電磁矢論第一章、矢量分析第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.1矢量代數(shù)（標(biāo)量和矢量、矢量的運(yùn)算）1.標(biāo)量和矢量1.標(biāo)量和矢量標(biāo)量：只有大小沒有方向的物理量，表示為，如時間、溫度、質(zhì)量、電荷量等。矢量：既有大小又有方向的物理量，表示為，如力、速度、電場強(qiáng)度等。矢量的模（大小）：單位矢量(方向）：常矢量：大小和方向均不變的矢量（注：單位矢量不一定是常矢量）。第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.1矢量分析（標(biāo)量和矢量、矢量的運(yùn)算）矢量的幾何表示：可用一條有方向的線段表示。矢量的代數(shù)表示：矢量的坐標(biāo)分量表示：單位矢量：第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.1矢量分析（標(biāo)量和矢量、矢量的運(yùn)算）2.矢量的運(yùn)算（1）加法、減法運(yùn)算矢量的加法、減法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.1矢量分析（標(biāo)量和矢量、矢量的運(yùn)算）（2）乘法運(yùn)算一個標(biāo)量與一個矢量的乘積仍為一矢量兩個矢量的點(diǎn)乘為一標(biāo)量矢量的點(diǎn)乘符合交換律和分配律當(dāng)時，；時，第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.1矢量分析（標(biāo)量和矢量、矢量的運(yùn)算）兩個矢量的叉乘一矢量當(dāng)時，；時，第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.1矢量分析（標(biāo)量和矢量、矢量的運(yùn)算）兩個矢量的叉乘不符合交換律，但符合分配律矢量運(yùn)算恒等式：標(biāo)量三重積和矢量三重積標(biāo)量三重積矢量三重積第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.2三種常用的正交坐標(biāo)系為研究物理量在空間中的分布和變化規(guī)律，引入正交坐標(biāo)系。在電磁場理論中，三種最為常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.2三種常用的正交坐標(biāo)系1.直角坐標(biāo)系點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元（微分）矢量面元矢量體積元矢量表示第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.2三種常用的正交坐標(biāo)系2.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元（微分）矢量面元矢量體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）矢量表示第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.2三種常用的正交坐標(biāo)系3.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元（微分）矢量面元矢量體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系（半平面）（圓錐面）（球面）矢量表示第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.2三種常用的正交坐標(biāo)系4.不同坐標(biāo)系單位矢量間的轉(zhuǎn)換直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.2三種常用的正交坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.2三種常用的正交坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.3物理場的概念場：一個物理量是時間和空間的函數(shù)。如果在全部空間或部分空間的每一點(diǎn)，都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，就說在這個空間確定了該物理量的一個場。物理場：某種客觀存在的虛擬“物質(zhì)”，如靜電場、靜磁場、電磁場等。發(fā)生物理量的空間部分稱為場，場是物理量的空間函數(shù)。場的兩個顯著特點(diǎn)：（1）場是客觀存在的；（2）場可以隨時間和空間發(fā)生變化。第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.3物理場的概念根據(jù)物理量的性質(zhì)，物理場可分為標(biāo)量場和矢量場：若物理量為標(biāo)量，則稱該場為標(biāo)量場，如溫度場、電位場、密度場等；若物理量為矢量，則稱該場為矢量場，如力場、速度場、電場、磁場等。根據(jù)物理場的定義靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場表示為：動態(tài)標(biāo)量場和矢量場表示為：第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.4標(biāo)量場的梯度1、標(biāo)量場的等值面等值面：在標(biāo)量場中，標(biāo)量函數(shù)u(x,y,z)取相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成的空間曲面。意義：形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀況。等值面函數(shù)：u(x,y,z)=C等值面的特點(diǎn)：（1）常數(shù)C取一系列不同值可得到一系列不同的等值面，形成等值面簇；（2）標(biāo)量場的等值面簇充滿場所在的整個空間；（3）標(biāo)量場的等值面不相交。第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.4標(biāo)量場的梯度2、標(biāo)量場的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場中，某處場值沿某一方向的變化規(guī)律，定義為：式中cosα、cosβ、cosγ為的方向余弦。物理意義：

