山西省長(zhǎng)治市2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.從5名學(xué)生中選出正，副班長(zhǎng)各一名，不同的選法種數(shù)是（）A.9 B.10 C.20 D.25【1題答案】【答案】C【解析】【分析】利用排列、排列數(shù)的定義直接列式計(jì)算作答.【詳解】從5名學(xué)生中選出正，副班長(zhǎng)各一名，不同的選法種數(shù)是.故選：C2.圓上有5個(gè)點(diǎn)，過(guò)每3個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為（）A.10 B.15 C.30 D.60【2題答案】【答案】A【解析】【分析】利用組合知識(shí)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】圓上有5個(gè)點(diǎn)，過(guò)每3個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，屬于組合問(wèn)題，故一共可以畫的三角形個(gè)數(shù)為.故選：A3.的展開式中的系數(shù)是A.20 B.40 C.80 D.160【3題答案】【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開式中的是降冪，2是升冪，當(dāng)?shù)闹笖?shù)降為3時(shí)，2的指數(shù)升為3，二項(xiàng)式系數(shù)的上標(biāo)升至3，其系數(shù)是數(shù)，應(yīng)選答案D．4.學(xué)校要求學(xué)生從物理，歷史，化學(xué)，生物，政治，地理這6科中選3科參加考試，規(guī)定:先從物理和歷史中任選1科，然后從其他4科中選2科，不同的選法種數(shù)為（）A.6 B.12 C.20 D.24【4題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定信息，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及組合列式計(jì)算作答.【詳解】求不同選法種數(shù)這件事需要兩步：第一步從物理和歷史中任選1科有種，第二步從化學(xué)，生物，政治，地理4科中任選2科有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：，所以不同的選法種數(shù)為12.故選：B5.長(zhǎng)治市區(qū)的汽車牌照在“晉D”后面由1個(gè)英文字母（除O，I之外的24個(gè)英文字母)和4個(gè)數(shù)字組成，其中4個(gè)數(shù)字互不相同的牌照號(hào)碼個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】D【解析】【分析】安排先選后排的原則，進(jìn)行計(jì)算.【詳解】先從24個(gè)英文字母中選擇一個(gè)，有種選擇，再?gòu)?0個(gè)數(shù)字中選擇4個(gè)，有種選擇，選出的4個(gè)數(shù)字與1個(gè)英文字母進(jìn)行全排列，即種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：4個(gè)數(shù)字互不相同的牌照號(hào)碼個(gè)數(shù)為.故選：D6.一個(gè)袋子中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些小球除顏色外沒(méi)有其他差異．從中不放回地抽取2個(gè)球，每次只取1個(gè)．設(shè)事件=“第一次抽到紅球”，=“第二次抽到紅球”，則概率是（）A. B. C. D.【6題答案】【答案】B【解析】【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用條件概率公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，，所以.故選：B7.若，則n等于（）A.11 B.12 C.13 D.14【7題答案】【答案】B【解析】【分析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)，可得，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)，從而得到關(guān)于n的方程，解方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，變形可得，；由組合性質(zhì)可得，，即，則可得到.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，掌握組合數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）；（2）．8.將1盆紅花，2盆黃花，3盆紫花擺放在如圖所示的花壇里，每格放置1盆．要求相鄰的兩格顏色不相同，則不同的放法共有（）A.10種 B.12種 C.16種 D.20種【8題答案】【答案】A【解析】【分析】對(duì)花壇格子從左到右，用1,2,3,4,5,6進(jìn)行標(biāo)記，先放紫花，進(jìn)而分兩種情況進(jìn)行求解，分類標(biāo)準(zhǔn)為當(dāng)3盆紫花中間均間隔一格，有兩盆紫花中間間隔二格，計(jì)算出兩種情況后相加即為結(jié)果.【詳解】將花壇格子從左到右，用1,2,3,4,5,6進(jìn)行標(biāo)記，先放紫花，（1）當(dāng)3盆紫花中間均間隔一格時(shí)，有兩種擺放方式，紫花所在格為1,3,5或2,4,6，此時(shí)，紅花可以從剩余的3個(gè)格子中任意選擇位置進(jìn)行擺放，即有種，剩余的2個(gè)格子擺放黃花，故共有種擺放方式；（2）當(dāng)有兩盆紫花中間間隔二格時(shí)，有兩種擺放方式，即紫花所在格為1,3,6或1,4,6，此時(shí)紅花必須從紫花間隔兩格中選擇一個(gè)，即有種，剩余的兩個(gè)擺放黃花即可，故共有種擺放方式；綜上：不同的放法有6+4=10種.故選：A9.若，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①為展開式的二項(xiàng)式系數(shù)②③④A.1 B.2 C.3 D.4【9題答案】【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的定義判斷①；利用賦值法計(jì)算判斷②③④即可作答.