近獨立粒子的最概然分布演示文稿當前1頁，總共56頁。（優(yōu)選）近獨立粒子的最概然分布當前2頁，總共56頁。3

設粒子的自由度為r，粒子在任一時刻的力學運動狀態(tài)由粒子的r個廣義坐標q1、q2、…qr和相應的r個廣義動量p1、p2、…pr在該時刻的數(shù)值確定，粒子能量ε是其廣義坐標和廣義動量的函數(shù)，即一.經典描述更一般表述為在分析力學中，一般把以廣義坐標和廣義動量為自變量的能量函數(shù)寫成H（哈密頓）函數(shù)，即

粒子的運動滿足正則運動方程當前3頁，總共56頁。4

當某一初始時刻t0給定了qi、pi

的初值qi0、pi0

之后，由正則運動方程可確定在任何相繼時刻t，qi、pi

的數(shù)值，因而這個力學系統(tǒng)的運動狀態(tài)就完全確定了。所以一組qi、pi數(shù)值確定這個系統(tǒng)的一個運動狀態(tài)，這樣所確定的運動狀態(tài)把每個粒子的運動狀態(tài)都完全確定了。這就是微觀運動狀態(tài)。μ空間:

用q1、q2、…qr

，p1、p2、…pr

為直角坐標構成一個2r維空間，這個空間稱為μ空間。μ空間任何一點代表力學體系一個運動狀態(tài)，這個點稱為代表點。當粒子運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應地在μ空間中移動，描畫出一條軌跡稱為相跡。當前4頁，總共56頁。5二.幾個例子1.自由粒子自由度：r=3μ空間維數(shù)：6廣義坐標：廣義動量：動能：相跡：以一維為例當前5頁，總共56頁。62.一維線性諧振子onedimensionlinearharmonicoscillator

質量為m的粒子在彈性力f=-Ax作用下，將在原點附近做圓頻率為的簡諧振動，稱為線性諧振子自由度：r=1μ空間維數(shù)：2廣義坐標：廣義動量：能量：相跡：以x,p為直角坐標，可構成二維的μ空間。若給定能量，代表點的軌道是如下橢圓：當前6頁，總共56頁。7經典力學中：可取任何正值量子力學中：量子化，取分立值，由量子數(shù)n決定，見圖6.2當前7頁，總共56頁。83.轉子rotator考慮質量為m的質點A被具有一定長度的輕桿系于原點O時所作的運動。直角坐標下，能量用球坐標表示當前8頁，總共56頁。9因為r不變轉子是這樣一個物體，它在任何時刻的位置可以由其主軸的空間方位角確定。自由度：r=2μ空間維數(shù)：4廣義坐標：廣義動量：動能：當前9頁，總共56頁。10雙原子分子的力學模型將雙原子分子看作一根細棒的兩端聯(lián)結著質量為m1和m2的兩個質點繞其質心的轉動。然后將兩體問題轉化為單體問題。即將公式里的m換成約化質量：質心根據(jù)經典力學，在沒有外力作用的情況下，轉子的總角動量是一個守恒量，其大小和方向都不隨時間改變。由于r垂直于M，質點的運動是在垂直于M的平面內的運動。如果選M的方向為z軸，則必在xy平面內運動。這時雙原子分子轉軸過質心且垂直于二原子核連線。當前10頁，總共56頁。11§6.2粒子運動狀態(tài)的量子描述一.量子描述1.微觀粒子具有波粒二象性

法國物理學家德布羅意于1924年提出一個假說，認為一切微觀粒子都具有波粒二象性，并把標志波動性質的量ω和k通過一個普適常數(shù)用標志粒子性質的ε和p聯(lián)系起來。德布羅意關系普朗克常數(shù)稱為基本的作用量子。這個作用量子成為判別采用經典描述或量子描述的判據(jù)。

當前11頁，總共56頁。122.測不準關系測不準關系and（嚴格的

這生動地說明微觀粒子的運動不是軌道運動，是微觀粒子的運動狀態(tài)不是用坐標和動量來描述的，而是用量子態(tài)（波函數(shù)）或量子數(shù)來描述的。

量子態(tài)由一組量子數(shù)表征，這組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。方差(漲落)的概念見附錄B.12

