/實(shí)驗(yàn)一一元函數(shù)微分學(xué)實(shí)驗(yàn)1一元函數(shù)的圖形（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^圖形加深對(duì)函數(shù)及其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解,掌握運(yùn)用函數(shù)的圖形來觀察和分析函數(shù)的有關(guān)特性與變化趨勢(shì)的方法,建立數(shù)形結(jié)合的思想;掌握用Mathematica作平面曲線圖性的方法與技巧.基本命令1.在平面直角坐標(biāo)系中作一元函數(shù)圖形的命令Plot:Plot[f[x],{x,min,max},選項(xiàng)]Plot有很多選項(xiàng)(Options),可滿足作圖時(shí)的種種需要,例如,輸入Plot[x^2,{x,-1,1},AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotPoints->30]則輸出在區(qū)間上的圖形.其中選項(xiàng)AspectRatio->1使圖形的高與寬之比為1.如果不輸入這個(gè)選項(xiàng),則命令默認(rèn)圖形的高寬比為黃金分割值.而選項(xiàng)PlotStyle->RGBColor[1,0,0]使曲線采用某種顏色.方括號(hào)內(nèi)的三個(gè)數(shù)分別取0與1之間.選項(xiàng)PlotPoints->30令計(jì)算機(jī)描點(diǎn)作圖時(shí)在每個(gè)單位長(zhǎng)度內(nèi)取30個(gè)點(diǎn),增加這個(gè)選項(xiàng)會(huì)使圖形更加精細(xì).Plot命令也可以在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出幾個(gè)函數(shù)的圖形,只要用集合的形式{f1[x],f2[x],…}代替f[x].2.利用曲線參數(shù)方程作出曲線的命令ParametricPlot:ParametricPlot[{g[t],h[t]},{t,min,max},選項(xiàng)]其中是曲線的參數(shù)方程.例如,輸入ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->1]則輸出單位圓的圖形.3.利用極坐標(biāo)方程作圖的命令PolarPlot如果想利用曲線的極坐標(biāo)方程作圖,則要先打開作圖軟件包.輸入<<Graphics`Graphics`執(zhí)行以后,可使用PolarPlot命令作圖.其基本格式為PolarPlot[r[t],{t,min,max},選項(xiàng)]例如曲線的極坐標(biāo)方程為要作出它的圖形.輸入PolarPlot[3Cos[3t],{t,0,2Pi}]便得到了一條三葉玫瑰線.4.隱函數(shù)作圖命令I(lǐng)mplicitPlot這里同樣要先打開作圖軟件包,輸入<<Graphics\ImplicitPlot.m命令I(lǐng)mplicitPlot的基本格式為ImplicitPlot[隱函數(shù)方程,自變量的范圍,作圖選項(xiàng)]例如方程確定了y是x的隱函數(shù).為了作出它的圖形,輸入ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2==x^2-y^2,{x,-1,1}]輸出圖形是一條雙紐線.5.定義分段函數(shù)的命令Which命令Which的基本格式為Which[測(cè)試條件1,取值1,測(cè)試條件2,取值2,…]例如輸入w[x_]=Which[x<0,-x,x>=0,x^2]雖然輸出的形式與輸入沒有改變,但已經(jīng)定義好了分段函數(shù):現(xiàn)在可以對(duì)分段函數(shù)求函數(shù)值,也可作出函數(shù)的圖形.實(shí)驗(yàn)舉例初等函數(shù)的圖形例1.1給定函數(shù)(a)畫出在區(qū)間上的圖形;(b)畫出區(qū)間上與的圖形.輸入命令f[x_]=(5+x^2+x^3+x^4)/(5+5x+5x^2);g1=Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];則輸出在區(qū)間上的圖形.輸入命令g2=Plot[Sin[x]f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]];Show[g1,g2];則輸出區(qū)間上與的圖形.注:Show[…]命令把稱為g1與g2二個(gè)圖形疊加在一起顯示.二維參數(shù)方程作圖例1.2畫出以下參數(shù)方程的圖形.(1)(2)分別輸入以下命令:ParametricPlot[{5Cos[-11/5t]+7Cos[t],5Sin[-11/5t]+7Sin[t]},{t,0,10Pi},AspectRatio->Automatic];ParametricPlot[(1+Sin[t]-2Cos[4*t])*{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi},AspectRatio->Automatic,Axes->None];則分別輸出所求圖形.用極坐標(biāo)命令作圖例1.3作出極坐標(biāo)方程為的對(duì)數(shù)螺線的圖形.輸入命令<<Graphics`Graphics`執(zhí)行以后再輸入PolarPlot[Exp[t/10],{t,0,6Pi}]則輸出為對(duì)數(shù)螺線的圖形.