題目具體內(nèi)容要求

A冪和冪求陣征隨機(jī)產(chǎn)生一對稱矩陣，對不同的原點(diǎn)位移和初值至少取3)分別使用冪法求計(jì)算矩陣的主特征值及主特征向量，用反冪法求計(jì)算矩陣的按模最小特征值及特征向量，并比較不同的原點(diǎn)位移和初值說明收斂。1.認(rèn)真讀題，了解問題的數(shù)學(xué)原形；2.選擇合適問題求解的數(shù)值計(jì)算方法；3.設(shè)計(jì)程序并進(jìn)行計(jì)算；4.對結(jié)果進(jìn)行解釋說明；對于冪法和反冪法求解矩陣特征值和特征向量的問題將從問題分析，算法設(shè)計(jì)和流程圖，理論依據(jù)，程序及結(jié)果進(jìn)行闡述該問題。題求n階方陣A的特征值和特征向量，是實(shí)際計(jì)算中常常碰到的問題，如：采

機(jī)械構(gòu)或電磁振動中的固有值問題等于階矩陣A存在

和用方法及結(jié)

n維向量x滿足（1）則陣的特征值，x為相應(yīng)的特征向量。由高等代數(shù)知識可知，特征值是代數(shù)方程|+an+…+a=0（2）n的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡單，只需果

求解方程（2）的根，就能得到特征

，再解齊次方程組說

I-A）x=0（3）明

的解，就可得到相應(yīng)的特征向量。上述方法對于小時(shí)是可以的。但當(dāng)大時(shí)，計(jì)算工作量將以驚人的速度增大且由于計(jì)算帶有誤差必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程2與（）的困難了。冪法是一種計(jì)算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）及對應(yīng)特征向量的迭代方法，特別是用于大型稀疏矩陣。反冪法是計(jì)算海森伯格陣或三角陣的對應(yīng)一個(gè)給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。A

A法程1、冪法算法（1）取初始向量u(0)例如取u(0)=(1,1,）,置精度要k=1.（2）計(jì)算v

(k)

=Au

(

,m=max(v

(k)

),u

(k)

=v

(k)

/m

（3）若|m=m

，則停止計(jì)算（m作為絕對值最大特征值，u1

(k)

作為相應(yīng)的特征向量）否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（2）2、反冪法算法（1）取初始向量u

(0)

（例如取u

(0)

=(1,1,…1)

）,置精度要k=1.（2）對A作LU分解，即A=LU（3）解線性方程組()(()()（4）計(jì)算m=max(v

(k)

),u

(k)

=v

(k)

/m

（5）|m=m

，則停止計(jì)算1/m作為絕對值最小特征

n

()

作為相應(yīng)的特征向量）;否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（3A

A冪法流程圖：開始輸入A；[m,u,index]=pow(A,1e-6)k=0;m1=0v=A*u[vmax,i]=max(abs(v))m=v(i);u=v/m

m1=m;k=k+1abs(m-m1)<1e-6index=1;break;輸出：m，u，index結(jié)束A

A反冪法流程圖開始輸入A,u,index]=pow_inv(A,1e-6)k=0;m1=0v=invA*u[vmax,i]=max(abs(v))m=v(i);u=v/m

m1=m;k=k+1abs(m-m1)<1e-6index=1;break;輸出：m，u，index輸入A；結(jié)束A

A法據(jù)冪法是用來確定矩陣的主特征值的一種迭代方法，也即，絕對值最大的特征值。稍微修改該方法，也可以用來確定其他特征值。冪法的一個(gè)很有用的特性是它不僅可以生成特征值，而且可以生成相應(yīng)的特征向量。實(shí)際上，冪法經(jīng)常用來求通過其他方法確定的特征值的特征向量。1、冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)n階矩陣A的特征是絕對值大小編號的，1x(i=1,2,…,n)為對的特征向量，單根，即ii1||≥…1則計(jì)算最大特征值與特征向量的迭代格式為v

(k)

=Au

(

,m=max(vk

(k)

),u

(k)

=v

(k)

/m

（1）其中max(v

(k)

)表示向量v

(k)

絕對值的最大分量。2、對于冪法的定理按式（1）計(jì)算出m和u()滿足klim=1

lim

()

=

1maxx1反冪法是用來計(jì)算絕對值最小的特征值忽然相應(yīng)的特征向量的方法。是對冪法的修改，可以給出更快的收斂性。1、反冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)A是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設(shè)特征值為||≥…1

n則按A

的特征值絕對值的大小排序，有|

1

|>|

1

|≥…≥|

1

|

對A

實(shí)行冪法，就可得A

的絕對值最大的特征值1/

相應(yīng)的特征向量，n即A的絕對值最小的特征值和相應(yīng)的特征向量。A

kAk由于用A代替作冪法計(jì)算，因此該方法稱為反冪法，反冪法的迭代格式為v

(k)

=A

u

(

,m=max(vk

(k)

),u

(k)

=v

(k)

/m

（2）2、對于反冪法的定理按式（2）計(jì)算出的m和u()滿足：limm=,limu)=kmax()n在式（2）中，需要用到A這給計(jì)算帶來很大的不方便，因此，把（）式的第一式改為求解線性方程組Av

(k)

=u

(

（3）但由于在反冪法中，每一步迭代都需求解線性方程組式，迭代做了大量的重復(fù)計(jì)算，為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣作LU分解，即A=LU所以線性方程組（3）改為

(k)

(k

(k)

k)A

A法代冪法程序，在matlab中建立一個(gè)M文件并保存。在matlab輸入面板，輸入

產(chǎn)生一4維隨機(jī)矩陣設(shè)立初始向量可省2個(gè)參數(shù)程序結(jié)束。在M文件中可以通過改變m0的值改變原點(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速。反冪法程序設(shè)計(jì)代碼：在matlab中建立一個(gè)M文件并保存。%pow_inv.mA

A在matlab輸入面板，輸入

產(chǎn)生一4維隨機(jī)矩陣設(shè)立初始向量可省2個(gè)參數(shù)程序結(jié)束。在M文件中可以通過改變m0的值改變原點(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速。A

AA

AA

AA

AA

AU[111]

m0

0.69340.56230.69340.56230.69350.56230.69340.5623

k[134]0.001[367]0.001

0.69340.56220.69340.56230.69370.56240.69340.56230.69370.5624

A

A反冪法結(jié)果顯示：在m0為0時(shí)A

AM0=0.001U=[111]A

AM0=0.1u=[111]A

AM0=0357]A

AM0=0.1u=[137]A

AM0=0.5u=[137]A

AM0=0u=[235]A

AM0=0.1u=[235]A

AM0=0.7u=[235]A

A綜上，反冪法結(jié)果如下：m[111]0.38470.38470.3847[157]0.38470.10.38470.3847[245]0.70.70910.10.38470.3847

[-0.89961.00000.2726-0.2364][-0.89961.00000.2726-0.2364][-0.89961.00000.2726-0.2364][-0.89951.00000.2726-0.2364][-0.89961.00000.2726-0.2364][-0.89961.00000.2726-0.2364][-0.6962[-0.89951.00000.2726-0.2364][-0.89961.00000.2726