第20講矩形、菱形和正方形基礎(chǔ)過關(guān)1．(中考·無(wú)錫)下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C)A．對(duì)角線相等B．對(duì)角線互相平分C．對(duì)角線互相垂直D．鄰邊互相垂直2．(中考·營(yíng)口)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，若∠ACB＝30°，AB＝2，則OC的長(zhǎng)為(A)A．2B．3C．2eq\r(3)D．43．(中考·寧夏)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AD，CD邊上的中點(diǎn)，連接EF，若EF＝eq\r(2)，BD＝2，則菱形ABCD的面積為(A)A．2eq\r(2)\r(2)C．6eq\r(2)D．8eq\r(2)4．(中考·臺(tái)灣)如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG，其中E點(diǎn)在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，則∠B的度數(shù)為(C)A．50°B．55°C．70°D．75°5．(中考·綏化)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，則四邊形OCED的周長(zhǎng)為(B)A．4B．8C．10D．126．(中考·阜陽(yáng)二模)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)，E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CF∥BE，連接BF，CE，若使四邊形BECF是菱形，則需增加的條件可以是(B)A．DF＝CDB．AC＝ABC．AC⊥ABD．CF⊥AD7．(中考·合肥高新區(qū)一模)如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC＝1，CE＝3，點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是(B)A．\r(5)\f(3,2)eq\r(2)D．2提示：連接AC，CF，易證∠ACF＝90°，CH＝eq\f(1,2)AF.8．(中考·西寧)如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點(diǎn)，若EF＝2，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是16．9．(中考·昆明)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，AB＝6，BC＝8，則四邊形EFGH的面積是24．10．(中考·龍東)如圖，在?ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB.請(qǐng)你添加一個(gè)條件答案不唯一，如：CD＝BE，使四邊形DBCE是矩形．11．(中考·青島)如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若△CEF的周長(zhǎng)為18，則OF的長(zhǎng)為．提示：易知CF＝eq\f(1,2)DE＝EF＝eq\f(13,2)，∴DE＝13.∴DC＝BC＝eq\r(132－52)＝12.∴BE＝12－5＝7.∴OF＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(7,2).12．(中考·蕪湖南陵縣一模)如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．解：(1)證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，∴AE＝DE，BD＝CD.在△AFE和△DBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠DBE，,∠FEA＝∠BED，,AE＝DE，))∴△AFE≌△DBE(AAS)．∴AF＝BD.∴AF＝DC.(2)四邊形ADCF是菱形．證明：∵AF∥BC，AF＝DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵AC⊥AB，AD是斜邊BC上的中線，∴AD＝eq\f(1,2)BC＝DC.∴平行四邊形ADCF是菱形．能力提升13．(中考·馬鞍山一模)如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，連接OB，OD，且OB＝OC＝OD.已知AC＝3，那么菱形的邊長(zhǎng)為(A)\r(3)B．2\f(\r(5)＋1,2)\f(\r(3),2)14．(中考·淄博)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連接GH，則線段GH的長(zhǎng)為(B)\f(8\r(3),5)B．2eq\r(2)\f(14,5)D．10－5eq\r(2)15．(中考·宿州靈璧縣一模)如圖所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠CAE＝15°，則下面的結(jié)論：①△ODC是等邊三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE.其中正確結(jié)論有(C)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)16．(中考·阜陽(yáng)校級(jí)一模)如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且AE＝BF，下列結(jié)論：①△DEF是等邊三角形；②∠CDF＝2∠ADE；③四邊形DEBF的面積是9eq\r(3)；④若AE＝eq\f(1,3)AB，則DE＝2eq\r(7).其中一定正確的結(jié)論是①③④(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都寫在橫線上)．2022中考預(yù)測(cè)題19．閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作ME∥BD，MF∥AC，交直線AC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，顯然四邊形OEMF是平行四邊形．探究發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)對(duì)角線AC，BD滿足AC⊥BD時(shí)，四邊形OEMF是矩形；(2)如圖2，若四邊形ABCD是矩形，且M是AB的中點(diǎn)，判斷四邊形OEMF是什么特殊的平行四邊形，并寫出證明過程．拓展延伸：(3)如圖3，在四邊形ABCD為矩形的條件下，若點(diǎn)M是邊AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，此時(shí)OA，ME，MF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．解：(2)四邊形OEMF是菱形．證明：在矩形ABCD中，OA＝OB.∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，ME∥BD，MF∥AC，∴ME＝eq\f(1,2)OB，MF＝eq\f(1,2)