【詳解】是展開式的相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，不是二項(xiàng)式系數(shù)，因第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，①不正確；令，則，②正確；，，則，③不正確；，④正確，所以給定的4個(gè)命題中，說(shuō)法正確的有2個(gè).故選：B10.某社區(qū)服務(wù)站將5名志愿者分到3個(gè)不同的社區(qū)參加活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少1人，不同的分配方案有（）A.360種 B.300種 C.90種 D.150種【10題答案】【答案】D【解析】【分析】先分類，分為3個(gè)社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1或2,2,1，再求出兩種情況下的不同分配方案，注意部分平均分組問(wèn)題.【詳解】若3個(gè)社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1，此時(shí)不同的分配方案有種，若3個(gè)社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為2,2,1，此時(shí)不同的分配方案有種，綜上：不同的分配方案有60+90=150種.故選：D11.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球(球除顏色外，大小質(zhì)地均相同)．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①事件與相互獨(dú)立；②，，是兩兩互斥的事件；③；④；⑤A.5 B.4 C.3 D.2【11題答案】【答案】C【解析】【分析】先判斷出，，是兩兩互斥的事件，且不滿足，①錯(cuò)誤，②正確，用條件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出結(jié)論.【詳解】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且，，而，①錯(cuò)誤，②正確；，，所以，③正確；④正確；，⑤錯(cuò)誤，綜上：結(jié)論正確個(gè)數(shù)為3.故選：C12.定義數(shù)列如下：存在，滿足，且存在，滿足，已知數(shù)列共4項(xiàng)，若且，則數(shù)列共有（）A.190個(gè) B.214個(gè) C.228個(gè) D.252個(gè)【12題答案】【答案】A【解析】【分析】由題意，滿足條件的數(shù)列中的4項(xiàng)有四種情況：4項(xiàng)中每一項(xiàng)都不同；4項(xiàng)中有2項(xiàng)相同；4項(xiàng)中有3項(xiàng)相同；4項(xiàng)中兩兩相同，利用排列組合知識(shí)分別求出每種情況的個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】解：由題意，滿足條件的數(shù)列中的4項(xiàng)有四種情況：（1）4項(xiàng)中每一項(xiàng)都不同，共有個(gè)；（2）4項(xiàng)中有2項(xiàng)相同（如x,y,z,x）,共有個(gè)；（3）4項(xiàng)中有3項(xiàng)相同（如x,x,y,x）,共有個(gè)；（4）4項(xiàng)中兩兩相同（如x,y,x,y）,共有個(gè)；所以數(shù)列共有個(gè).故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵，弄清楚滿足條件的數(shù)列中的4項(xiàng)有四種情況：4項(xiàng)中每一項(xiàng)都不同；4項(xiàng)中有2項(xiàng)相同；4項(xiàng)中有3項(xiàng)相同；4項(xiàng)中兩兩相同.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.由數(shù)字1，2，3，4可組成___個(gè)三位數(shù)(各位上數(shù)字可重復(fù))(用數(shù)字作答)．【13題答案】【答案】64【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.【詳解】由于各位上數(shù)字可重復(fù)，故每個(gè)位數(shù)上均有4種選擇，故組成的三位數(shù)個(gè)數(shù)為.故答案為：6414.已知是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，分布列如下表，則常數(shù)的值為___．01【14題答案】【答案】【解析】【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，結(jié)合概率大于0即可解得c的值.【詳解】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知，，解得，故答案為：.15.的展開式中的系數(shù)為__．【15題答案】【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用乘方得幾何意義，要得到，則有2個(gè)因式取，1個(gè)因式取，3個(gè)因式取，從而可得出答案.【詳解】解：表示6個(gè)因式得乘積，要得到，則有2個(gè)因式取，1個(gè)因式取，3個(gè)因式取，所以展開式中的項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.16.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù),對(duì)任意的有,且在上.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍__________．【16題答案】【答案】【解析】【詳解】令，所以，則為奇函數(shù).時(shí)，，由奇函數(shù)性質(zhì)知：在R上上遞增.則實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等三、解答題:本大題共70分17.已知在的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．求:（1）的值及常數(shù)項(xiàng)；（2）含的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．