隱函數(shù)作圖例1.4作出由方程所確定的隱函數(shù)的圖形(笛卡兒葉形線).輸入命令<<Graphics\ImplicitPlot.m執(zhí)行以后再輸入ImplicitPlot[x^3+y^3==3x*y,{x,-3,3}]輸出為笛卡兒葉形線的圖形.分段函數(shù)的作圖例1.5作出分段函數(shù)的圖形.輸入命令h[x_]:=Which[x<=0,Cos[x],x>0,Exp[x]]Plot[h[x],{x,-4,4}]則輸出所求圖形.注:一般分段函數(shù)也可在組合符號(hào)“/;”的后面來給出前面表達(dá)式的適用條件.例1.6作出分段函數(shù)的圖形.輸入命令f[x_]:=x^2Sin[1/x]/;x!=0;f[x_]:=0/;x=0;Plot[f[x],{x,-1,1}];則輸出所求圖形.作函數(shù)圖形的動(dòng)畫例1.7作出函數(shù)的圖形動(dòng)畫,觀察參數(shù)c對(duì)函數(shù)圖形的影響.輸入命令Do[Plot[x^2+Sin[cx],{x,-3,3},PlotRange->{-1,5}],{c,1,5,1/3}];則輸出所求動(dòng)畫圖形.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.把正切函數(shù)和反正切函數(shù)的圖形及其水平漸近線和直線用不同的線型畫在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi).2.作出雙曲正切函數(shù)的圖形.3.輸入以下命令Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[3x]},{x,0,2Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]理解選項(xiàng)的含義.4.為觀察復(fù)合函數(shù)的情況,分別輸入以下命令:Plot[Sqrt[1+x^2],{x,-6,6},PlotStyle->{Dashing[{0.02,0.01}]}]Plot[Sin[Cos[Sin[x]]],{x,-Pi,Pi}]Plot[Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]]/x^2,{x,-5,5}]Plot[{E^x,ArcTan[x],E^ArcTan[x]},{x,-5,5}]5.觀察函數(shù)的疊加,輸入以下命令:a1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]a2=Plot[2Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,1,0]}]a3=Plot[x+2Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]Show[a1,a2,a3]6.分別用ParametricPlot和PolarPlot兩種命令,作出五葉玫瑰線的圖形.7.用ImplicitPlot命令作出橢圓的圖形.8.選擇以下命令的一部分輸入,欣賞和研究極坐標(biāo)作圖命令輸出的圖形.PolarPlot[Cos[t/2],{t,0,4Pi}]PolarPlot[1-2Sin[5t],{t,0,2Pi}]PolarPlot[Cos[t/4],{t,0,8Pi}]PolarPlot[t*Cos[t],{t,0,8,Pi}]PolarPlot[t^(-3/2),{t,0,8Pi}]PolarPlot[2Cos[3t],{t,0,Pi}]PolarPlot[1-2Sin[t],{t,0,2PI}]PolarPlot[4-3Cos[t],{t,0,2Pi}]PolarPlot[Sin[3t]+Sin[2t]^2,{t,0,2Pi}]PolarPlot[3Sin[2t],{t,0,2Pi}]PolarPlot[4Sin[4t],{t,0,2Pi}]PolarPlot[Cos[2t]+Cos[4t]^2,{t,0,2Pi}]PolarPlot[Cos[2t]+Cos[3t]^2,{t,0,2Pi}]PolarPlot[Cos[4t]+Cos[4t]^2,{t,0,2Pi},PlotRange->All]實(shí)驗(yàn)2極限與連續(xù)（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^計(jì)算與作圖,從直觀上揭示極限的本質(zhì),加深對(duì)極限概念的理解.掌握用Mathematica畫散點(diǎn)圖,以及計(jì)算極限的方法.深入理解函數(shù)連續(xù)的概念,熟悉幾種間斷點(diǎn)的圖形特征,理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì).基本命令1.畫散點(diǎn)圖的命令ListPlot:ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},選項(xiàng)]或者ListPlot[{y1,y2,…yn},選項(xiàng)]前一形式的命令,在坐標(biāo)平面上繪制點(diǎn)列的散點(diǎn)圖;后一形式的命令,默認(rèn)自變量依次取正整數(shù)作出點(diǎn)列為的散點(diǎn)圖.命令ListPlot的選項(xiàng)主要有兩個(gè):(1)PlotJoined->True,要求用折線將散點(diǎn)連接起來;(2)PlotStyle->PointSize[0.02],表示散點(diǎn)的大小.2.產(chǎn)生集合或者數(shù)表的命令Table:命令Table產(chǎn)生一個(gè)數(shù)表或者一個(gè)集合.