函數(shù)的上、下半連續(xù)性一、上、下半連續(xù)性的定義設(shè)函數(shù)

f

x在會(huì)集

E上有定義，x0

E為

E的一個(gè)聚點(diǎn)。fx在

x0處連續(xù)，用

語言描述，即：

0,

0,當(dāng)

x

E,x

x0

時(shí)，有fx0

f

x

f

x0

A若將此條件減弱，在不等式A中，只使用其中的一個(gè)不等式，那么就獲取半連續(xù)。定義設(shè)fx在x0及其周邊有定義，所謂fx在x0處上半連續(xù)，是指：0,0,當(dāng)xE,xx0時(shí)，恒有fxfx0。fx在x0處下半連續(xù)，是指：0,0,當(dāng)xE,xx0時(shí)，恒有fxfx0。推論fx在x0及其周邊有定義，則fx在x0處連續(xù)的充要條件是，fx在x0處既上半連續(xù)又下半連續(xù)。例11,xQDirichlet函數(shù)DxxRQ0,①在有理點(diǎn)處上半連續(xù)，但不下半連續(xù)。②在無理點(diǎn)的情況恰巧相反。例2考慮函數(shù)fxxDx,xR。當(dāng)x0時(shí)，跟Dx的結(jié)論同樣，②當(dāng)x0時(shí)，跟Dx的結(jié)論相反，③當(dāng)x0時(shí)，既上半連續(xù)又下半連續(xù)，所以在x0處連續(xù)。例3Riemann函數(shù),當(dāng)xp為既約整數(shù)，q0Rxqq0,當(dāng)x無理數(shù)①在無理點(diǎn)處既上半連續(xù)又下半連續(xù)。②在有理點(diǎn)處上半連續(xù)，但不下半連續(xù)。二、上、下半連續(xù)性的等價(jià)描述定理1設(shè)fx在會(huì)集E上有定義，x0為E的一個(gè)聚點(diǎn)且x0E。則以下斷言等價(jià)：1、fx在x0處上半連續(xù)（即：0,0,當(dāng)xE,xx0時(shí)，恒有fxfx0）2_____、limfxfx0xx0_____3、xn:xnE,xnx0，必有l(wèi)imfxnfx0x證明：12顯然，因0,0,當(dāng)xE,xx0時(shí)，有fxfx0對上式取極限，并注意0的任意性，即得2。23由__________xnx0，limfxmaxlimfxnxnE,xnx0xx0nlimfxminlimfxnxnE,xnx0xnx0xx0n直接可得。1（用反證法）設(shè)fx在x0處不上半連續(xù)，則00,n10,xnE,0xnx0n1，nn使得fxnfx00。這與已知條件3矛盾。當(dāng)且僅當(dāng)fx會(huì)集E中各處上（下）半連續(xù)時(shí)稱fx在E中上（下）半連續(xù)。定理2設(shè)E為閉集，fx在E上有定義，則fx在E中上半連續(xù)的充要條件是：c,，會(huì)集FcxE:fxc為閉集。證明必要性為了證明Fc為閉集，即要證明xnFc,xnx0，必有x0Fc，此時(shí)xnE，而E為閉集，所以x0E。要證x0Fc，只要證fx0c。事實(shí)上，由xnFc知fxncn1,2,，從而有____1有l(wèi)imfxnc。因fx在上半連續(xù)，依照定理fx0limfxlimfxncxx0n充分性（反證法）若fx不在E中上半連續(xù)，則最少存在一點(diǎn)x0E，fx在x0不上半連續(xù)，即0,n1E,xnx01fx00。0,xn，但fxnnn取數(shù)c，使fx00cfx0，于是依照Fc的定義xnFc,x0Fc但xnx0（當(dāng)n），F(xiàn)為閉集，應(yīng)有x0Fc矛盾，證畢。注（1）上半連續(xù)與下半連續(xù)是對偶的看法。一方有什么結(jié)論，另一方也有相應(yīng)的結(jié)論。定理2的對偶結(jié)論留給學(xué)生做為習(xí)題。（2）定理2給出了半連續(xù)的又一等價(jià)形式，其中未用語言，只用了閉集的看法。這為半連續(xù)實(shí)行到一般拓?fù)淇臻g，作了準(zhǔn)備。三、上、下半連續(xù)的性質(zhì)1、運(yùn)算性質(zhì)定理3（1）若在a,b，函數(shù)fx,gx上、下半連續(xù)，則它們的和fxgx亦在a,b中上、下半連續(xù)。2）若在a,b上fx上下半連續(xù)，則-fx在a,b中為下、上半連續(xù)。（3）若在a,b上，函數(shù)fx及gx0，且上半連續(xù)（或fx及gx0，且下半連續(xù)）則它們的積fx·gx在a,b上為上半連續(xù)。若fx0上、下半連續(xù)，gx0為下（上）半連續(xù)，則fx·gx下（上）半連續(xù)。（4）若在a,b上，fx0上（下）半連續(xù)，則1在a,b上為fx下（上）半連續(xù)。這里只對（1）中上半連續(xù)的情況進(jìn)行證明，證法1（利用半連續(xù)的定義）因fx,gx上半連續(xù)，x0a,b,0,0,當(dāng)xx0,xa,b時(shí)有fxfx0,gxgx022所以fxgxfx0gx0故fxgx在a,b上上半連續(xù)。證法2（利用上半連續(xù)的等價(jià)描述）因fx,gx在a,b中上半連續(xù)，x0a,b有__________limfxfx0,limgxgx0（定理1）xx0xx0但_______________limfxgxlimfxlimgxfx0gx0xx0xx0xx0故fxgx在a,b中上半連續(xù)。2、保號(hào)性上半連續(xù)函數(shù)有局部保負(fù)性（即：若fx在x0處上半連續(xù)，fx00，則0，使得xx0,x0時(shí)有fx0）。同樣，下半連續(xù)函數(shù)有局部保正性，這些由定義直接可得。3、無介值性半連續(xù)函數(shù)，介值定理不成立。比方：11,當(dāng)0xfx

