學習資料圓錐曲線有關焦點弦的幾個公式及應用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點，則稱此弦為焦點弦。圓錐曲線的焦點弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關知識。焦點弦是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，集數(shù)學知識、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相， 題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題， 也有作為大題進行考查的。 本文介紹圓錐曲線有關焦點弦問題的幾個重要公式及應用， 與大家交流。定理1已知點 是離心率為 的圓錐曲線 的焦點，過點 的弦 與 的焦點所在的軸的夾角為 ，且 。（1）當焦點 內(nèi)分弦 時，有 ；（2）當焦點 外分弦 時（此時曲線為雙曲線），有 。證明 設直線 是焦點 所對應的準線，點 在直線 上的射影分別為 ，點 在直線 上的射影為 。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得， ，又，所以 。（1） 當焦點 內(nèi)分弦 時。如圖 1， ，所以。各種學習資料，僅供學習與交流學習資料圖1（2） 當焦點 外分弦 時（此時曲線為雙曲線）。如圖2， ，所以。圖2評注特別要注意焦點外分焦點弦（此時曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點弦時公式的不同，這一點很容易不加區(qū)別而出錯。例1（2009年高考全國卷Ⅱ理科題）已知雙曲線 的右焦點為 ，過 且斜率為 的直線交 于 兩點。若 ，則 的離心率為（ ）各種學習資料，僅供學習與交流學習資料解這里 ，所以 ，又 ，代入公式得 ，所以 ，故選 。例2（2010年高考全國卷Ⅱ理科第 12題）已知橢圓 的離心率為 。過右焦點且斜率為 的直線于 相交于 兩點，若 ，則（ ）解這里 ， ，設直線 的傾斜角為 ，代入公式得 ，所以，所以 ，故選 。例3（08高考江西卷理科第 15題）過拋物線 的焦點 作傾斜角為的直線，與拋物線交于 兩點（點 在 軸左側(cè)），則有 ＿＿＿＿圖3各種學習資料，僅供學習與交流學習資料解如圖3，由題意知直線 與拋物線的地稱軸的夾角 ，當點 在 軸左側(cè)時，設 ，又 ，代入公式得 ，解得 ，所以 。例4（2010年高考全國卷Ⅰ理科第 16題）已知 是橢圓 的一個焦點， 是短軸的一個端點，線段 的延長線交 于點 ，且 ，則 的離心率為＿＿＿解設直線 與焦點所在的軸的夾角為 ，則 ，又 ，代入公式得 ，所以 。例5（自編題）已知雙曲線 的離心率為 ，過左焦點且斜率為 的直線交 的兩支于 兩點。若 ，則 ＿＿＿解這里 ， ，因直線 與左右兩支相交，故應選擇公式 ，代入公式得 ，所以 所以 ，所以 。定理 2已知點 和直線 是離心率為 的圓錐曲線 的焦點和對應準線，焦準距（焦點到對應準線的距離）為 。過點 的弦 與曲線 的焦點所在的軸的夾角為，則有 。各種學習資料，僅供學習與交流學習資料證明 設點 在準線 上的射影分別為 ，過點 作軸 的垂線交直線于點 ，交直線 于點 。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得， ，所以。圖4（1）當焦點內(nèi)分弦時。如圖4，，。，所以較長焦半徑 ，較短焦半徑 。所以 。（2）當焦點 外分弦 時（此時曲線為雙曲線）。各種學習資料，僅供學習與交流學習資料圖5如圖5， ， 。所以 ，所以較長焦半徑 ，較短焦半徑 。所以 。綜合（1）（2）知，較長焦半徑 ，較短焦半徑 。焦點弦的弦長公式為 。特別地，當曲線為無心曲線即為拋物線時，焦準距 就是徑之半，較長焦半徑，較短焦半徑 ，焦點弦的弦長公式為 。當曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時，焦準距為 。各種學習資料，僅供學習與交流學習資料注由上可得，當焦點 內(nèi)分弦 時，有 。當焦點 外分弦 時，有 。例6（2009年高考福建卷理科第 13題）過拋物線 的焦點 作傾斜角為 的直線，交拋物線于 兩點，若線段 的長為8，則 ＿＿＿解由拋物線焦點弦的弦長公式為 得， ，解得 。例（72010年高考遼寧卷理科第 20題）已知橢圓 的右焦點為 ，經(jīng)過 且傾斜角為 的直線 與橢圓相交于不同兩點 ，已知 。（1）求橢圓的離心率；（ 2）若 ，求橢圓方程。解（1）這里 ， ，由定理 1的公式得 ，解得 。（2）將 ，代入焦點弦的弦長公式得， ，解得 ，即 ，所以 ①，又 ，設 ，代入①得 ，所以 ，所以 ，故所求橢圓方程為 。各種學習資料，僅供學習與交流學習資料例8（2007年重慶卷第 16題）過雙曲線 的右焦點 作傾斜角為 的直線，交雙曲線于 兩點，則 的值為＿＿＿解 易知 均在右支上，因為 ，離心率 ，點準距，因傾斜角為 ，所以 。由焦半徑公式得，。例9（由2007年重慶卷第 16題改編）過雙曲線 的右焦點 作傾斜角為的直線，交雙曲線于 兩點，則 的值為＿＿＿解因為 ，離心率 ，點準距 ，因傾斜角為 ，所以 。注意到 分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得， 。例10（2007年高考全國卷Ⅰ）如圖6，已知橢圓 的左、右焦點分別為 ，過 的直線交橢圓于 兩點，過 的直線交橢圓于 兩點，且 。求四邊形面積的最小值。各種學習