第二章導(dǎo)熱微分方程式第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日§2-1溫度場和溫度梯度一、溫度場（Temperaturefield）

各時刻物體中各點溫度分布的總稱

溫度場是時間和空間的函數(shù)t—為溫度;x,y,z—為空間坐標(biāo);-時間坐標(biāo)穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維溫度場：

二維溫度場：

三維溫度場：

一維穩(wěn)態(tài)溫度場：

穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、等溫面與等溫線(1)溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交

等溫面：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連接起來所構(gòu)成的面

等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在該平面上得到一個等溫線簇

等溫面與等溫線的特點(2)在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中斷，它們要么封閉,要么終止于物體表面上(3)等溫線的疏密可直觀地反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊南鄬Υ笮?4)等溫面一般都不彼此平行第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、溫度梯度（Temperaturegradient）等溫面上沒有溫差，不會有熱傳遞溫度梯度是用以反映溫度場在空間的變化特征的物理量

不同的等溫面之間，有溫差，有導(dǎo)熱系統(tǒng)中某一點所在的等溫面與相鄰等溫面之間的溫差與其法線間的距離之比的極限為該點的溫度梯度，記為gradt

溫度梯度是矢量；正方向朝著溫度增加最大的方向第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日四、熱流密度矢量(Heatflux)

直角坐標(biāo)系中：熱流密度矢量：等溫面上某點，以通過該點處最大熱流密度的方向為方向、數(shù)值上正好等于沿該方向的熱流密度不同方向上的熱流密度的大小不同熱流密度：單位時間單位面積上所傳遞的熱量溫度梯度和熱流密度的方向都是在等溫面的法線方向。由于熱流是從高溫處流向低溫處，因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。

t+Δttt-Δt第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日§2-2導(dǎo)熱基本定律和導(dǎo)熱系數(shù)一、傅里葉定律（Fourier’slaw）：1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(Fourier)在實驗研究基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)熱基本規(guī)律導(dǎo)熱基本定律：系統(tǒng)中任一點的熱流密度與該點的溫度梯度成正比而方向相反熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）傅里葉定律只適用于均質(zhì)各向同性材料的純導(dǎo)熱現(xiàn)象：

熱導(dǎo)率在各個方向是相同的矢量形式標(biāo)量形式第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、導(dǎo)熱系數(shù)（Thermalconductivity）由傅利葉定律得到(標(biāo)量形式):物理意義：在數(shù)值上等于單位溫度梯度作用下單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量。表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小，由實驗測定。影響熱導(dǎo)率的因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等導(dǎo)熱系數(shù)反映了物質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。

第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日不同物質(zhì)導(dǎo)熱機(jī)理氣體的導(dǎo)熱系數(shù)依靠分子無規(guī)則的熱運動和相互碰撞實現(xiàn)熱量傳遞液體的導(dǎo)熱系數(shù)主要依靠晶格的振動也有分子的無規(guī)則運動和碰撞固體的熱導(dǎo)率依靠自由電子的遷移和晶格的振動，主要依靠前者

a)金屬的熱導(dǎo)率：依靠晶格的振動傳遞熱量；b)非金屬的熱導(dǎo)率：

T導(dǎo)熱系數(shù)

T導(dǎo)熱系數(shù)

T導(dǎo)熱系數(shù)

T導(dǎo)熱系數(shù)第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日不同物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)當(dāng)λ<0.12W/(m℃)(GB4272-92)時，這種材料稱為保溫材料。高效能的保溫材料多為蜂窩狀多孔結(jié)構(gòu)。1.防潮2.避免擠壓3.在中低溫中第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日導(dǎo)熱系數(shù)λ的取值λ＝const，不考慮溫度對其影響，認(rèn)為λ是溫度的線性函數(shù)第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日§2-3導(dǎo)熱微分方程式及定解條件傅里葉定律：確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+能量守恒定律一、導(dǎo)熱微分方程式假設(shè)：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)

