第四章投資組合工具1第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日投資組合中的數(shù)學(xué)與統(tǒng)計符號2第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日4.1投資組合權(quán)數(shù)一、相關(guān)概念投資組合權(quán)數(shù)股票i所占資金

xi

=——————————

投資組合的資金總額注：∑xi

=1例4.1,4.33第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日2.賣空（sellshort）概念：賣掉現(xiàn)在沒有的投資。種類：賣空普通股、債券，向銀行借款，發(fā)行證券等。意義：設(shè)置了負(fù)的投資組合權(quán)數(shù)。例：P100下3.其他：空頭（shortposition）,多頭（longposition）,空頭軋平（shortsqueeze）。4第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日4.2投資組合的收益率

兩種計算方法比率法

~期終投資組合資金數(shù)（需加入分配到的現(xiàn)金）

RP=———————————————1

期初投資組合的價值2.投資組合加權(quán)平均法

~NRP=∑xiri

i=1例4.4

5第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日4.3投資組合預(yù)期收益率1.結(jié)論4.1

投資組合預(yù)期收益率等于單個股票預(yù)期收益率的加權(quán)平均：

-N-RP=∑xiri

i=12.杠桿投資（leveraginganinvestment）賣空預(yù)期收益低的一種投資，用其產(chǎn)生的收益去增加預(yù)期收益較高的投資，帶來的收益率大于僅投資于高預(yù)期投資時的收益。理論上說，投資者可以通過對收益率較高的資產(chǎn)做多，對較低的資產(chǎn)做空，取得任意高的投資組合預(yù)期收益率。

6第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日

------證：RP-r1=

X1r1+（1-X1）r2-r1

=（

X1-1）（r1-r2）

若X1為高收益投資，則X1越大，即1-X1越?。樨?fù)），投資組合收益與單純投資于高收益投資的差值越大。例：Ｐ1047第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日4.4方差和標(biāo)準(zhǔn)差1.收益率方差大多數(shù)投資者不但關(guān)注收益率，也關(guān)注風(fēng)險。一般要提高投資組合的收益率必須增大風(fēng)險。均方差分析將投資組合的風(fēng)險定義為其收益率的方差。

注：方差估計：前瞻法，用歷史數(shù)據(jù)估計；修正8第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日2.標(biāo)準(zhǔn)差為了使表示變量平均離散程度的指標(biāo)與變量本身的單位相同，引入標(biāo)準(zhǔn)差作為工具。標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的平方根。注:9第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日4.5協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差是衡量相關(guān)程度的指標(biāo)，它的值取決于度量單位。兩個收益率的協(xié)方差等于兩個離差乘積的期望值。

協(xié)方差與聯(lián)合分布：計算協(xié)方差需要利用兩個收益率的聯(lián)合分布，僅僅依據(jù)計算均值和方差的數(shù)據(jù)，無法得到協(xié)方差。例4.9，4.1010第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日協(xié)方差估計：前瞻法、利用歷史數(shù)據(jù)估計例4.11與方差、相關(guān)系數(shù)的關(guān)系P109a.方差是協(xié)方差的特例b.協(xié)方差轉(zhuǎn)化為相關(guān)系數(shù)c.相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)化為協(xié)方差11第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日4.6投資組合方差與投資組合之間的協(xié)方差1.兩支股票組成的投資組合的方差注：由公式可得，若兩支股票的權(quán)重均為正，則兩者協(xié)方差越大，投資組合的方差越大。例4.12，4.13（回顧法）12第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日2.多種股票的投資組合

等三個方差公式（P114）注：每個公式都是N2項相加，其中N個方差項，N2—N個協(xié)方差項。例4.1513第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日3.相關(guān)系數(shù)，分散化與投資組合方差方差公式的變體結(jié)論4.2

若兩支股票的權(quán)重均為正，則兩者相關(guān)系數(shù)越小，投資組合的方差越小。

14第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日兩種投資投資組合中包含一種無風(fēng)險投資時的投資組合方差若風(fēng)險和無風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)數(shù)皆為正，即都小于1，則投資組合的方差小于單純投資于風(fēng)險資產(chǎn)的方差，即15第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日b.若無風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)數(shù)為負(fù)，即風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)數(shù)大于1，則投資組合的方差大于單純投資于風(fēng)險資產(chǎn)的方差，即此處杠桿投資增加了風(fēng)險。16第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日投資組合中的兩項投資完全相關(guān)時，投資組合可能風(fēng)險為零，即方差和標(biāo)準(zhǔn)差為零。例4.14結(jié)論4.3

以下兩種投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差都等于其兩項投資各自的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)的絕對值。（1）其中一項為無風(fēng)險投資（2）兩項投資完全正相關(guān)。特別的，若兩項投資中風(fēng)險較大的那項投資的權(quán)數(shù)為正，則可去掉絕對值符號。17第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日投資組合收益與股票收益的協(xié)方差18第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日4.7均值—標(biāo)準(zhǔn)差圖1.意義：匯總所有信息，理解投資者在選擇投資組合權(quán)數(shù)時，如何權(quán)衡均值和方差。2.均值—標(biāo)準(zhǔn)差圖各要素3.考慮三種投資組合19第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日