繼德布羅意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波動的二象性時，得到一個重要的結果：微觀粒子不可能同時具有確定的動量和坐標。即用Δq表示粒子坐標的不確定值和Δp表示粒子動量不確定值，在量子力學所容許的最精確的描述，Δq與Δp的乘積滿足當前12頁，總共56頁。13二.幾個例子1.自旋(spin)質量:電荷：自旋角動量量子數(shù)：1/2自旋磁矩：自旋角動量：沿z方向加外磁場B，角動量S在z方向上有兩個獨立分量自旋磁矩和勢能為描述自旋狀態(tài)只要一個量子數(shù)當前13頁，總共56頁。142.線性諧振子能級非簡并Whatabout3D?3.轉子量子理論要求角動量平方和角動量z分量是量子化的自由度為2，等于量子數(shù)個數(shù)：轉子能量：基態(tài)能級非簡并，激發(fā)態(tài)簡并，簡并度為2l+1Degenerate!當前14頁，總共56頁。154.自由粒子根據(jù)周期性邊界條件3維3個量子數(shù)：基態(tài)能級非簡并，激發(fā)態(tài)簡并當前15頁，總共56頁。16三.粒子的狀態(tài)與空間體積元的對應關系由測不準關系可知，坐標和動量不能同時取確定的值，所以量子態(tài)不能用空間的一點來描述，而應用一個體積元，稱為相格。自由度為r的粒子，相格大小為：如果將空間劃分為若干個體積元Δωl（l=1，2…），則在體積元Δωl中粒子可能的狀態(tài)數(shù)為Δωl/hr。當前16頁，總共56頁。17四.自由粒子的量子態(tài)數(shù)根據(jù)粒子的狀態(tài)與空間體積元的對應關系

三維自由粒子的一個狀態(tài)對應于空間中體積為h3的一個體積元，以V表示容器的體積，在體積V內，在px到px+dpx，py到py+dpy,pz到pz+dpz內，對應空間中體積元Vdpxdpydpz,三維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：

一般常用動量空間中的球極坐標p,θ,φ，來描寫自由粒子的動量,p,θ,φ與px、py、pz的關系為：

；用球極坐標，動量空間的體積元為：當前17頁，總共56頁。18在體積V內，動量在p到p+dp,θ到θ+dθ,φ到φ+dφ,自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：D(ε)表示單位能量間隔內的可能狀態(tài)數(shù)，稱為態(tài)密度。以上的計算沒有考慮粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，還要考慮自旋的貢獻。

在體積V內，動量絕對值在p到p+dp的范圍內，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：以能量形式表示，即,因此在V內，在的范圍內，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：當前18頁，總共56頁。19§6.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述

全同的粒子系統(tǒng)就是由具有完全相同的屬性（相同的質量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)，如自由電子組成的自由電子氣體是全同的粒子組成的系統(tǒng)。

理想氣體就是由近獨立的粒子組成的系統(tǒng)。

近獨立粒子體系，是指粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個系統(tǒng)的能量表達為單個粒子的能量之和：當前19頁，總共56頁。20

相依粒子體系又稱為非獨立粒子體系，體系中粒子之間的相互作用不能忽略，體系的總能量除了包括各個粒子的能量之和外，還包括粒子之間的相互作用的位能，即：一.系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經典描述

全同粒子是可以分辨的（經典中）。如果在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個粒子的運動狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力學運動狀態(tài)是不同的。如圖6.42Nr個變量來確定。系統(tǒng)微觀狀態(tài)由所有粒子的微觀運動狀態(tài)決定。當前20頁，總共56頁。21任意交換一對粒子的不同運動狀態(tài)得到新的系統(tǒng)微觀狀態(tài)。確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)必須指出各粒子占據(jù)的相格。當前21頁，總共56頁。22二.系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述1.微觀粒子全同性原理全同粒子是不可分辨的1212經典量子圖6.5對于不可分辨的全同粒子，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。當前22頁，總共56頁。232.玻色子(bose)和費米子(fermi)玻色子：即自旋量子數(shù)是整數(shù)的。如光子自旋量子數(shù)為1、π介子自旋量子數(shù)為0，是玻色子。費米子：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的。如電子、質子、中子等自旋量子數(shù)都是1/2，是費米子。不可分辨性導致對稱性要求玻色子：交換對稱費米子：交換反對稱當前23頁，總共56頁。243.三類系統(tǒng)凡是由玻色子構成的復合粒子是玻色子，由偶數(shù)個費米子構成的復合粒子是玻色子，由奇數(shù)個費米子構成的復合粒子是費米子。如：4He是玻色子，3He是費米子費米子和玻色子遵從不同的統(tǒng)計規(guī)律。玻爾茲曼系統(tǒng)：由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。

