橫當作嶺側成峰遠近高低各不一樣---------一個不等式恒建立問題的多角度審察安徽省懷寧縣東高升級中學孫汪杰數(shù)學教課中，總離不開解題，由于“問題”是數(shù)學的“心臟”.而“問題”的解決寓于察看、聯(lián)想之中.察看是基礎，是解題的門戶；聯(lián)想是思想的翅膀，是解決“問題”的必經(jīng)之路，自然是解題的重點.平常的數(shù)學講堂教課中假如教師常常指引學生從已有的知識出發(fā)，對“問題”的條件或結論進行多角度的察看，將所學的知識與未解決的問題聯(lián)系起來，睜開合理、適合、有效、寬泛的聯(lián)想，那么問題解決起來會顯得更靈巧、更富裕創(chuàng)建性.進而達到貫穿交融、舉一反三的境地.本文就一道不等式恒建立問題，說說在高三復習課中的教課領會，供同行溝通.題目：設實數(shù)x,y知足x2+(y-1)2=1,若不等式x+y+m≥0恒建立，求m的取值范圍.說明：這是散落在各樣高中數(shù)學課外資料上的一道傳統(tǒng)題目，多坐落在不等式一章中.剖析1：不等式恒建立，求參數(shù)的取值范圍，解決這種問題的首選方法是分別參數(shù)，原不等式可變成-m≤x+y，問題轉變成在知足x2+(y-1)2=1的條件下,求x+y的最小值.考慮到等式x2+(y-1)2=1擁有“sin2+cos2=1”的特色，故采納三角換元法.解法1：原不等式可變成-m≤x+y,則問題等價于-m不大于x+y的最小值令x=cos,y-1=sin,（0≤＜2）則x+y=sin+cos+1=2sin(+)+1≥1-2,（當且僅當4=5時取等號）進而-m≤1-2,即m≥2-1.4故m的取值范圍是[2-1,+∞).注：這種采納三角換元法求x+y的最值，完整部是鑒于對已知條件x2+(y-1)2=1的察看，既而聯(lián)想到三角函數(shù)中基本關系式的結果.剖析2：原不等式等價于x+(y-1)≥-m-1,問題轉變成求x+(y-1)的最小值.察看式子x2+(y-1)2和x+(y-1)的構造，聯(lián)想到不等式一章的學習過程中，我們曾證明過下邊的不等式：2(a2+b2)≥(a+b)2,這個不等式中波及的就是“兩個實數(shù)的和”與“平方和”之間的關系，于是有下邊的解法

.解法

2：原不等式變成

x+(y-1)

≥-m-1，則問題轉變成求函數(shù)x+(y-1)

的最小值.

由2[x

2+(y-1)

2]

≥(x+y-1)

2得-

2≤x+y-1

≤

2，故

m的取值范圍是

[

2-1,+

∞).注：本解法也能夠看作使用了“柯西不等式”的特例，設a,b,c,d∈R,則有（a2+b2）·(c2+d2)≥(ac+bd)2,此中c=d=1.剖析3：察看式子“x2+(y-1)2=1”的構造特色—平方和，使我們聯(lián)想到平面向量坐標形式模的公式，于是試試利用平面向量的數(shù)目rrrr的最值.積性質|a·b|≤|a||b|來求解x+y-1rrrx2(y1)2r解法3：令a=(x,y-1),b=(1,1),則|a|=,|b|=2,rrrrrra·b=(x,y-1)(1,1)=x+y-1,由|a·b|≤|a||b|得|x+y-1|≤2，以下略.剖析4：式子“x2+(y-1)2=1”最簡單讓我們想到圓的方程，而不等式x+y+m≥0也不難使我們想到平面地區(qū).問題轉變成求m的取值范圍，使得圓x2+(y-1)2=1上全部點都在不等式x+y+m≥0表示的平面地區(qū)內(nèi).解法4：條件x2+(y-1)2=1可看作圓心為C（0，1），半徑為1的圓.不等式x+y+m≥0表示直線L：x+y+m=0的右邊半平面（含界限），那么問題等價于求m的取值范圍，使得圓x2+(y-1)2=1上全部點都在上述平面地區(qū)內(nèi)，其充要條件是直線L與圓C最多有一個公共點，且圓在直線的上方.于是有|01m|≥1，解得1212m≥2-1.（考慮m的幾何意義進行棄?。┕蕀的取值范圍是[2-1,+∞).結束語：在解題過程中為了找尋問題的解決線索，常常借助于類比聯(lián)想，以達到啟迪思路的目的，所以，類比聯(lián)想在求解問題中有著寬泛的應用.在解題教課中采納類比教課，能夠達到梳理知識、概括題型、總結解題方法，這樣做既有益于學生記憶和掌握所學知識，又有益于培育學生聯(lián)想思想的靈巧性.在數(shù)學教課中我們要培育學生學會察看問題的條件和結論，聯(lián)想到與以內(nèi)容鄰近的相關知識，進而發(fā)現(xiàn)解決問題的思路發(fā)散聯(lián)想就是在接觸某一事