例如,輸入Table[j^2,{j,1,6}]則產(chǎn)生前6個(gè)正整數(shù)的平方組成的數(shù)表{1,4,9,16,25,36}.3.連加求和的命令Sum:命令Sum大致相當(dāng)于求和的數(shù)學(xué)符號(hào)∑.例如,輸入Sum[1/i,{i,100}]//N執(zhí)行后得到的近似值.與Sum類似的還有連乘求積的命令Product.4.求函數(shù)多次自復(fù)合的命令Nest:例如,輸入Nest[Sin,x,3]則輸出將正弦函數(shù)自己復(fù)合3次的函數(shù)Sin[Sin[Sin[x]]]5.求極限的命令Limit:其基本格式為L(zhǎng)imit[f[x],x->a]其中f(x)是數(shù)列或者函數(shù)的表達(dá)式,x->a是自變量的變化趨勢(shì).如果自變量趨向于無窮,用x->Infinity.對(duì)于單側(cè)極限,通過命令Limit的選項(xiàng)Direction表示自變量的變化方向.求右極限,時(shí),用Limit[f[x],x->a,Direction->-1];求左極限,時(shí),用Limit[f[x],x->a,Direction->+1];求時(shí)的極限,用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1];求時(shí)的極限,用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1]。注:右極限用減號(hào),表示自變量減少并趨于a,同理,左極限用加號(hào),表示自變量增加并趨于a.實(shí)驗(yàn)舉例作散點(diǎn)圖例2.1分別畫出坐標(biāo)為的散點(diǎn)圖,并畫出折線圖.分別輸入命令t1=Table[i^2,{i,10}];g1=ListPlot[t1,PlotStyle->PointSize[0.02]];g2=ListPlot[t1,PlotJoined->True];Show[g1,g2];t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}];g1=ListPlot[t2,PlotStyle->PointSize[0.02]];g2=ListPlot[t2,PlotJoined->True];Show[g1,g2];則分別輸出所求圖形.數(shù)列極限的概念例2.2通過動(dòng)畫觀察當(dāng)時(shí)數(shù)列的變化趨勢(shì).輸入Clear[tt];tt={1,1/2^2,1/3^2};Do[tt=Append[tt,N[1/i^2]];ListPlot[tt,PlotRange->{0,1},PlotStyle->PointSize[0.02]],{i,4,20}]則輸出所求圖形動(dòng)畫.從圖中可以看出所畫出的點(diǎn)逐漸接近于x軸.例2.3研究極限輸入Print[n,"",Ai,"",0.4-Ai];For[i=1,i<=15,i++,Aii=N[(2i^3+1)/(5i^3+1),10];Bii=0.4-Aii;Print[i,"",Aii,"",Bii]]則輸出n Ai 0.4-Ai1 0.5 –0.12 0.414634 –0.01463413 0.404412 –0.004411764 0.401869 –0.001869165 0.400958 –0.0009584666 0.400555 –0.0005550427 0.40035 –0.000349658 0.400234 –0.0002342839 0.400165 –0.00016456410 0.40012 –0.00011997611 0.40009 –0.000090144212 0.400069 –0.000069436413 0.400055 –0.00005461514 0.400044 –0.000043728615 0.400036 –0.0000355534觀察所得數(shù)表.第一列是下標(biāo)n.第二列是數(shù)列的第n項(xiàng)它與0.4越來越接近.第三列是數(shù)列的極限0.4與數(shù)列的項(xiàng)的差,逐漸接近0.再輸入fn=Table[(2n^3+1)/(5n^3+1),{n,15}];ListPlot[fn,PlotStyle->{PointSize[0.02]}]則輸出散點(diǎn)圖.觀察所得散點(diǎn)圖,可見表示數(shù)列的點(diǎn)逐漸接近于直線注:命令For的格式見項(xiàng)目二中實(shí)驗(yàn)1的基本命令.遞歸數(shù)列例2.4設(shè)從初值出發(fā),可以將數(shù)列一項(xiàng)一項(xiàng)地計(jì)算出來.這樣定義的數(shù)列稱為遞歸數(shù)列.輸入f[1]=N[Sqrt[2],20];f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]],20];f[9]則已經(jīng)定義了該數(shù)列,并且求出它的第9項(xiàng)的近似值為1.9999905876191523430.輸入fn=Table[f[n],{n,20}]得到這個(gè)數(shù)列的前20項(xiàng)的近似值(輸出結(jié)果略).再輸入ListPlot[fn,PlotStyle->{PointSize[0.02]}]輸出為圖2.2.觀察該散點(diǎn)圖,表示數(shù)列的點(diǎn)越來越接近于直線函數(shù)的極限例2.5在區(qū)間上作出函數(shù)的圖形,并研究和輸入命令Clear[f];f[x_]=(x^3-9x)/(x^3-x);Plot[f[x],{x,-4,4}];則輸出的圖形.