210,當(dāng)x1在0,1上fx是上半連續(xù)的，但a0,1f1,f0，無x0,1使得fx=a。4、關(guān)于fx的界定理4有界閉區(qū)間上的上半連續(xù)函數(shù)，必有上界，且達(dá)到上確界，詳盡來說，若fx在a,b上上半連續(xù)，則（1）（2）

fx在a,b上有上界（M0使fxM,xa,b）。fx在a,b上達(dá)到上確界（即x0a,b使得fx0supfx）xa,b證明先證明（1）（反證法）若fx無界，則xna,b，使得fxnnn1,2由致密性原理，在xn中存在收斂的子序列xnk，使xnkx0（當(dāng)k）。因a,b為閉的，故x0a,b，但fxnnk，當(dāng)k時(shí)，fxn，kk_____所以limfx。x0但fx在a,b上上半連續(xù)，應(yīng)有下證（2）

_____limfxfx0，故fx0=+矛盾。xx0因fx上有界，supfxM，若fx在a,b上達(dá)不到上確界，xE則xa,b,fxM,Mfx0所以1在a,b上上半連續(xù)（定Mfx理3），從而有上界，即M0,使xa,b有1MMfx即：fx1MM這與Msupfx矛盾。xE證法2利用有限覆蓋定理進(jìn)行證明。思慮題：關(guān)于下半連續(xù)相應(yīng)的定理如何表達(dá)若把閉區(qū)間改為任意的休會(huì)集，結(jié)論可否正確。事實(shí)上，上面的定理4可做以下實(shí)行。定理：假定X為緊集，f是上半連續(xù)的，則f在X上必有最大值。證明：因f是上半連續(xù)的實(shí)值函數(shù)故x1X，f(x)必在x1的某一鄰域N(x1)內(nèi)有上界，故x1X，f(x)必在x1的某一鄰域N(x1)內(nèi)有上確界，設(shè)f(x)在x1的鄰域N(x1)內(nèi)的上確界為Mx1構(gòu)造鄰域簇{N(xi),i1,2,3....}，顯然XN(xi)i而由條件X為緊集，故存在自然數(shù)k使得：kN(xi)Xi1用Mxi分別表示f(x)在N(xi)中的上確界，其中i1,2,3,...k令Mmax{Mx1,Mx2......Mxk}顯然M必為f(x)在X上的最大值。定理5若函數(shù)fx在a,b內(nèi)半連續(xù)，則必存在內(nèi)閉區(qū)間a,b，使fx在,上保擁有界。證：以下半連續(xù)為例進(jìn)行證明。設(shè)fx在a,b內(nèi)下半連續(xù)，來證,a,b使得fx在,上有界，用反證法，設(shè),a,b，fx總在,上無上界，于是：1、x1a,b使得fx11，因fx下半連續(xù)，故10（不如令11），2使得1x11,x11a,b且x1有fx12、因fx在任何內(nèi)閉區(qū)間上無上界，所以對1，x21使得fx22從而由fx的下半連續(xù)性，知20（不如令21）使得22x2x22,x221時(shí)，有fx2。3、這樣連續(xù)下去，我們獲取一串閉區(qū)間：123n，區(qū)間長n2n20（當(dāng)n時(shí)）且在每個(gè)區(qū)間n上，恒有2nfxn。4、依照區(qū)間套定理nn1,2。所以f，矛盾。我們已經(jīng)知道，連續(xù)函數(shù)單調(diào)序列的極限不用然是連續(xù)的。比方fnxxn在0,1上連續(xù)，當(dāng)n增加時(shí)單調(diào)下降有極限1,x1fx0,0x1但極限函數(shù)fx在0,1上不連續(xù)。