等額年金(I)

（LevelAnnuity）孟生旺中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院1精選ppt年金（annuity）最初的涵義：一年付款一次，每次支付相等金額的一系列款項(xiàng)?，F(xiàn)在的含義：一系列的付款（或收款）。2精選ppt年金的類(lèi)型按照年金的支付時(shí)間和支付金額是否確定，分為確定年金(Annuity-certain)和風(fēng)險(xiǎn)年金(contingentannuity)。按照年金的支付期限長(zhǎng)短，分為定期年金（period-certainannuity)和永續(xù)年金（Perpetuity）。按照年金在每期的支付時(shí)點(diǎn)不同，分為期初付年金（annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate）。按照年金開(kāi)始支付的時(shí)間不同，分為即期年金和延期年金（deferredannuity）。按照每次付款的金額是否相等，分為等額年金(levelannuity)和變額年金(varyingannuity)。3精選ppt本節(jié)主要內(nèi)容（等額年金）期末付年金（Annuity-immediate）

期初付年金（Annuity-due）

期初付與期末付年金的關(guān)系延期年金（deferredannuity）永續(xù)年金（Perpetuity）4精選ppt1、期末付年金（Annuity-immediate）期末付年金的含義：在n個(gè)時(shí)期中，每個(gè)時(shí)期末付款1。101123n-1n1115精選ppt

的表達(dá)式n期期末付年金的現(xiàn)值記為，a表示annuity，i表示每期的實(shí)際利率（可省略）。在第1個(gè)時(shí)期末付款1的現(xiàn)值為，在第二個(gè)時(shí)期末付款1的現(xiàn)值為，這樣繼續(xù)下期，直到第n個(gè)時(shí)期末付款1的現(xiàn)值為，故期末付年金的現(xiàn)值6精選ppt

期末付定期年金的現(xiàn)值

7精選ppt 的表達(dá)式n期期末付年金在n時(shí)的積累值之和記為，i表示每期的實(shí)際利率（可省略）。在第1個(gè)時(shí)期末付款1的積累值是，在第二個(gè)時(shí)期末付款1的積累值為，……，第n個(gè)時(shí)期末付款1的積累值為1。期末付年金的累積值（終值）8精選ppt期末付定期年金的終值

9精選ppt一些等價(jià)關(guān)系式：（1）含義：初始投資1，歷時(shí)n個(gè)時(shí)期。在每個(gè)時(shí)期，此投資1將產(chǎn)生在期末支付的利息i，這些利息的現(xiàn)值為。在第n個(gè)時(shí)期末，收回本金1，其現(xiàn)值為。（2）

含義：積累值等于現(xiàn)值乘以積累因子。1iii……1010精選ppt（3）證明：(參見(jiàn)下頁(yè)圖示）11精選ppt0n1……iiiii+1112精選ppt例：有一筆1000萬(wàn)元的貸款，為期10年，若年實(shí)際利率為9％，試對(duì)下面三種還款方式比較其利息總量。本金和利息在第10年末一次還清；每年產(chǎn)生利息在當(dāng)年末支付，而本金在第10年末歸還。在10年期內(nèi)，每年末償還相同的金額。問(wèn)題：請(qǐng)先推測(cè)大小？13精選ppt解：（1）貸款在10年末的累積值為利息總額為2367.36-1000＝1367.36（2）每年的利息為90萬(wàn)元，利息總額為

10×90＝90014精選ppt（3）設(shè)每年的償還額為R，則解得

故利息總額為155.82×10－1000＝558.2

結(jié)論：償還越遲，利息總量越高。15精選ppt2、期初付年金（annuity-due）

期初付年金的含義：在n個(gè)時(shí)期中，每個(gè)時(shí)期期初付款1。

1111……1

0123……n-1n

16精選ppt期初付定期年金的現(xiàn)值

17精選ppt期初付定期年金的終值18精選ppt記號(hào)——表示期初付年金的現(xiàn)值，i可省略記號(hào)——表示期初付年金的積累值，i可省略19精選ppt和的關(guān)系（1）（2）（顯然）（證明見(jiàn)下頁(yè)）20精選ppt證明：（參見(jiàn)下圖解釋?zhuān)?1精選ppt0n1……dddd11d22精選ppt3、期初付年金和期末付年金的比較期末付年金期初付年金23精選ppt期末付年金與期初付年金的關(guān)系（1）（2）