從圖可猜測(cè)不存在.例2.6觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).取一個(gè)較小的區(qū)間[1,10],輸入命令f[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x],{x,1,20}];則輸出在這一區(qū)間上的圖形.從圖中可以看出圖形逐漸趨于0.事實(shí)上,逐次取更大的區(qū)間,可以更有力地說明當(dāng)時(shí),作動(dòng)畫:分別取區(qū)間畫出函數(shù)的圖形,輸入以下命令:i=3;While[i<=20,Plot[f[x],{x,10,5*i},PlotRange->{{10,100},{-0.008,0.004}}];i++]則輸出17幅圖,點(diǎn)黑右邊的線框,并選擇從前向后的播放方式播放這些圖形,可得函數(shù)當(dāng)時(shí)變化趨勢(shì)的動(dòng)畫,從而可以更好地理解此時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì).兩個(gè)重要極限例2.7研究第二個(gè)重要極限輸入Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity]輸出為e.再輸入Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}]則輸出函數(shù)的圖形.觀察圖中函數(shù)的單調(diào)性.理解第二個(gè)重要極限無窮大例2.7考慮無窮大.分別輸入Plot[(1+2x)/(1-x),{x,-3,4}]Plot[x^3-x,{x,-20,20}]則分別輸出兩個(gè)給定函數(shù)的圖形.在第一個(gè)函數(shù)的圖形中,時(shí)函數(shù)的絕對(duì)值無限增大,在第二個(gè)函數(shù)的圖形中,時(shí)函數(shù)的絕對(duì)值在無限增大.輸入Limit[(1+2x)/(1-x),x->1]Mathematica輸出的是.這個(gè)結(jié)果應(yīng)該是右極限.例2.8輸入Plot[x*Sin[x],{x,0,20Pi}]則輸出所給函數(shù)的圖形.觀察圖中函數(shù)的變化趨勢(shì).這個(gè)函數(shù)無界,但是,當(dāng)時(shí),這個(gè)函數(shù)不是無窮大.即趨向于無窮大的函數(shù)當(dāng)然無界,而無界函數(shù)并不一定是無窮大.連續(xù)與間斷例2.9觀察無窮間斷.輸入Plot[Tan[x],{x,-2Pi,2Pi}]則輸出函數(shù)的圖形.從圖可見,是所給函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).例2.10觀察振蕩間斷.輸入Plot[Sin[1/x],{x,-Pi,Pi}]則輸出函數(shù)的圖形.從圖可見,是所給函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).再輸入Limit[Sin[1/x],x->0]則輸出為Interval[{-1,1}].表示函數(shù)極限不存在,且在-1與1之間振蕩.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.設(shè)數(shù)列計(jì)算這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)的近似值.作散點(diǎn)圖,觀察點(diǎn)的變化趨勢(shì).2.定義數(shù)列可以證明:這個(gè)數(shù)列的極限是計(jì)算這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)的近似值.作散點(diǎn)圖,觀察點(diǎn)的變化趨勢(shì).3.作函數(shù)及自復(fù)合函數(shù)4.計(jì)算極限5.討論極限實(shí)驗(yàn)3導(dǎo)數(shù)（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康纳钊肜斫鈱?dǎo)數(shù)與微分的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義.掌握用Mathematica求導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)的方法.深入理解和掌握求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),以及求由參數(shù)方程定義的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.基本命令1.求導(dǎo)數(shù)的命令D與求微分的命令DtD[f,x]給出f關(guān)于x的導(dǎo)數(shù),而將表達(dá)式f中的其它變量看作常量.因此,如果f是多元函數(shù),則給出f關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù).D[f,{x,n}]給出f關(guān)于x的n階導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù).D[f,x,y,z,…]給出f關(guān)于x,y,z,…的混合偏導(dǎo)數(shù).Dt[f,x]給出f關(guān)于x的全導(dǎo)數(shù),將表達(dá)式f中的其它變量都看作x的函數(shù).Dt[f]給出f的微分.