【17~18題答案】【答案】（1），180（2）6個(gè)【解析】【分析】（1）借助通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)之后令的指數(shù)為，即可求解（2）通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)之后，由的指數(shù)為整數(shù)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】依題意令，則所以常數(shù)項(xiàng)是第三項(xiàng)為【小問(wèn)2詳解】依題意（其中且）為整數(shù)所以，，，，，分別是第，，，，，項(xiàng)，共個(gè)18.6名同學(xué)排成一排拍照，求下列不同的排法種數(shù)．(用數(shù)字作答)（1）甲，乙必須站在兩端；（2）甲乙兩人相鄰且與丙不相鄰；（3）甲在乙的左邊，丙在乙的右邊(可以不相鄰)；（4）甲，乙不在最左端，乙不在最右端．【18~21題答案】【答案】（1）48（2）144（3）120（4）384【解析】【分析】（1）先把甲，乙排在兩端，其他4人排中間即可，（2）除甲乙丙外，剩余的3人先排列，再把甲，乙捆在一起看成整體與丙去插空即可，（3）除甲乙丙外，剩余的3人從6個(gè)位置中選3個(gè)位置排列，然后剩下的3個(gè)位置由甲乙丙按從左到右的順序排即可，（4）先讓乙從中間4個(gè)位置中選1個(gè)，再由甲從除最左端外4個(gè)位置中選1個(gè)，然后剩下4人排在剩余的4個(gè)位置即可【小問(wèn)1詳解】由題意得先把甲，乙排在兩端，其他4人排中間，所以由分步乘法原理得，共有種方法【小問(wèn)2詳解】由題意得除甲乙丙外，剩余的3人先排列，有種方法，然后把甲，乙捆在一起看成整體與丙去插空，有種方法，所以由分步乘法原理可得，共有種方法【小問(wèn)3詳解】由題意得，除甲乙丙外，剩余的3人從6個(gè)位置中選3個(gè)位置排列，有種方法，然后剩下的3個(gè)位置由甲乙丙按從左到右的順序排，有1種方法所以由分步乘法原理可得，共有種方法【小問(wèn)4詳解】由題意得，先讓乙從中間4個(gè)位置中選1個(gè)，有種方法，再由甲從除最左端外的4個(gè)位置中選1個(gè)，有種方法，然后剩下4人排在剩余的4個(gè)位置，有種方法所以由分步乘法原理可得，共有種方法19.甲乙參加英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6道題，乙能答對(duì)其中的8道題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行考試，至少答對(duì)2道題才算合格．（1）若一次考試中甲答對(duì)的題數(shù)是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；（2）若答對(duì)1題得5分，答錯(cuò)1題扣5分，記為乙所得分?jǐn)?shù)，求的概率分布列．【19~20題答案】【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）分布列見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出的所有可能值，利用組合及古典概率公式求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出甲合格的概率作答.（2）分析并求出乙得分的所有可能值，再求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率列出分布列作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列：0123所以甲合格的概率.【小問(wèn)2詳解】依題意，乙答3題，答對(duì)題數(shù)可能為1，2，3，則的可能取值為-5，5，15，，，，的分布列：-551520.已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性；（2）證明:只有一個(gè)零點(diǎn)．【20~21題答案】【答案】（1）遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出的導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0的x值范圍作答.（2）結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的意義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再借助零點(diǎn)存在性定理求解作答.【小問(wèn)1詳解】若時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，由，解得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】因，則等價(jià)于，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是得在R上單調(diào)遞增，而，，則存在唯一，使得，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以只有一個(gè)零點(diǎn).21.甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人．（1）求2次傳球后球在甲手中的概率，3次傳球后球在甲手中的概率；（2）求次傳球后球在甲手中的概率．【21~22題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列舉出經(jīng)2次、3次傳球后的所有可能，再利用古典概率公式計(jì)算作答.（2）記表示次傳球后球在甲手中的事件，，利用相互獨(dú)立事件概率及條件概率探求與的關(guān)系，再借助數(shù)列求解作答.【小問(wèn)1詳解】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4個(gè)結(jié)果，它們等可能，2次傳球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，2個(gè)結(jié)果，所以，第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個(gè)結(jié)果，它們等可能，3次傳球后球在甲手中的事件有：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2個(gè)結(jié)果，所以.小問(wèn)2詳解】次傳球