(2)熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知首要任務(wù)第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日在導(dǎo)熱體中取一微元體導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量根據(jù)能量守恒定律，單位時間內(nèi)微元體熱平衡的關(guān)系式：微元體產(chǎn)生的熱量微元體的內(nèi)能變化量＋＝123第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日xyzdQxdQx+dxdQydQy+dydQz+dzdQz單位時間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x表面導(dǎo)入的熱量：單位時間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x+dx表面導(dǎo)出的熱量：單位

時間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量

1導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日凈熱量：單位

時間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量單位

時間內(nèi)、沿y軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量單位

時間內(nèi)、沿z軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日2單位時間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量3單位時間微元體熱力學(xué)能的增量第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日凈熱量＋內(nèi)熱源發(fā)熱量=內(nèi)能增量導(dǎo)熱微分方程式導(dǎo)熱過程的能量方程xyzdQxdQx+dxdQydQy+dydQz+dzdQz三維非穩(wěn)態(tài)常物性導(dǎo)熱微分方程式第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日熱擴(kuò)散率物性參數(shù)、c和均為常數(shù),無內(nèi)熱源物性參數(shù)為常數(shù)，

無內(nèi)熱源,穩(wěn)態(tài)物性參數(shù)為常數(shù)，無內(nèi)熱源,一維穩(wěn)態(tài)二、導(dǎo)熱微分方程式的簡化拉普拉斯方程第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、其他坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程對于圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日四、導(dǎo)熱過程的單值性條件導(dǎo)熱微分方程式的理論基礎(chǔ)：單值性條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說明條件完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程+單值性條件傅里葉定律+能量守恒定律它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關(guān)系；沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過程。通用表達(dá)式。對特定的導(dǎo)熱過程：需要得到滿足該過程的補(bǔ)充說明條件的唯一解單值性條件包括四項：幾何條件物理條件初始條件邊界條件第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日單值性條件幾何條件如：物性參數(shù)、c和的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；又稱時間條件，反映導(dǎo)熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)

說明導(dǎo)熱體邊界上過程進(jìn)行的特點，反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等說明導(dǎo)熱體的物理特征

物理條件

初始條件

邊界條件穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程不需要時間條件——與時間無關(guān)對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程應(yīng)給出過程開始時刻導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布分類：第一類、第二類、第三類邊界條件第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日

邊界條件

第一類邊界條件已知任一瞬間導(dǎo)熱體邊界上溫度值：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：tw=const非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：tw=f(x,y,z,)oxtw1tw2例：第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

第二類邊界條件根據(jù)傅里葉定律：已知物體邊界上熱流密度的分布及變化規(guī)律：第二類邊界條件相當(dāng)于已知任何時刻物體邊界面法向的溫度梯度值穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：qw非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：特例：絕熱邊界面：第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考等溫線與絕熱邊界位置關(guān)系應(yīng)該為_______，沿等溫線______存在熱量傳遞，沿絕熱邊界_________存在熱量傳遞。垂直相交不可能會第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日

第三類邊界條件傅里葉定律：當(dāng)物體壁面與流體相接觸進(jìn)行對流換熱時，已知任一時刻邊界面周圍流體的溫度以及邊界與流體之間的復(fù)合換熱系數(shù)tf,hqw牛頓冷卻定律：第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日導(dǎo)熱微分方程式的求解方法

導(dǎo)熱微分方程＋單值性條件＋求解方法溫度場積分法、分離變量法、積分變換法、數(shù)值計算法第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

本章作業(yè)

2-2,2-5第二十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日

a反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力與沿途物質(zhì)儲熱能力c

之間的關(guān)系.

a越大，表明熱量能在整個物體中很快擴(kuò)散，溫度扯平的能力越大，故稱為熱擴(kuò)散率熱擴(kuò)散率a

分子是物體的導(dǎo)熱系數(shù)。