如果f是多元函數(shù),則給出f的全微分.上述命令對(duì)表達(dá)式為抽象函數(shù)的情形也適用,其結(jié)果也是一些抽象符號(hào).命令D的選項(xiàng)NonConstants->{…}指出{…}內(nèi)的字母是x的函數(shù).命令Dt的選項(xiàng)Constants->{…}指出{…}內(nèi)的字母是常數(shù).2.循環(huán)語句Do基本格式為Do[表達(dá)式,循環(huán)變量的范圍]表達(dá)式中一般有循環(huán)變量,有多種方法說明循環(huán)變量的取值范圍.最完整的格式是Do[表達(dá)式,{循環(huán)變量名,最小值,最大值,增量}]當(dāng)省略增量時(shí),默認(rèn)增量為1.省略最小值時(shí),默認(rèn)最小值為1.例如,輸入Do[Print[Sin[n*x]],{n,1,10}]則在屏幕上顯示Sin[x],Sin[2x],…,Sin[10x]等10個(gè)函數(shù).實(shí)驗(yàn)舉例導(dǎo)數(shù)的概念例3.1作函數(shù)的圖形和在處的切線.輸入Clear[f];f[x_]=2x^3+3x^2-12x+7;plotf=Plot[f[x],{x,-4,3},DisplayFunction->Identity];plot2=Plot[f'[-1]*(x+1)+f[-1],{x,-4,3},PlotStyle->GrayLeve1[0.5],DisplayFunction->Identity];Show[plotf,plot2,DisplayFunction->$DisplayFunction]執(zhí)行后便在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出了函數(shù)的圖形和它在處的切線.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分例3.2求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).并求輸入D[Sin[a*x]*Cos[b*x],x]/.x->1/(a+b)則輸出函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)例3.3求函數(shù)的1階到11階導(dǎo)數(shù).輸入Clear[f];f[x_]=x^10+2*(x-10)^9;D[f[x],{x,2}]則輸出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)類似可求出3階、4階導(dǎo)數(shù)等等.為了將1階到11階導(dǎo)數(shù)一次都求出來,輸入Do[Print[D[f[x],{x,n}]],{n,1,11}]則輸出或輸入Table[D[f[x],{x,n}],{n,11}]則輸出集合形式的1至11階導(dǎo)數(shù)(輸出結(jié)果略).求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3.4求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).方法1輸入deq1=D[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1==0,x]這里輸入y[x]以表示y是x的函數(shù).輸出為對(duì)原方程兩邊求導(dǎo)數(shù)后的方程deq1:1+4x-2y[x]+2y'[x]-2xy'[x]+2y[x]y'[x]==0再解方程,輸入Solve[deq1,y'[x]]則輸出所求結(jié)果方法2使用微分命令.輸入deq2=Dt[2x^2-2x*y+y^2+x+2y+1==0,x]得到導(dǎo)數(shù)滿足的方程deq2:1+4x-2y+2Dt[y,x]-2xDt[y,x]+2yDt[y,x]==0再解方程,輸入Solve[deq2,Dt[y,x]]則輸出注意前者用y’[x],而后者用Dt[y,x]表示導(dǎo)數(shù).如果求二階導(dǎo)數(shù),再輸入deq3=D[deq1,x];Solve[{deq1,deq3},{y'[x],y''[x]}]//Simplify則輸出結(jié)果求參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3.5求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).輸入D[E^t*Sin[t],t]/D[E^t*Cos[t],t]則得到導(dǎo)數(shù)再輸入D[%,t]/D[E^t*Cos[t],t]//Simplify則得到二階導(dǎo)數(shù)中值定理例3.6對(duì)函數(shù)觀察羅爾定理的幾何意義.因?yàn)橛闪_爾定理,存在,使得(1)畫出與的圖形,并求出與輸入f[x_]=x*(x-1)*(x-2);g1=Plot[f[x],{x,-1,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];g2=Plot[f'[x],{x,-1,3}];Show[g1,g2];NSolve[f'[x]==0,x](2)畫出及其在點(diǎn)與處的切線.