24精選ppt（3）（下頁(yè)圖示）說(shuō)明:的n次付款可以分解為第1次付款再加上后面的(n–1)次付款。第1次付款的現(xiàn)值為1元，而后(n–1)次付款的現(xiàn)值為。25精選ppt1Presentvalue＝+26精選ppt（4）11……11n期127精選ppt4、延期年金（deferredannuity）延期年金的含義：推遲若干時(shí)期后才開(kāi)始付款的年金。推遲m個(gè)時(shí)期，且隨后有n個(gè)時(shí)期的期末付年金可看作一個(gè)m＋n期期末付年金扣除一個(gè)m期的年金。延期年金現(xiàn)值為28精選ppt例：

某年金共有7次付款1，分別在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的現(xiàn)值和在第12期末的積累值。29精選ppt年金的現(xiàn)值等于也等于30精選ppt此年金在第12期的積累值等于也等于31精選ppt5、永續(xù)年金（Perpetuity）永續(xù)年金：可以持續(xù)支付下去的年金，沒(méi)有結(jié)束日期。記號(hào)表示期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值。永續(xù)年金可看作將本金按利率i投資，每期支付利息，本金持續(xù)進(jìn)行投資。32精選ppt記號(hào)——表示期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值。33精選pptn年的期末付年金可看作下述兩個(gè)永續(xù)年金之差：第一個(gè)是每年末付款1，現(xiàn)值為；第二個(gè)是推遲n年，從n+1年開(kāi)始每年支付1，現(xiàn)值為，因此n年的期末付年金的現(xiàn)值等于（參見(jiàn)下圖）34精選ppt現(xiàn)金流時(shí)間圖35精選ppt年金公式比較年金定期年金永續(xù)年金現(xiàn)值積累值期末付期初付36精選ppt例：

某人留下遺產(chǎn)10萬(wàn)元。第一個(gè)10年將每年的利息付給受益人A，第二個(gè)10年將每年的利息付給受益人B，二十年后將每年的利息付給慈善機(jī)構(gòu)C。若此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)的年實(shí)際收益率為7％，確定三個(gè)受益者的相對(duì)受益比例。37精選ppt解：10萬(wàn)元每年產(chǎn)生的利息是7000元。A所占的份額是B所占的份額是C所占的份額是

38精選ppt從現(xiàn)值的角度看，A、B、C受益比例近似為49％，25％和26％。注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10萬(wàn)元，其現(xiàn)值等于39精選ppt6、可變利率年金問(wèn)題：如果用ik表示第k個(gè)時(shí)期的利率，即從時(shí)刻k-1到時(shí)刻k這段時(shí)間的利率，分別表示第1，2，…，t期的利率。如何計(jì)算年金的現(xiàn)值和累積值？012n-1ni1i2in40精選ppt例：第一年初的1元，計(jì)算它在第二年末的終值時(shí)，它在第2年的利率按什么計(jì)算？以它投資時(shí)的利率i1計(jì)算以第二年的利率i2計(jì)算012i1i21?41精選ppt期末付年金的現(xiàn)值解決途徑：

1、每筆款項(xiàng)以經(jīng)歷時(shí)期的利率計(jì)算012n-1ni1i2in111142精選ppt期初付年金的現(xiàn)值012n-1ni1i2in111143精選ppt期末付年金的累積值012n-1ni1i2in111144精選ppt期初付年金的累積值（請(qǐng)大家寫(xiě)出）012n-1ni1i2in111145精選ppt2、每筆款項(xiàng)都以其支付時(shí)的利率ik計(jì)算（了解）期末付年金的現(xiàn)值期末付年金的累積值012n-1ni1i2in111146精選ppt期初付年金的現(xiàn)值期初付年金的累積值012n-1ni1i2in111147精選ppt注：1、在可變利率條件下，下式仍然成立（請(qǐng)驗(yàn)證）：

2、在實(shí)踐中，利率常常是幾個(gè)時(shí)期才改變一次。此時(shí)，可以利用基