利息理論孟生旺

中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院/mengshw

1精選ppt主要內(nèi)容利息的度量年金計(jì)算投資收益?zhèn)鶆?wù)償還證券定價(jià)：債券、股票、衍生產(chǎn)品（遠(yuǎn)期、期貨、互換、期權(quán)）利率風(fēng)險(xiǎn)2精選ppt利息度量(1)（Measurementsofinterest）3精選ppt在日常生活中：如何度量速度？距離/時(shí)間瞬時(shí)速度如何度量死亡率？死亡人數(shù)/期初生存人數(shù)死亡力如何度量利率？利息/本金利息力（連續(xù)復(fù)利）4精選ppt1.1利息的基本函數(shù)利息（interest）的定義：借用他人資金所需支付的成本，或出讓資金所獲得的報(bào)酬。利息存在的合理性資金的稀缺性時(shí)間偏好資本生產(chǎn)力5精選ppt關(guān)于利息的幾個(gè)基本概念本金（principal）：初始投資的資本金額。累積值（accumulatedvalue）：過一段時(shí)期后收到的總金額。利息（interest）——累積值與本金之間的差額。6精選ppt積累函數(shù)(Accumulationfunction)

累積函數(shù)是指期初的1元本金在時(shí)刻t時(shí)的累積值,通常被記為a(t)。性質(zhì)：a(0)=1；a(t)通常是時(shí)間的遞增函數(shù)；當(dāng)利息是連續(xù)產(chǎn)生時(shí)，a(t)是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)利息是跳躍產(chǎn)生時(shí)，a(t)是間斷函數(shù)。

注：一般假設(shè)利息是連續(xù)產(chǎn)生的。7精選ppt例：考察下面常見的積累函數(shù)（1）常數(shù)：a(t)=1（2）線性：a(t)=1+0.1t（3）指數(shù)：a(t)=(1+0.1)t

上述3個(gè)函數(shù)是否滿足積累函數(shù)的性質(zhì)？8精選ppt對(duì)應(yīng)哪些生活中的實(shí)例？9精選ppt10ta(t)累積函數(shù)？對(duì)應(yīng)哪些生活中的實(shí)例？10精選ppt金額函數(shù)（Amountfunction）當(dāng)原始投資不是1個(gè)單位的本金，而是k個(gè)單位時(shí)，則把k個(gè)單位本金的原始投資在時(shí)刻t的積累值記為A(t),稱為金額函數(shù)。性質(zhì)A(0)=k；A(t)=k·a(t),k>0,t≥011精選ppt利息（interest）的數(shù)學(xué)定義從投資之日算起，在第n個(gè)時(shí)期所獲得的利息金額記為I(n)

，則利息金額I(n)

在整個(gè)時(shí)期內(nèi)產(chǎn)生，但在最后時(shí)刻實(shí)現(xiàn)（支付、得到）。金額函數(shù)A(t)在時(shí)間段[t1,t2]內(nèi)所獲得的利息金額為12精選ppt1.2實(shí)際利率（effectiverateofinterest）實(shí)際利率i

等于某一時(shí)期開始時(shí)投資1單位本金，在此期間末應(yīng)獲得的利息：實(shí)際利率i是某個(gè)時(shí)期獲得的利息金額與期初本金之比：13精選ppt實(shí)際利率經(jīng)常簡(jiǎn)稱為利率，用百分比來(lái)表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整個(gè)時(shí)期視為常數(shù)；通常的計(jì)息期為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間單位，如年、月、日。若無(wú)特別說(shuō)明，實(shí)際利率是指年利率。實(shí)際利率可對(duì)任何時(shí)期來(lái)計(jì)算。第n個(gè)時(shí)期的實(shí)際利率為附注：14精選ppt例：

把1000元存入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年末存款余額為1050元，求第一年和第二年的實(shí)際利率分別是多少？15精選ppt解：

16精選ppt1.3單利(simpleinterest)假設(shè)在期初投資1單位，在每個(gè)時(shí)期末得到完全相同的利息金i

，即只有本金產(chǎn)生利息，而利息不會(huì)產(chǎn)生新的利息，這種計(jì)息方式稱為單利，i稱為單利率。單利的積累函數(shù)滿足下述性質(zhì)：上述單利的積累函數(shù)對(duì)t≥0的整數(shù)值才有定義。17精選ppt考慮單利的一個(gè)直觀性質(zhì)：從時(shí)間t開始到時(shí)間t＋s所產(chǎn)生的利息等于從時(shí)間0開始到時(shí)間s所產(chǎn)生的利息。即相同的時(shí)期產(chǎn)生相同的利息。當(dāng)t為非整數(shù)時(shí)，單利的累積函數(shù)（了解）：0stt+s18精選ppt假設(shè)a(t)可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的定義有在上式中，用s代替t，并在等式兩端從0到t積分，即得19精選ppt現(xiàn)在只需求出，即可求得單利條件下的累積函數(shù)

