2022-2023學(xué)年湖南省長沙二十一中八年級（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共24分）.1．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．（x2）5＝x10 C．x5?x6＝x30 D．2．下列說法中正確的是（）A．已知a，b，c是三角形的三邊，則a2+b2＝c2 B．在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c23．已知直線m∥n，如圖，下列哪條線段的長可以表示直線m與n之間的距離（）A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可4．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，AD∥BC5．平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC＝10cm，BD＝8cm，則AD的取值范圍是（）A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞96．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝8，則CD的長為（）A． B．5 C． D．107．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為D，CD＝1，則AB的長為（）A．2 B． C． D．8．如圖，小津不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，為了能從商店配到一塊與原來相同的玻璃，他帶了其中兩塊玻璃去商店，其編號應(yīng)該是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①③二、填空題（每題3分，共24分）9．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，則BC＝．11．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，若S?ABCD＝12，則S陰影＝．12．如圖，在?ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF與GH相交于點(diǎn)P，則圖中共有個平行四邊形．13．如圖，在?ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，則∠CDB＝．14．若?ABCD的周長為100cm，兩條對角線相交于點(diǎn)O，△AOB的周長比△BOC的周長多10cm，那么AB＝cm，BC＝cm．15．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡＝．16．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），將矩形沿對角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為．三、解答題（共8小題，滿分72分）17．計算：（1）；（2）．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上兩個點(diǎn)，且BE＝DF，證明：AE＝CF．19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BO＝DO．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．20．如圖，折疊長方形紙片ABCD，先折出折痕（對角線）BD，在折疊，使AD落在對角線BD上，得折痕DG，若AB＝2，BC＝1，求AG．21．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長與DC的延長線交于F．（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求平行四邊形ABCD的面積．22．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點(diǎn)F在AB上，且BF＝DE．（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．23．我們將（）、（）稱為一對“對偶式”，因?yàn)椋?）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以構(gòu)造“對偶式”再將其相乘可以有效的將（+）和（﹣）中的“”去掉于是二次根式除法可以這樣解：如，．像這樣，通過分子，分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化根據(jù)以上材料，理解并運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問題：（1）比較大小（用“＞”、“＜”或“＝”填空）；（2）已知x＝，y＝，求x2+y2的值；（3）計算：24．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q同時以每秒3個單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動．點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動．（1）當(dāng)運(yùn)動時間t為多少秒時，PQ∥CD．（2）當(dāng)運(yùn)動時間t為多少秒時，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

參考答案一、選擇題（每題3分，共24分）1．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．（x2）5＝x10 C．x5?x6＝x30 D．【分析】根據(jù)二次根式的加減與乘法運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算即可求出答案．解：A、與不是同類二次根式，故不能合并，故A不符合題意．B、原式＝x10，故B符合題意．C、原式＝x11，故C不符合題意．D、原式＝6a，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的加減與乘法運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．下列說法中正確的是（）A．已知a，b，c是三角形的三邊，則a2+b2＝c2 B．在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2【分析】在直角三角形中只有斜邊的平方等于其他兩邊的平方的和，且斜邊對角為直角，根據(jù)此就可以直接判斷A、B、C、D選項(xiàng)．解：在直角三角形中只有斜邊的平方等于其他兩邊的平方的和，且斜邊對角為直角．A、不確定c是斜邊，故本命題錯誤，即A選項(xiàng)錯誤；B、不確定第三邊是否是斜邊，故本命題錯誤，即B選項(xiàng)錯誤；C、∠C＝90°，所以其對邊為斜邊，故本命題正確，即C選項(xiàng)正確；D、∠B＝90°，所以斜邊為b，所以a2+c2＝b2，故本命題錯誤，即D選項(xiàng)錯誤；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的正確運(yùn)用，只有斜邊的平方才等于其他兩邊的平方和．3．已知直線m∥n，如圖，下列哪條線段的長可以表示直線m與n之間的距離（）A．只有AB B．只有AE C．AB和CD均可 D．AE和CF均可【分析】由平行線之間的距離的定義判定即可得解．解：∵從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條平行線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離，∴線段AB和CD都可以示直線m與n之間的距離，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線之間的距離，熟記平行線之間的距離的概念是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，∠ABC＝∠ADC D．AB＝CD，AD∥BC【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由AB＝CD，AD∥BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．