是標(biāo)量場u（M)在點(diǎn)M0處沿方向變化率。第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.4標(biāo)量場的梯度時，沿方向增大；時，沿方向減?。粫r，沿方向無變化。方向?qū)?shù)的特點(diǎn)：方向?qū)?shù)的大小既與M0值有關(guān)，也與方向有關(guān)。第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.4標(biāo)量場的梯度3、標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場在什么方向上變化率（方向?qū)?shù)）最大？其最大的變化率（方向?qū)?shù)）是多少？——梯度梯度：標(biāo)量場的梯度為一矢量，方向?yàn)闃?biāo)量場變化率最大的方向，大小為標(biāo)量場的最大變化率，記做gradu或是▽u。式中：是場量u變化率最大的方向上的單位矢量。梯度的計(jì)算式第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.4標(biāo)量場的梯度梯度的性質(zhì)：（1）標(biāo)量場的梯度為一矢量場；（2）標(biāo)量場在某一方向上的方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影；（3）標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面，并指向標(biāo)量場增大的方向。梯度的基本運(yùn)算公式第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.4標(biāo)量場的梯度

eg：設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標(biāo)量場。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.4標(biāo)量場的梯度

解:

(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.4標(biāo)量場的梯度對于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.5矢量場的通量和散度1、矢量場的矢量線矢量線：其上任一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的場矢量方向相同的有向曲線。物理意義：形象直觀的描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線的微分方程：矢量線OM

++++++++++++

第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.5矢量場的通量和散度2、矢量場的通量為矢量穿過曲面S的通量；其中為面元矢量，為面元矢量的法向單位矢量，為穿過面元矢量的通量。在矢量場中，取任一面元矢量，矢量與面元矢量的標(biāo)量積定義為矢量穿過面元矢量的通量，因此定義：第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.5矢量場的通量和散度若S為閉合曲面，矢量場對閉合曲面的通量為：通量的物理意義：描述空間某一范圍內(nèi)矢量場的大?。▽τ陂_曲面而言）、匯聚及發(fā)散（對于閉合曲面而言）的情況，具有區(qū)域性質(zhì)，不能反映空間一點(diǎn)的情況。第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.5矢量場的通量和散度矢量場通過閉合面的三種情況通過通過閉合曲面有凈矢量線穿出，此時閉合曲面內(nèi)有發(fā)出矢量線的源，即正通量源。通過通過閉合曲面有凈矢量線進(jìn)入，此時閉合曲面內(nèi)有匯集矢量線的源，即負(fù)通量源。穿出閉合曲面的通量等于進(jìn)入的通量，此時閉合曲面內(nèi)無通量源。

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.5矢量場的通量和散度3、矢量場的散度通量描述的是在空間某一范圍（曲面）內(nèi)矢量的分布規(guī)律，不能反映空間一點(diǎn)的情況，因此引入散度以研究矢量場空間一點(diǎn)的分布規(guī)律。在矢量場中任一點(diǎn)作一閉合曲面S，當(dāng)閉合曲面所限定的體積時，為矢量場在點(diǎn)M處的散度。散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任一閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.5矢量場的通量和散度物理意義：描述了通量源的密度。該點(diǎn)有發(fā)出矢量線的正通量源。該點(diǎn)有匯聚矢量線的負(fù)通量源。該點(diǎn)無通量源。散度的計(jì)算公式：直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.5矢量場的通量和散度散度的相關(guān)公式（為常矢量）（為常量）第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.5矢量場的通量和散度4、散度定理——也稱高斯定理，是矢量分析中的一個重要定理矢量場的散度在體積V上的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合曲面S上的面積分（通量）。定義：散度定理是聯(lián)系體積分（散度）和面積分（通量）之間變換的一個重要定理，是矢量分析中一個重要的恒等式，在電磁場理論中非常有用。第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度通量和散度描述了通量源的分布情況，但不是所有的矢量場都是由通量源激發(fā)的。存在一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量線是閉合的，對任何閉合曲面的通量為0，而對場空間中任一閉合路徑的積分不為0——用環(huán)流和旋度來描述此類矢量源的分布情況。磁感應(yīng)線要么不穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度1、矢量場的環(huán)流矢量場沿場中的一條閉合路徑C的曲線積分：稱為矢量場沿閉合路徑C的環(huán)流。表明區(qū)域內(nèi)存在激發(fā)閉合矢量線的漩渦源，該矢量場稱為有旋矢量場。表明區(qū)域內(nèi)不存在漩渦源，矢量線不閉合，該矢量場稱為無旋矢量場或保守場。環(huán)流的意義：閉合路徑所圍面積內(nèi)激發(fā)矢量場場的漩渦源。第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度在點(diǎn)M處取一面元△S，為其法向單位矢量，當(dāng)時，極限：環(huán)流描述的是以C為邊界的區(qū)域內(nèi)的漩渦源狀態(tài)，為研究每一點(diǎn)附近的漩渦源狀態(tài)——引入環(huán)流面密度。矢量場在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度就是該點(diǎn)沿方向的漩渦源密度。環(huán)流面密度的大小與的方向有關(guān)。為矢量場在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度。第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度2、矢量場的旋度（2）矢量場在點(diǎn)M處的旋度就是該點(diǎn)的漩渦源密度；