一種無風(fēng)險資產(chǎn)和一種風(fēng)險資產(chǎn)的組合

20第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日分析結(jié)論4.6

當(dāng)投資組合的均值和標(biāo)準(zhǔn)差等于兩種投資的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均時，均值—標(biāo)準(zhǔn)差圖上的投資組合由連接兩種投資的直線（AB）表示。證明、表達(dá)式見P116。(1)兩者的權(quán)數(shù)都為正根據(jù)結(jié)論4.1，4.3，4.6，此種投資組合符合結(jié)論4.6所描述的情況。21第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日(2)風(fēng)險投資權(quán)數(shù)為負(fù)(表達(dá)式推導(dǎo)見P117)

此種投資組合的圖像為直線AC，由其標(biāo)準(zhǔn)差和均值的表達(dá)式可得，賣空越多的風(fēng)險資產(chǎn)，投資組合收益的均值越低，標(biāo)準(zhǔn)差越大。22第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日(3)無風(fēng)險投資權(quán)數(shù)為負(fù)

a.此處情況同ppt16，圖像為直線AB的B以上的部分

b.由此得出結(jié)論4.7

當(dāng)投資者通過借入無風(fēng)險資產(chǎn)來增加風(fēng)險資產(chǎn)的持有量時，投資組合的風(fēng)險也隨之增加。(根據(jù)權(quán)數(shù)大小，通過賣空一種風(fēng)險證券來增加另一種風(fēng)險債券的持有量時，風(fēng)險也可能增加。)23第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日兩種完全正相關(guān)或完全負(fù)相關(guān)資產(chǎn)的投資組合(1)完全正相關(guān)24第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日分析a.圖上信息

A:全部投資于股票1B:全部投資于股票2AB:兩支股票的權(quán)數(shù)都為正

A以下:賣空股票2，股票1”過分多頭”

B以上:賣空股票1，股票2”過分多頭”由圖可知有消除風(fēng)險，即使得投資組合方差為0的可能性。只需按C點的投資組合比例使一種投資處于多頭，一種處于空頭。25第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日b.表達(dá)式推導(dǎo)26第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日27第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日(2)完全負(fù)相關(guān)（圖像見下一標(biāo)題）分析a.圖像與完全正相關(guān)類似，也是一對直線；區(qū)別:通過持有兩種投資的多頭消除風(fēng)險。b.表達(dá)式推導(dǎo)28第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日29第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日其他資產(chǎn)組合可能的收益率均值和標(biāo)準(zhǔn)差30第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日分析a.圖上信息：這些投資組合的圖像都位于兩支股票完全正相關(guān)時圖像的左側(cè)。

b.釋圖：本圖假設(shè)前提是兩支股票的權(quán)數(shù)都為正，不完全相關(guān)。根據(jù)結(jié)論4.2（權(quán)數(shù)皆正時，相關(guān)系數(shù)越小，方差越?。@些投資組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差將小于兩支股票完全相關(guān)時的標(biāo)準(zhǔn)差，即小于兩支股票收益率標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均值。31第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日c.說明：圖形的彎曲程度取決于兩種收益率的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)越小，曲率越大。d.總結(jié)：取得最小方差投資組合時若兩者收益率的相關(guān)系數(shù)不大，則兩者權(quán)數(shù)都為正。若兩者收益率的相關(guān)系數(shù)足夠大，需在一種投資上處于多頭，在另一種出于空頭。32第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日4.8將協(xié)方差解釋為邊際方差

1.結(jié)論4.8

保持其他股票的權(quán)數(shù)不變，賣空一項與投資組合協(xié)方差為0的投資來增持股票，該股票在投資組合中權(quán)數(shù)發(fā)生微小變化時，該投資組合收益率方差的變化與該股票與投資組合的收益率的協(xié)方差成比例。證明：見P12033第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日2.兩種影響若股票收益率與投資組合收益率正相關(guān)，則增持股票將加大投資組合的方差。若股票收益率與投資組合收益率負(fù)相關(guān)，則增持股票將減小投資組合的方差。3.邊際方差結(jié)論的幾種數(shù)字說明（P121）通過減少無風(fēng)險資產(chǎn)的倉位或賣空的融資方式增持股票，即結(jié)論4.8所描述情況。通過減少一種風(fēng)險資產(chǎn)的倉位或賣空的融資方式增持股票，邊際方差與這兩種股票各自與投資組合收益率協(xié)方差的差成比例→結(jié)論4.934第三十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日結(jié)論4.9

當(dāng)股票A與股票B各自的收益率與投資組合收益率只之間的協(xié)方差之差為正時，略微增加股票A的持有量并減持相應(yīng)金額的股票B，會提高投資組合的收益率的方差。當(dāng)二者之差為負(fù)時，這種調(diào)整會減少投資組合收益率的方差。（例4.17）說明：當(dāng)投資組合進(jìn)行很小但不是