5．平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC＝10cm，BD＝8cm，則AD的取值范圍是（）A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞9【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OA和OD，在△AOD中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出5﹣4＜AD＜5+4，求出即可．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝10，BD＝8，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝4，在△AOD中，由三角形三邊關(guān)系定理得：5﹣4＜AD＜5+4，即1＜AD＜9，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和平行四邊形的性質(zhì)，注意：平行四邊形的對角線互相平分．6．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝8，則CD的長為（）A． B．5 C． D．10【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求AB的長，進(jìn)而可求出CD的長．解：∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴BO＝DO，AO＝CO，AB＝CD，∵∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝8，∴BO＝4，OA＝3，∴＝＝，∴．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，是中考常見題型，比較簡單．7．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為D，CD＝1，則AB的長為（）A．2 B． C． D．【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，繼而可得出AB．解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，則AD＝CD＝1，在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，則BD＝，故AB＝AD+BD＝+1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，要求我們熟練掌握這兩種特殊直角三角形的性質(zhì)．8．如圖，小津不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，為了能從商店配到一塊與原來相同的玻璃，他帶了其中兩塊玻璃去商店，其編號應(yīng)該是（）A．①② B．②④ C．③④ D．①③【分析】確定有關(guān)平行四邊形，關(guān)鍵是確定平行四邊形的四個頂點(diǎn)，由此即可解決問題．解：只有①③兩塊角的兩邊互相平行，且中間部分相聯(lián)，角的兩邊的延長線的交點(diǎn)就是平行四邊形的頂點(diǎn)，∴帶①③兩塊碎玻璃，就可以確定平行四邊形的大小．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的定義以及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解如何確定平行四邊形的四個頂點(diǎn)，四個頂點(diǎn)的位置確定了，平行四邊形的大小就確定了，屬于中考?？碱}型．二、填空題（每題3分，共24分）9．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為x≥5．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出x﹣5≥0，求出即可．解：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案為：x≥5．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件和解一元一次不等式，能得出關(guān)于x的不等式是解此題的關(guān)鍵．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，則BC＝12．【分析】直接利用勾股定理計算即可．解：由勾股定理得：BC＝＝＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的運(yùn)用．本題比較簡單，解題的關(guān)鍵是熟記勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．11．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，若S?ABCD＝12，則S陰影＝3．【分析】通過證明△AEO≌△CFO（AAS），知道S陰影＝S△EOB+S△CFO＝S△ABO＝S?ABCD，求解即可．解：AC于BD的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝OD，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴S陰影＝S△EOB+S△CFO＝S△ABO＝S?ABCD，∵S?ABCD＝12，∴S陰影＝×12＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：平行四邊形的對角線互相平分．12．如圖，在?ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF與GH相交于點(diǎn)P，則圖中共有9個平行四邊形．【分析】首先根據(jù)已知條件找出圖中的平行線段，然后根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，來判斷圖中平行四邊形的個數(shù)．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD；所以圖中是平行四邊形的有：?AEPH、?ABGH、?EBGP、?HPFD；?HGCD、?PGCF、?AEPD、?EBCF；?ABCD；共9個．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．13．如圖，在?ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，則∠CDB＝40°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C＝70°，∵DC＝DB，∴∠C＝∠DBC＝70°，∴∠CDB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案為40°．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．14．若?ABCD的周長為100cm，兩條對角線相交于點(diǎn)O，△AOB的周長比△BOC的周長多10cm，那么AB＝30cm，BC＝20cm．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，平行四邊形的對邊相等，則已知周長，可以求出一組鄰邊的長，△AOB的周長比△BOC的周長多10cm，則AB比BC的值多10，則進(jìn)一步可求出AB和BC的長．解：∵?ABCD的周長為100cm，AB+BC＝50，∵△AOB的周長比△BOC的周長多10cm，∴AB﹣BC＝10，∴AB＝30，BC＝20．故答案為：30，20．【點(diǎn)評】本題考查的是平行四變形的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對邊分別相等；平行四邊形的對角線互相平分．15．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡＝﹣2a．【分析】利用數(shù)軸得出a+b＜0，b﹣a＞0，進(jìn)而化簡各式得出即可．解：如圖所示：a+b＜0，b﹣a＞0，故＝﹣a﹣b+（b﹣a）＝﹣2a．故答案為：﹣2a．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡各式是解題關(guān)鍵．16．