玻色系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨立的玻色粒子組成，不受泡利不相容原理的約束，即處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。

費米系統(tǒng)：由不可分辨的全同近獨立的費米粒子組成，受泡利不相容原理的約束，即處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1個粒子的系統(tǒng)。

當前24頁，總共56頁。25舉例說明設系統(tǒng)由兩個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果這兩個粒子是定域子、玻色子、費米子時，試分別討論系統(tǒng)各有那些可能的微觀狀態(tài)？微觀粒子還受到空間的限制，因而分為定域的和非定域的，定域系統(tǒng)可用粒子的位置來分辨粒子，對于非定域系統(tǒng)，必須考慮微觀粒子的全同性原理。定域系統(tǒng)玻爾茲曼系統(tǒng)

當前25頁，總共56頁。26玻爾茲曼系統(tǒng)玻色系統(tǒng)費米系統(tǒng)態(tài)1態(tài)2態(tài)3ABABABABBAABBAABBA態(tài)1態(tài)2態(tài)3AAAAAAAAAAAA態(tài)1態(tài)2態(tài)3AAAAAA9個６個３個當前26頁，總共56頁。27經典統(tǒng)計物理學：在經典力學基礎上建立的統(tǒng)計物理學量子統(tǒng)計物理學：在量子力學基礎上建立的統(tǒng)計物理學兩者在統(tǒng)計原理上是相同的，區(qū)別在于對微觀運動狀態(tài)的描述。在一定的條件下，可以由量子統(tǒng)計得到經典統(tǒng)計的結果。當前27頁，總共56頁。28§6.4等概率原理平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基本假設——等概率原理一.宏觀狀態(tài)和微觀狀態(tài)的區(qū)別宏觀狀態(tài)：平衡狀態(tài)下由一組參量表示，如Ｎ，Ｅ，Ｖ微觀狀態(tài)：由廣義坐標和廣義動量或一組量子數(shù)表示。為了研究系統(tǒng)的宏觀性質，沒有必要實際上也沒有可能追隨微觀狀態(tài)的復雜變化。只要知道各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計方法求微觀量的統(tǒng)計平均值。因此確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計物理的根本問題。當前28頁，總共56頁。29玻耳茲曼在19世紀70年代提出了著名的等概率原理：對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。二.等概率原理既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V的宏觀條件，沒有理由認為哪一個狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大一些。這些微觀狀態(tài)應當是平權的。等概率原理是統(tǒng)計物理學中的一個合理的基本假設。它不能從更基本的原理推出，也不能直接從實驗上驗證。它的正確性由它推出的各種結論與客觀實際相符而得到肯定。當前29頁，總共56頁。必須計算每個宏觀態(tài)的微觀態(tài)數(shù)。宏觀態(tài)由熱力學量決定，如等。或。微觀態(tài)的標定，指定量子態(tài)，確定粒子對量子態(tài)的分布，改變分布，獲得所有的微觀態(tài)。態(tài)1態(tài)2態(tài)3AAAA費米統(tǒng)計AA微觀態(tài)數(shù)：3引言§6.5分布和微觀狀態(tài)30當前30頁，總共56頁。31一.分布能級簡并度粒子數(shù)一系統(tǒng)，全同近獨立，具有確定的Ｎ，Ｅ，Ｖ分布滿足：分布確定了每個能級上的粒子數(shù)當前31頁，總共56頁。32二.分布和微觀狀態(tài)的區(qū)別分布只確定了每個能級上的粒子數(shù)微觀狀態(tài)：對于玻色和費米系統(tǒng)，要求確定每個量子態(tài)上的粒子數(shù)；對于玻爾茲曼系統(tǒng)，要求確定每一個粒子的個體量子態(tài)。給定了一個分布，只能確定處在每一個能級上的粒子數(shù)，能級的簡并度為，它與微觀狀態(tài)是兩個性質不同的概念。微觀狀態(tài)是粒子的運動狀態(tài)，它反映的是粒子運動特征，即量子態(tài)。粒子占據(jù)量子態(tài)的不同方式數(shù)叫做微觀狀態(tài)數(shù)。就一個確定的分布而言，與它相應的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。不同的分布，有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。定域系：確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每一個粒子的個體量子態(tài)。非定域系：確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定處在每一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)。當前32頁，總共56頁。33分布分布對應的微觀狀態(tài)數(shù)微觀狀態(tài)態(tài)1態(tài)2態(tài)33083個可分辨粒子占據(jù)2個能級（）的分布與微觀狀態(tài)當前33頁，總共56頁。34分布分布對應的微觀狀態(tài)數(shù)微觀狀態(tài)態(tài)1態(tài)2態(tài)321123個可分辨粒子占據(jù)2個能級（）的分布與微觀狀態(tài)當前34頁，總共56頁。35分布分布對應的微觀狀態(tài)數(shù)微觀狀態(tài)態(tài)1態(tài)2態(tài)31260313個可分辨粒子占據(jù)2個能級（）的分布與微觀狀態(tài)當前35頁，總共56頁。36分布分布對應的微觀狀態(tài)數(shù)能級１能級２態(tài)1態(tài)２態(tài)３3042131220313個玻色子占據(jù)2個能級（）的分布與微觀狀態(tài)當前36頁，總共56頁。373個費米子占據(jù)2個能級（）的分布與微觀狀態(tài)分布分布對應的微觀狀態(tài)數(shù)能級１能級２態(tài)1態(tài)２態(tài)３2113個費米子占據(jù)2個能級（）的分布與微觀狀態(tài)分布分布對應的微觀狀態(tài)數(shù)能級１能級２態(tài)1態(tài)2態(tài)3態(tài)4212122當前37頁，總共56頁。38三.三種統(tǒng)計的微觀狀態(tài)數(shù)下面我們將分別討論玻耳茲曼系統(tǒng)(定域系統(tǒng))、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)與一個分布相對應的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。就一個確定的分布而言，與它相應的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。不同的分布，有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。如前例。粒子可以分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子個數(shù)不受限制。1.玻爾茲曼系統(tǒng)分布相應的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：當前38頁，總共56頁。39例如：3個可分辨粒子，2個能級，某分布為2個編了號的粒子占據(jù)能級1的2個量子態(tài)的方式有4種：1個編了號的粒子占據(jù)能級2的1個量子態(tài)的方式有1種：3個粒子交換數(shù)是3!=6323121同一態(tài)上粒子交換，不產生新的微觀狀態(tài)，交換數(shù)為：該分布對應的微觀狀態(tài)數(shù)為：12121221當前39頁，總共56頁。402.玻色系統(tǒng)粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子個數(shù)不受限制。3.費米系統(tǒng)粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。當前40頁，總共56頁。