若令t=1，則由上式有而由前面可知，a(1)=1+i因此a(t)=1+it

上述推導(dǎo)過程沒有限制t為正整數(shù)，因此對(duì)一切大于零的時(shí)間t都是成立的。20精選ppt單利的累積函數(shù)

21精選ppt常數(shù)的單利并不意味著實(shí)際利率(effectiverate)是常數(shù)！問題:為什么在每個(gè)時(shí)期所獲的利息金額相等，而實(shí)際利率卻越來(lái)越小呢？因此，實(shí)際利率是n的遞減函數(shù)。單利與實(shí)際利率的關(guān)系：22精選ppt例若每年單利為8％，求投資2000元在4年后的積累值和利息。累積值為：所得利息的金額為23精選ppt單利的應(yīng)用:t的確定,t=投資天數(shù)/每年的天數(shù)（1）精確單利，記為“實(shí)際/實(shí)際”（actual/actual），即投資天數(shù)按兩個(gè)日期之間的實(shí)際天數(shù)計(jì)算，每年按365天計(jì)算。（2）銀行家規(guī)則

(banker’srule)，記為“實(shí)際/360”，即投資天數(shù)按兩個(gè)日期之間的實(shí)際天數(shù)計(jì)算，而每年按360天計(jì)算。（3）“30/360”規(guī)則，即在計(jì)算投資天數(shù)時(shí)，每月按30天計(jì)算,每年按360天計(jì)算。兩個(gè)給定日期之間的天數(shù)按下述公式計(jì)算：其中支取日為Y2年M2月D2日，存入日為Y1年M1月D1日。24精選ppt例：若在1999年6月17日存入1000元，到2000年9月10日取款，年單利利率為8％，試分別按下列規(guī)則計(jì)算利息金額：（1）“實(shí)際/實(shí)際”規(guī)則（2）“30/360”規(guī)則（3）“實(shí)際/360””規(guī)則25精選ppt（1）從1999年6月17日到2000年9月10日的精確天數(shù)為451（應(yīng)用EXCEL），因此利息金額為（2）根據(jù)“30/360”規(guī)則，投資天數(shù)為因此利息金額為（3）根據(jù)“實(shí)際/360”規(guī)則計(jì)算的利息金額為26精選ppt單利的缺陷：不滿足一致性令t=t1+t2

則含義：分兩段投資將產(chǎn)生更多利息。問題：分段越來(lái)越多，產(chǎn)生的利息是否會(huì)越來(lái)越多？最多是多少？連續(xù)利率計(jì)息。27精選ppt1.4復(fù)利(compoundinterest)在單利情形下，前面時(shí)期所獲得的利息并沒有在后面的時(shí)期獲取利息。假設(shè)年初存入1000元，每年的利率為5％，則每年末可獲利50元，因此在年末有1050元可以用來(lái)投資。如果按照1050元來(lái)計(jì)算，將在明年末獲得利息為52.5元，比只按照1000元投資要多獲得利息2.5元。復(fù)利的基本思想：利息收入被再次計(jì)入下一期的本金，即所謂的“利滾利”。28精選ppt復(fù)利的積累函數(shù)考慮期初投資1，它在第一年末的積累值為1＋i;余額1＋i可以在第二期初再投資，在第二期末積累值將達(dá)到(1+i)+(1+i)i=(1+i)2;在第三期末將達(dá)到(1+i)2+(1+i)2i=(1+i)3一直持續(xù)下去……，對(duì)于整數(shù)時(shí)期t，積累函數(shù)為29精選ppt對(duì)于非整數(shù)t，復(fù)利的累積函數(shù)（了解）設(shè)a(t)可導(dǎo)，則由導(dǎo)數(shù)的定義得如何求出a(t)的表達(dá)式？30精選ppt因此，將t換成r，并將等式從0到t積分，有注：a(0)=1求出即可！31精選ppt可見，對(duì)于非整數(shù)t，同樣有若取t=1,則有又因?yàn)楣室虼擞煽梢郧蟮?2精選ppt復(fù)利的累積函數(shù)

33精選ppt常數(shù)的復(fù)利率意味著實(shí)際利率也為常數(shù)復(fù)利與實(shí)際利率的關(guān)系34精選ppt單利與復(fù)利之間的關(guān)系（下圖）單利的實(shí)際利率逐期遞減，復(fù)利的實(shí)際利率保持恒定。當(dāng)0<t<1時(shí)，單利比復(fù)利產(chǎn)生更大的積累值。當(dāng)t>1時(shí)，復(fù)利比單利產(chǎn)生更大的積累值。當(dāng)t=1或0時(shí)，單利和復(fù)利產(chǎn)生相同的累積值。復(fù)利單利35精選ppt