輸入t1[x_]=f[0.42265];t2[x_]=f[1.57735];Plot[{f[x],t1[x],t2[x]},{x,-1,3}];例3.7函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日中值定理的條件,因此存在使可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論的正確性.輸入Clear[f];f[x_]:=1/x^4;Solve[D[f[x],x]==f[2]-f[1],x]//N輸出中有5個(gè)解:{{x->-1.08137-0.785663i},{x->1.33665},{x->0.413048+1.27123i},{x->0.413048-1.27123i},{x->-1.08137+0.785663i}}其中的實(shí)數(shù)解就是滿足拉格朗日中值定理的,約為1.33665.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.驗(yàn)證拉格朗日定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的正確性.2.證明:對(duì)函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí),所求得的點(diǎn)總是位于區(qū)間的正中間.3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);(2);(3);(4).4.求下列函數(shù)的微分:(1);(2).5.求下列函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù):(1)(2)6.求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù):(1)(2)7.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)8.求由下列參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)實(shí)驗(yàn)4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦斫獠⒄莆沼煤瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和函數(shù)的極值的方法.理解曲線的曲率圓和曲率的概念.進(jìn)一步熟悉和掌握用Mathematica作平面圖形的方法和技巧.掌握用Mathematica求方程的根(包括近似根)和求函數(shù)極值(包括近似極值)的方法.基本命令1.求多項(xiàng)式方程的近似根的命令Nsolve和Nroots命令Nsolve的基本格式為Nsolve[f[x]==0,x]執(zhí)行后得到多項(xiàng)式方程的所有根(包括復(fù)根)的近似值.命令NRoots的基本格式為NRoots[f[x]==0,x,n]它同樣給出方程所有根的近似值.但是二者表示方法不同.在命令NRoots的后面所添加的選項(xiàng)n,要求在求根過程中保持n位有效數(shù)字;沒有這個(gè)選項(xiàng)時(shí),默認(rèn)的有效數(shù)字是16位.2.求一般方程的近似根的命令FindRoot命令的基本格式為FindRoot[f[x]==0,{x,a},選項(xiàng)]或者FindRoot[f[x]==0,{x,a,b},選項(xiàng)]其中大括號(hào)中x是方程中的未知數(shù),而a和b是求近似根時(shí)所需要的初值.執(zhí)行后得到方程在初值a附近,或者在初值a與b之間的一個(gè)根.方程的右端不必是0,形如的方程也可以求根.此外,這個(gè)命令也可以求方程組的近似根.此時(shí)需要用大括號(hào)將多個(gè)方程括起來,同時(shí)也要給出各個(gè)未知數(shù)的初值.例如,FindRoot[{f[x,y]==0,g[x,y]==0},{x,a},{y,b}]由于這個(gè)命令需要初值,應(yīng)先作函數(shù)的圖形,確定方程有幾個(gè)根,以及根的大致位置,或所在區(qū)間,以分別輸入初值求根.命令的主要選項(xiàng)有:(1)最大迭代次數(shù):MaxIterations->n,默認(rèn)值是15.(2)計(jì)算中保持的有效數(shù)字位數(shù):WorkingPrecision->n,默認(rèn)值是16位.3.求函數(shù)極小值的近似值的命令FindMinimum命令的基本格式為FindMinimum[f[x],{x,a},選項(xiàng)]執(zhí)行后得到函數(shù)在初值a附近的一個(gè)極小值的近似值.這個(gè)命令的選項(xiàng)與FindRoot相同,只是迭代次數(shù)的默認(rèn)值是30.如果求函數(shù)的極大值的近似值,可以對(duì)函數(shù)用這個(gè)命令.不過,正確的極大值是所得到的極小值的相反的數(shù).使用此命令前,也要先作函數(shù)的圖形,以確定極值的個(gè)數(shù)與初值.4.作平面圖元的命令Graphics如果要在平面上作點(diǎn)、圓、線段和多邊形等圖元,可以直接用命令Graphics,再用命令Show在屏幕上顯示.例如,輸入g1=Graphics[Line[{{1,-1},{6,8}}]]Show[g1,Axes->True]執(zhí)行后得到以(1,-1)和(6,8)為端點(diǎn)的直線段.實(shí)際上Show命令中可以添加命令Graphics的所有選項(xiàng).如果要作出過已知點(diǎn)的折線,只要把這些點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合放在命令Line[]之內(nèi)即可.