yè)用途

，求n{}{}{}的前項(xiàng)和n{}a，求n{}{}{}的前項(xiàng)和n{}a)n2(n2)n{}{}{}Sn{}12Sff()()f()fnNSnn

n（二位相減法是推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的法，這種方法主要用于求列列和等比數(shù)列。

的前項(xiàng)和其中分別是等差數(shù)nnn例

2．?dāng)?shù)列

{}S

n

。（三）分組求和法所謂分組求和法，即將一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)拆成項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列和。例

3．知數(shù)列滿

，求其前項(xiàng)和。n（四）公式法（恒等法）：利用已知的求和公式來求和，如差數(shù)列與等比數(shù)列求公式，再如

1

(n

、

(n

等公式。例．求數(shù)列和。（五）拆項(xiàng)（裂項(xiàng)）消法：若列能裂項(xiàng)成

f(f()n

，即所裂兩項(xiàng)具有傳遞（即關(guān)于的鄰項(xiàng)，使展開后中間項(xiàng)能全部消去）。例

5．知數(shù)列滿nn

(

，求數(shù)列的前項(xiàng)和n

n（六）通項(xiàng)化歸法：把數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出來，再利用數(shù)的特點(diǎn)求和。例．求數(shù)列

1,

,11

的前項(xiàng)和

n（七）并項(xiàng)法求和：數(shù)列求和中，若出現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)（或有一規(guī)律的兩項(xiàng)）和為常時(shí)，可用并項(xiàng)法，但要注意的奇偶性。例

7．知數(shù)列

n

n

n

，求數(shù)列的前項(xiàng)

100不得用于商業(yè)用途

n{}n{}T{}n{}n{}T{}{}，求其前項(xiàng)（八）奇偶分析項(xiàng)：數(shù)列中的項(xiàng)有符號(hào)限制時(shí)，應(yīng)分為奇數(shù)偶數(shù)進(jìn)行討論。例

8．

an

n

(43)

，求數(shù)列的前n（九）利用周期性求若列，有

n

a

n

（其中

N

0

,

0

為給定的自然數(shù)，）則稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中n

T

為其周期。例

9已知數(shù)列{}中n

a2,a1

n

1an

，求其前項(xiàng)的和

.（十）導(dǎo)數(shù)法：用數(shù)的求導(dǎo)來計(jì)算數(shù)列的和。例

10．求數(shù)列{}項(xiàng)和S

，其中

nsinnxn

.（十一）待定系數(shù)法若數(shù)列和是一個(gè)多項(xiàng)式，可以考慮用定系數(shù)法。例

11求，，5，，

(2n1)(2

的和

n（十二）組合數(shù)法例12．求數(shù)列1，，2，（十三）極限法求和

1

的和例

13已知在數(shù)列{}中n

n

，求數(shù)列的所有和n

。（十四）歸納、猜想證明法.例

14．已知數(shù)列

88,,1222(22(2

2

,n

n不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考僅供個(gè)用學(xué)習(xí)、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pour