分布對應的微觀態(tài)數(shù)A.

玻耳茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）（玻耳茲曼分布）粒子可以編號。確定，只有移動和交換粒子可能改變系統(tǒng)的微觀態(tài)；例如a.

移動：個粒子在個量子態(tài)中不同放置導致不同微觀態(tài)。41當前41頁，總共56頁。b.

交換：不同的能級之間的粒子交換導致新的微觀態(tài)。N個粒子的總交換數(shù)N!改變微觀狀態(tài)的粒子交換的有效次數(shù)：個粒子在個量子態(tài)中放置的不同方式的數(shù)目所以分布對應微觀態(tài)數(shù)同能級內粒子交換總數(shù)。42當前42頁，總共56頁。B.

玻色分布粒子不可區(qū)分，每量子態(tài)的粒子數(shù)不限。不動量子態(tài)與粒子交換導致不同微觀態(tài).不動量子態(tài)與粒子交換總數(shù)量子態(tài)交換數(shù)粒子交換數(shù)43當前43頁，總共56頁。C.

費米分布個量子態(tài)中選個，每個置一個粒子的方法。粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。44當前44頁，總共56頁。45

式（6.5.5）稱為經典極限條件，也稱非簡并性條件。經典極限條件表示，在所有的能級，粒子數(shù)都遠小于量子態(tài)數(shù)。如果在玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)中，任一能級εl上的粒子數(shù)均遠小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即此時有：經典極限條件當前45頁，總共56頁。46空間

足夠小，處在同一相格內的代表點，代表相同的運動狀態(tài)。四.經典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)對于經典系統(tǒng)，由于對坐標和動量的測量總存在一定的誤差，假設，這時經典系統(tǒng)的一個運動狀態(tài)不能用一個點表示，而必須用一個體積元表示，該體積元的大小為表示經典系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在空間所占的體積，稱為經典相格。相格對應運動狀態(tài)當前46頁，總共56頁。47將空間劃分為許多體積元，以