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），將矩形沿對角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，）．【分析】過D作DF⊥x軸于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE＝DE，OA＝CD＝4，設(shè)OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的長度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝8，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長度，也就求出了D的坐標(biāo)．解：如圖，過D作DF⊥x軸于F，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），∴AO＝4，AB＝8，根據(jù)折疊可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE＝DE，OA＝CD＝4，設(shè)OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝8，∴AE＝CE＝8﹣3＝5，∴＝＝，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣4＝，∴D的坐標(biāo)為（﹣，）．方法二：過點(diǎn)D作DG⊥OC于點(diǎn)G．則DG＝＝，∴EG＝＝＝，∴OG＝OE+EG＝3+＝，∴D（﹣，）．故答案是：（﹣，）．【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的折疊問題，也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．三、解答題（共8小題，滿分72分）17．計算：（1）；（2）．【分析】（1）先化簡括號內(nèi)的式子，然后合并同類二次根式，再根據(jù)二次根式的乘法計算即可；（2）運(yùn)用二次根式的除法法則，平方差公式的計算即可．解：（1）＝×（2﹣）＝×＝1；（2）＝﹣（3﹣2）＝3﹣﹣1＝2﹣．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是本題的關(guān)鍵．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上兩個點(diǎn)，且BE＝DF，證明：AE＝CF．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝CD，由“SAS”可證△ABE≌△CDF，可得結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BO＝DO．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】先根據(jù)AB∥CD可知∠ABO＝∠CDO，再由BO＝DO，∠AOB＝∠DOC即可得出△ABO≌△CDO，故可得出AB＝CD，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在△ABO與△CDO中，∵，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評】本題考查的是平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知平行四邊形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，折疊長方形紙片ABCD，先折出折痕（對角線）BD，在折疊，使AD落在對角線BD上，得折痕DG，若AB＝2，BC＝1，求AG．【分析】首先根據(jù)AD沿DG折疊后點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是點(diǎn)E，判斷出AD＝ED＝1，AG＝EG，∠DEG＝90°；然后設(shè)AG＝x，則EG＝x，BG＝2﹣x，在Rt△BEG中，由勾股定理，求出x的值是多少即可．解：∵AD沿DG折疊后點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是點(diǎn)E，∴AD＝ED＝1，AG＝EG，∠DEG＝90°，設(shè)AG＝x，則EG＝x，BG＝2﹣x，∵AB＝2，AD＝BC＝1，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝，∴BE＝﹣1，在Rt△BEG中，由勾股定理，可得BE2+EG2＝BG2，∴+x2＝（2﹣x）2，解得x＝，即AG的長是．【點(diǎn)評】此題主要考查了翻折變換（折疊問題），要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．21．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長與DC的延長線交于F．（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求平行四邊形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD得到AB∥CD，即可得到∠ABC＝∠BCF，從而得到△AEB≌△FCE，即可得到AB＝CF，即可得到證明；（2）根據(jù)AB∥CD得到∠D+∠BAD＝180°，結(jié)合∠D＝60°即可得到∠FAD＝60°，從而得到△ADF為等邊三角形，即可得到答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，CD＝AB，∴∠ABC＝∠BCF，在△AEB與△FCE中，，∴△AEB≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，∴四邊形ABFC是平行四邊形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠BAD＝180°，∵∠D＝60°，∴∠BAD＝120°，∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝60°，∴△ADF為等邊三角形，∵四邊形ABFC是平行四邊形，∴AB＝CF，∵CD＝AB，∴CF＝CD，∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∵AD＝8，∴CD＝4，∴，∴平行四邊形ABCD的面積是：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到△ADF是等邊三角形．22．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點(diǎn)F在AB上，且BF＝DE．（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．【分析】（1）證明△AGE≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到GE＝EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件DE＝BF可證出結(jié)論；（2）先證明BF＝DE＝BG，再證明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．【解答】（1）證明：延長CE交AB于點(diǎn)G，∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°，在△AEG和△AEC中，，∴△AGE≌△ACE（ASA）．∴GE＝EC．∵BD＝CD，∴DE為△CGB的中位線，∴DE∥AB．∵DE＝BF，∴四邊形BDEF是平行四邊形．（2）解：BF＝（AB﹣AC）．理由如下：∵四邊形BDEF是平行四邊形，BF＝DE．∵D、E分別是BC、GC的中點(diǎn)，∴BF＝DE＝BG．∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC，∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，題目綜合性較強(qiáng)，證明GE＝EC，再利用三角形中位線定理證明DE∥AB是解決問題的關(guān)鍵．23．我們將（）、（）稱為一對“對偶式”，因?yàn)椋?）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以構(gòu)造“對偶式”再將其相乘可以有效的將（+）和（﹣）中的“”去掉于是二次根式除法可以這樣解：如，．像這樣，通過分