矢量場的旋度為一矢量，記作，其大小等于環(huán)流面密度的最大值，方向?yàn)槿…h(huán)流面密度最大值時面元的法線方向，（1）通常稱為矢量場所產(chǎn)生的旋度場；（3）矢量場在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度等于在該方向的投影，即。第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度旋度的計(jì)算公式：直角坐標(biāo)系：圓柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度旋度的相關(guān)公式：——旋度的散度恒為0?！荻鹊男群銥?。第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度Eg1：證明證明:Eg2：證明第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度證明:第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.6矢量場的環(huán)流和旋度3、斯托克斯定理矢量場的旋度在曲面S上的面積分（旋度的面積分）等于矢量場在限定該曲面的閉合曲線C上的線積分（環(huán)流）。定義：斯托克斯定理定理是聯(lián)系面積分（旋度）和線積分（環(huán)流）之間變換的一個重要定理，是矢量分析中一個重要的恒等式，在電磁場理論中非常有用。第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.7無旋場和無散場散度和旋度反映了兩種不同性質(zhì)的矢量源：散度源（通量源）：標(biāo)量旋度源（漩渦源）：矢量任一矢量場可能由兩種矢量源中的一種產(chǎn)生，也可能由兩種源共同產(chǎn)生。不同性質(zhì)的矢量源產(chǎn)生的矢量場具有不同的性質(zhì)。第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.7無旋場和無散場1、無旋場若一矢量場的旋度處處為0，即，但其散度，則稱該矢量場為無旋場（有散無旋場）。由斯托克斯定理可知：，即無旋場的線積分與路徑無關(guān)，是保守場。梯度的旋度恒為0無旋場可由標(biāo)量場的梯度表示Eg:靜電場第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.7無旋場和無散場2、無散場若一矢量場的散度處處為0，即，但其旋度，則稱該矢量場為無散場（有旋無散場）。梯度的旋度恒為0無旋場可由標(biāo)量場的梯度表示Eg:恒定磁場第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.7無旋場和無散場4、有散、有旋場有散、有旋場可分解為兩個部分：無旋場部分和無散場部分。在空間內(nèi)，散度和旋度均不為0的矢量場稱為有散、有旋場。無旋場部分無散場部分3、無散、無旋場（矢量源在所討論的區(qū)域之外）若矢量場在一區(qū)域內(nèi)散度和旋度均為0，則稱矢量場在此區(qū)域內(nèi)為無散、無旋場（調(diào)和場）。注意：在整個空間內(nèi)不存在無散、無旋場。第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.7無旋場和無散場第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理1、拉普拉斯運(yùn)算直角坐標(biāo)系中：對標(biāo)量場的梯度（矢量場）求散度，即，稱為標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算，記作：圓柱坐標(biāo)系中：第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日球坐標(biāo)系中：矢量場的拉普拉斯運(yùn)算（已失去梯度的散度的概念）：在直角坐標(biāo)系中（對于直角分量）：注意：對于非直角分量（在圓柱坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系中）：Eg：第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理2、格林定理

——又稱格林恒等式，有散度定理推導(dǎo)得出。格林第一恒等式：格林第二恒等式:第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理2、格林定理散度定理：(1)設(shè)，和為體積V內(nèi)的兩個任意標(biāo)量，則有：（2）因?yàn)椋?