定理6（保半連續(xù)性）設(shè)函數(shù)fnx在E上有定義，且上半連續(xù)n1,2,fnxfx，即：f1xf2xfnxfn1xxE且limfnxfx。則fx在E上上半連續(xù)。n證明（我們的任務(wù)在于證明：x0E,0,0，當(dāng)xE,xx0時(shí)有fxfx0）1、x0E，因fx0limfnx0，所以0，N0，當(dāng)nN時(shí)有nfnx0fx02、將n固定，因fnx在E上上半連續(xù)，所以0，當(dāng)xE,xx0時(shí)有fnxfx0。3、又fnxfx，fxfnx，故更有fxfx0這就證了然fx在E上上半連續(xù)。下面，我們提出相反的問題：可否半連續(xù)函數(shù)必然可以作為連續(xù)函數(shù)的單調(diào)極限呢回答是必然的。定理7設(shè)fx在a,b上有定義，且上半連續(xù)，則存在一個(gè)遞減的連續(xù)函數(shù)序列f1xf2xfn1x使得limfnxfx（即：上半連續(xù)函數(shù)，總可用連續(xù)函數(shù)從上方逼近）n證明第一構(gòu)造函數(shù)序列

fn

x

，爾后證明

fn

x

連續(xù)，

，有下界，從而limfnn

x存在記為gx

，爾后證明gx

f

x。1、構(gòu)造（

fn

x）關(guān)于固定的

x與n，函數(shù)

nx

x是

x

的連續(xù)函數(shù)，所以上半連續(xù)，已知fx是上半連續(xù)的，fx

nx

x是

x

的上半連續(xù)函數(shù)（定理

3），從而在

a,b上有上界，且達(dá)到上確界（定理

4），即

x*

a,b

使得f

x*

nx*

x

max

f

x

nx

x

（1）xa,b（注意

x*實(shí)質(zhì)與

n,x有關(guān)，

x*

xn

*

x）今定義

fn

x

maxxa,b

f

x

nx

x

（2）下面證明fn滿足各項(xiàng)要求。2(證明fnx連續(xù)）由（1）、（2）式知fnxfxnx*xfxnxx,xa,b（3）從而fn

x

f

x*n

x

nxn*

x

xf

xn*

x

nxn*

x

x

nx

xfn

x

nx

x所以

fn

x

fn

x

nx

x此式對任意的x,xa,b都成立，x，x互換也成立，所以得fnxfnxnxx此式表示fnx在a,b上連續(xù)。3、（證明fn）設(shè)m

n，則fn

x

fx*m

x

nxm*

x

x（由式

3）f

x*m

x

mx*m

x

x（因

m

n）fm

x所以fn。4、（fnx序列有下界）對任一固定的x，在（3）式中令xx，可知fnxfx（對所有nN成立），故xa,b，fnx有下界。5、由3、4知;gxlimfnx存在且fx。n6、（證明gxfx）因fx上半連續(xù)，0,0，當(dāng)xa,b，xx時(shí)有fxfx(4)又因?yàn)閒x上半連續(xù)，所以在a,b上上有界，所以對固定的x，當(dāng)n時(shí)有xn*x。這是因?yàn)閒nxfxn*xnxn*xx若xn*x不收斂于x，則x的鄰域x1,x