單利累積函數(shù)：是一條直線復(fù)利累積函數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)大于0，二階導(dǎo)數(shù)也大于0。下凸曲線。兩個(gè)交點(diǎn)：0和1。復(fù)利單利36精選ppt37精選ppt38精選ppt39精選ppt例按復(fù)利和單利分別計(jì)算，當(dāng)年利率為11％時(shí)，開始應(yīng)投資多少元錢才能使第5年的本金和利息總和積累到1000元?40精選ppt1.5貼現(xiàn)（discount）思考：在期初開始時(shí)應(yīng)投資多少，才能使得年末的本金和利息總額恰好為1?這是一個(gè)求現(xiàn)值的過程，即貼現(xiàn)過程，與累積過程互逆。時(shí)刻t的1個(gè)貨幣單位在時(shí)刻0的價(jià)值稱為貼現(xiàn)函數(shù)。用a-1(t)表示。0t1a(t)a-1(t)141精選ppt貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)單利的貼現(xiàn)函數(shù)復(fù)利的貼現(xiàn)函數(shù)42精選ppt

單利和復(fù)利的現(xiàn)值比較：金額為1

43精選ppt

單利和復(fù)利的現(xiàn)值比較：金額為1

44精選ppt注：除非特別申明，今后一概用復(fù)利計(jì)算現(xiàn)值。(1+i)t稱為1在t時(shí)期末的累積值，而vt=(1+i)-t

稱為t時(shí)期末支付1元的現(xiàn)值。45精選ppt(1+i)累積因子：accumulationfactor

t年累積因子：t-yearaccumulationfactor貼現(xiàn)因子：discountfactorvt

t年貼現(xiàn)因子：t-yeardiscountfactor幾個(gè)術(shù)語(yǔ)：46精選ppt

實(shí)際貼現(xiàn)率：d

(effectiverateofdiscountwithcompoundinterest)實(shí)際貼現(xiàn)率等于一個(gè)時(shí)期的利息收入與期末累積值之比：利息——按期初余額計(jì)算，在期末支付。貼現(xiàn)——按期末余額計(jì)算，在期初支付。例：A向銀行借100，為期1年，銀行預(yù)收6的利息，而僅給A支付94，一年后A還給銀行100。貼現(xiàn)率為6％。利率是多少？47精選ppt第n個(gè)時(shí)期的實(shí)際貼現(xiàn)率等于當(dāng)單利率為i，單貼現(xiàn)率是n的遞減函數(shù)。當(dāng)復(fù)利率為i時(shí)，復(fù)貼現(xiàn)率是常數(shù)。48精選ppt利率i與貼現(xiàn)率d的關(guān)系（1）11+i01當(dāng)期利息：i根據(jù)貼現(xiàn)率的定義49精選ppt利率i與貼現(xiàn)率d的關(guān)系（2）1-d101當(dāng)期利息：d期末的1元在期初的現(xiàn)值為：

此現(xiàn)值用貼現(xiàn)率d表示即為：故有下圖：根據(jù)利率的定義，有50精選ppt證明：注：把期末支付的利息i

貼現(xiàn)到期初，即得iv，等于在期初支付的d。換言之，期末的i相當(dāng)于期初的d。利率i與貼現(xiàn)率d的關(guān)系（3）51精選pptv=1–d解釋：期末的1在期初的現(xiàn)值既可以表示為v，也可以表示為1–d。貼現(xiàn)函數(shù)可表示為a–1(t)=

累積函數(shù)可表示為a(t)=

011v（1－d）利率i與貼現(xiàn)率d的關(guān)系（4）證明：52精選ppti–d=id解釋：1元本金在期末時(shí)可以賺取i元利息，(1–d)元本金在期末時(shí)可以賺取d元利息。產(chǎn)生(i–d)元利息差額的原因就在于原始本金存在d元差額。而這d元本金差額在本期可以賺取的利息正好是id。本金（Principal）利息（interest）累積值（Accumulatedvalue）1i1+i1-dd1

本金之差:d→

利息之差

di

利息之差:i–d利率i與貼現(xiàn)率d的關(guān)系（5）證明：53精選ppt

例:

i=5%=1/20,

d=1/21證明：利率i與貼現(xiàn)率d的關(guān)系（6）54精選ppt利率貼現(xiàn)率利率i和貼現(xiàn)率d的關(guān)系55精選ppt貼現(xiàn)率利率貼現(xiàn)率d和利率i的關(guān)系56精選ppt例若現(xiàn)有面額為100元的零息債券在到期前一年的價(jià)格為95元，同時(shí)，一年期儲(chǔ)蓄的利率為5.25％，如何進(jìn)行投資選擇?存款還是購(gòu)買債券？57精選ppt解：從貼現(xiàn)的角度看，零息債券的貼現(xiàn)率d＝5%而儲(chǔ)蓄的貼現(xiàn)率d＝i/(1+i)=4.988％<5%因此投資債券合算。從利息的角度看，零息債券的利率而儲(chǔ)蓄的利率為5.25％<5.26％因此投資債券合算。58精選ppt貼現(xiàn)方式單貼現(xiàn)（了解）：每個(gè)時(shí)期的貼現(xiàn)金額都是常數(shù)。在t時(shí)期末產(chǎn)生積累值