高數(shù)全微分圖文演示文稿當(dāng)前1頁，總共34頁。高數(shù)全微分圖文當(dāng)前2頁，總共34頁。函數(shù)的變化情況.偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時(shí)函數(shù)的變化率.現(xiàn)在來討論當(dāng)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí)全微分當(dāng)前3頁，總共34頁。先來介紹全增量的概念為了引進(jìn)全微分的定義,全增量.域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量全增量.全微分一、全微分的定義當(dāng)前4頁，總共34頁。全微分的定義處的全微分.全微分可表示為可微分,在點(diǎn)則稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí),則稱可微函數(shù).這函數(shù)在D內(nèi)的而不依賴于當(dāng)前5頁，總共34頁?？晌⑴c偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？微分系數(shù)注全微分有類似一元函數(shù)微分的A=?B=?兩個(gè)性質(zhì):全微分全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).的線性函數(shù);高階無窮小.當(dāng)前6頁，總共34頁。1.可微分的必要條件由下面的定理來回答：(可微必可導(dǎo)).定理1(可微必要條件)如果函數(shù)可微分,且函數(shù)的全微分為全微分二、可微的條件

當(dāng)前7頁，總共34頁。證總成立,同理可得上式仍成立,此時(shí)的某個(gè)鄰域如果函數(shù)可微分,全微分可微分,當(dāng)前8頁，總共34頁。都不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).多元函數(shù)在某點(diǎn)可微是否保證事實(shí)上,顯然,答:由全微分的定義有可得多元函數(shù)可微必連續(xù)

連續(xù)的定義不連續(xù)的函數(shù)上一節(jié)指出,多元函數(shù)在某點(diǎn)各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)即使都存在,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)如果函數(shù)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).一定是不可微的.全微分當(dāng)前9頁，總共34頁。多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．如，下面舉例說明二元函數(shù)可微一定存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．回憶:一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微的關(guān)系?但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微.(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得)由定理1知全微分當(dāng)前10頁，總共34頁。則說明它不能隨著而趨于0,因此,如果考慮點(diǎn)沿直線趨近于全微分當(dāng)前11頁，總共34頁。說明

各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.這也是一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)出現(xiàn)的又函數(shù)是可微分的.多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在.一個(gè)原則區(qū)別.現(xiàn)再假定函數(shù)的則可證明全微分各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),當(dāng)前12頁，總共34頁。2.可微分的充分條件

證在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思.定理2(今后常這樣理解).用拉氏定理(微分充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù),就含有偏導(dǎo)數(shù)全微分偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)前13頁，總共34頁。全微分當(dāng)前14頁，總共34頁。同理全微分當(dāng)前15頁，總共34頁。在原點(diǎn)(0,0)可微.并非必要條件.如事實(shí)上,注定理2的條件(即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù))可微的充分全微分僅是函數(shù)在點(diǎn)條件,同樣,當(dāng)前16頁，總共34頁。全微分在原點(diǎn)(0,0)可微.于是,當(dāng)前17頁，總共34頁。即函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)(0,0)可微.但是,事實(shí)上,偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).全微分所以,特別是

不存在.即fx(x,y)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).極限fy(x,y)在原點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).同理可證,函數(shù)在一點(diǎn)可微,此題說明:在這點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).當(dāng)前18頁，總共34頁。記全微分為通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.一元函數(shù)的許多微分性質(zhì),(一階)全微分形式的不變性.同樣有:習(xí)慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．這里仍適用.全微分如三元函數(shù)則當(dāng)前19頁，總共34頁。解全微分計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)的全微分.所以例當(dāng)前20頁，總共34頁。解全微分例

當(dāng)前21頁，總共34頁。答案練習(xí)全微分當(dāng)前22頁，總共34頁。全微分解例試比較的值.當(dāng)前23頁，總共34頁。全微分解例計(jì)算的近似值.利用函數(shù)在點(diǎn)處的可微性,可得當(dāng)前24頁，總共34頁。全微分2002年考研數(shù)學(xué)一,3分考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì):①f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處連續(xù),②f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),③f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處可微,④f(x,y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.單項(xiàng)選擇題當(dāng)前25頁，總共34頁。上海交大考題(95級(jí))連續(xù).D全微分結(jié)論不正確的是().都存在,當(dāng)前26頁，總共34頁。上海交大考題(98級(jí))D全微分當(dāng)前27頁，總共34頁。上海交大考題(93級(jí))上海交大考題(96級(jí))全微分填空題當(dāng)前28頁，總共34頁。上海交大考題(97級(jí))(非)事實(shí)上,全微分是非題當(dāng)前29頁，總共34頁。全微分的定義全微分的計(jì)算多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系(注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別)全微分可微分的必要條件、可微分的充分條件三、小結(jié)當(dāng)前30頁，總共34頁。對(duì)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限

對(duì)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：偏導(dǎo)連續(xù)可微連續(xù)有極限有偏導(dǎo)全微分當(dāng)前31頁，總共34頁。全微分全微分公式恒成立嗎?不一定.考慮函數(shù)思考題1當(dāng)前32頁，總共34頁。全微分某城市的大氣污染指數(shù)P取決于兩個(gè)因素,即空氣中固體廢物的數(shù)量x和空氣中有害氣體的數(shù)量y.它們之間的