如輸入Show[Graphics[Line[{{0,0},{1,2},{3,-1}}]],Axes->True]輸出為圖4.1.圖4.1實(shí)驗(yàn)舉例求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例4.1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.輸入f1[x_]:=x^3-2x+1;Plot[{f1[x],f1'[x]},{x,-4,4},PlotStyle->{GrayLeve1[0.01],Dashing[{0.01}]}]則輸出圖4.2.圖4.2圖4.2中的虛線是導(dǎo)函數(shù)的圖形.觀察函數(shù)的增減與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系.再輸入Solve[f1'[x]==0,x]則輸出即得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).用這兩個(gè)零點(diǎn),把導(dǎo)函數(shù)的定義域分為三個(gè)區(qū)間.因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)連續(xù),在它的兩個(gè)零點(diǎn)之間,導(dǎo)函數(shù)保持相同符號(hào).因此,只需在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)計(jì)算導(dǎo)數(shù)值,即可判定導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間的正負(fù),從而得到函數(shù)的增減.輸入f1'[-1]f1'[0]f1'[1]輸出為1,-2,1.說明導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上分別取+,-和+.因此函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)增加,在區(qū)間上單調(diào)減少.求函數(shù)的極值例4.2求函數(shù)的極值.輸入f2[x_]:=x/(1+x^2);Plot[f2[x],{x,-10,10}]則輸出圖4.3.圖4.3觀察它的兩個(gè)極值.再輸入Solve[f2'[x]==0,x]則輸出{{x->-1},{x->1}}即駐點(diǎn)為用二階導(dǎo)數(shù)判定極值,輸入f2''[-1]f2''[1]則輸出1/2與-1/2.因此是極小值點(diǎn),是極大值點(diǎn).為了求出極值,再輸入f2[-1]f2[1]輸出-1/2與1/2.即極小值為-1/2,極大值為1/2.求極值的近似值例4.3求函數(shù)的位于區(qū)間內(nèi)的極值的近似值.輸入f4[x_]:=2(Sin[2x])^2+5x*(Cos[x/2])^2/2;Plot[f4[x],{x,0,Pi}]則輸出圖4.4.圖4.4觀察函數(shù)圖形,發(fā)現(xiàn)大約在附近有極小值,在和有極大值.用命令FindMinimum直接求極值的近似值.輸入FindMinimum[f4[x],{x,1.5}]則輸出{1.94461,{x->1.62391}}即同時(shí)得到極小值1.94461和極小值點(diǎn)1.62391.再輸入FindMinimum[-f4[x],{x,0.6}]FindMinimum[-f4[x],{x,2.5}]則輸出{-3.73233,{x->0.864194}}{-2.95708,{x->2.24489}}即得到函數(shù)的兩個(gè)極小值和極小值點(diǎn).再轉(zhuǎn)化成函數(shù)y的極大值和極大值點(diǎn).兩種方法的結(jié)果是完全相同的.證明函數(shù)的不等式例4.4證明不等式其中先作圖,輸入Clear[F];F[x_]:=ArcTan[x]+1/x;Plot[{F[x],Pi/2},{x,4,20},AxesOrigin->{4,Pi/2-0.00012},PlotStyle->{GrayLeve1[0.0],Dashing[{0.01,0.01}]}]則輸出圖4.5.圖4.5當(dāng)x趨向于無窮時(shí),直線是函數(shù)的漸近線.下面用單調(diào)性證明不等式.輸入Limit[F[x],x->Infinity]則輸出再研究單調(diào)性,輸入Clear[G]G[x_]:=D[F[x],x]Solve[G[x]==0,x]則輸出{}即當(dāng)時(shí),函數(shù)無駐點(diǎn).再輸入N[G[2]]則輸出-0.05即當(dāng)時(shí),于是函數(shù)單調(diào)減少,趨向于.因此,當(dāng)時(shí),有實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.作函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖形,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.2.作函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖形,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.注:為了避免負(fù)數(shù)開方出現(xiàn)復(fù)數(shù),輸入時(shí)可