……線………)封誠(chéng)信應(yīng)考考試作弊將帶來(lái)嚴(yán)重后果！華南理工大學(xué)2011年期末考試試卷（A）卷《彈性力學(xué)》號(hào)位座2、試分析簡(jiǎn)支梁受均布荷載時(shí)，平面截面假設(shè)是否成立？（5分）解：彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自解法不同。簡(jiǎn)言之，彈性力學(xué)的解法，是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，幾何方程和物理方程，以及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中沒有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。例如，材料力學(xué)中引用了平面假設(shè)而簡(jiǎn)化了幾何關(guān)系，但這個(gè)假設(shè)對(duì)一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，不成立。。題號(hào)得分評(píng)卷人一二三總分3而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來(lái)代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（2-155分）一、簡(jiǎn)答題（共20分）1、五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？(10分)業(yè)專答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可以看成是(2分)解：彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)2-15問題的解答具有的近似性。題…答……2不…內(nèi)院學(xué)（4分）……線3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比μ等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。（6分）封……密三、計(jì)算題（80分）……(……密……4、各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的。進(jìn)一步,,C,式中A,B,C,D皆為常數(shù)，2.1已知薄板有下列形變關(guān)系：32（8分）xyxy10分）5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來(lái)的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形和位移時(shí)，可以將他們的二次冪或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡(jiǎn)化為線性微分方程。1、相容條件：號(hào)學(xué)將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）（10分）名姓(sin)(cos)sinxyyy6其中l(wèi)cosmsin,所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。（4分）xytan2、在平面應(yīng)力問題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為XY0cossin08xxysincos02.3圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其長(zhǎng)度為L(zhǎng),寬度取為1，高度為2h,右端固定、左端自由，荷載分布在其右端上，其合力為P20分）2.210分）l,mxytan解：這是一個(gè)平面應(yīng)力問題，采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程（x）與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo)y成正比，因此可設(shè)XyysinY2(a)(3分)式中的為待定常數(shù)。將式（a）對(duì)y積分兩次，得l(m))XYxsxysm(lys))(b)xys4(cos)(sin)cosyxxy式中的，為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（b）代入相容方程,得;（12分），上式對(duì)x的任何值均應(yīng)滿足，因此得，，即（5分）得上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它，可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須為零，即，，得積分上二式，得X取任何值均應(yīng)滿足，因此得將式（e）代入上式積分，得.（16分），式中為待定的積分常數(shù)。將代入式（b,計(jì)算得（18分）.(c)（8分）其中,橫截面對(duì)Z軸的慣性矩。(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式最后得應(yīng)力分量為（10分）(3)考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無(wú)水平力；上、下部無(wú)荷載；自由端的剪力之和為P，得邊界條件,自然滿足；2.4如題下圖所示的懸臂梁，長(zhǎng)度為l，高度為h,l>>h,在上邊界受均布荷載q，試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。（10分）6在次要邊界上x=0上，主矢和主矩為零，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替(e)解（1）相容條件聯(lián)立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e將代入相容方程，得，若滿足相容方程，有8將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得2(2)應(yīng)力分量表達(dá)式4(3)考察邊界條件;主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件同式（b）得同式（c）得同式（d）得C;q2BsinC(g)C;q6式(e)A、(g)、聯(lián)立求解，得2.5楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,10分）qq,BCDcot（8分）2sin2將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得cos2sincot,qcos2sincot,（10分）qsinsinq2.6M（20分））應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)，進(jìn)行求解。(cos2ABsinCD)由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量112ABcos2sin),CD2222(cos2ABCDsin),（2分）21(A)2sin2cos2BC（2）考察邊界條件：根據(jù)對(duì)稱性，得（a）0;【解】應(yīng)用半逆解法求解。2q;(b)（1）關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即LMT，應(yīng)力只能以M有M,,2(c)形勢(shì)22q(d)（4分）組合。（2分）（2）應(yīng)比應(yīng)力的長(zhǎng)度量綱高二次冪，可假設(shè)2C同式（a）得(e)。（3）將代入相容方程，得2B=C(d)14分）為了考慮原點(diǎn)O附近有集中力偶的作用，取出以O(shè)為中心，為半徑的一小部分脫1dd42（4分）40d4d42離體，并列出其平衡條件1的常微分方程。令其解為e，代入上式，可刪去因子，得一個(gè)關(guān)于4Fddcos)sin2x2得到一個(gè)關(guān)于的特征方程，（16分）Fysin)cosd(d22（6分）4M22dM022O2其解為的四個(gè)解i,iae,be,c,d2i2i上式中前兩式自然滿足，而第三式成為余弦函數(shù)。由此得M2B,(e)(b)(8)Acos2BCDsin將式(e)代入式，得本題中結(jié)構(gòu)對(duì)稱于的x軸，而M是反對(duì)稱荷載，因此，應(yīng)力應(yīng)反對(duì)稱于x軸，0MC,18分）為的奇函數(shù)，從而得A=D=0。將各系數(shù)代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得（10分）Bsin2C2M,（4）由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式2（