第9章MATLAB符號計算9.1符號對象9.2符號微積分9.3級數(shù)9.4符號方程求解9.1符號對象9.1.1建立符號對象1．建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個函數(shù)的用法不同。(1)sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格式為：符號量名=sym('符號字符串')該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符號常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同。下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn)算時的差別。(2)syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個函數(shù)syms，一次可以定義多個符號變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms符號變量名1符號變量名2…符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符(‘)，變量間用空格而不要用逗號分隔。9.1.2符號表達(dá)式運(yùn)算1．符號表達(dá)式的四則運(yùn)算符號表達(dá)式的加、減、乘、除運(yùn)算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和symdiv來實現(xiàn)，冪運(yùn)算可以由sympow來實現(xiàn)。2．符號表達(dá)式的提取分子和分母運(yùn)算如果符號表達(dá)式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用numden函數(shù)來提取符號表達(dá)式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：[n,d]=numden(s)該函數(shù)提取符號表達(dá)式s的分子和分母，分別將它們存放在n與d中。3．符號表達(dá)式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對符號表達(dá)式s分解因式。expand(s)：對符號表達(dá)式s進(jìn)行展開。collect(s)：對符號表達(dá)式s合并同類項。collect(s,v)：對符號表達(dá)式s按變量v合并同類項。4．符號表達(dá)式的化簡MATLAB提供的對符號表達(dá)式化簡的函數(shù)有：simplify(s)：應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進(jìn)行化簡。simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡，并顯示化簡過程。9.1.3符號表達(dá)式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以幫助用戶查找一個符號表達(dá)式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n)函數(shù)返回符號表達(dá)式s中的n個符號變量，若沒有指定n，則返回s中的全部符號變量。9.1.4符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達(dá)式，所以前面介紹的符號表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)行。但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進(jìn)行有關(guān)矩陣的運(yùn)算。MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。例如transpose(s)：返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。determ(s)：返回s矩陣的行列式值。其實，曾介紹過的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應(yīng)用于符號矩陣。9.2符號微積分9.2.1符號極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：(1)limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。(2)limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)自變量，即變量x趨近于a。例9-1求下列極限。極限1：symsamx;f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a);limit(f,x,a)ans=(1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a極限2：symsxt;limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)ans=exp(6*t)極限3：symsx;f=x*(sqrt(x^2+1)-x);limit(f,x,inf,'left')ans=1/2極限4：symsx;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2))/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,'right')ans=-1/29.2.2符號導(dǎo)數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：diff(s)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,'v')：以v為自變量，對符號表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。diff(s,'v',n)：以v為自變量，對符號表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)。例9-2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。9.2.4積分變換常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。1．傅立葉(Fourier)變換在MATLAB中，進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)是：fourier(f,x,t)：求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。例9-4求函數(shù)y=的傅立葉變換及其逆變換。2．拉普拉斯(Laplace)變換在MATLAB中，進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是：laplace(fx,x,t)：求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。例9-5計算y=x3的拉普拉斯變換及其逆變換。3．Z變換當(dāng)函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f(n)時，對數(shù)列f(n)進(jìn)行z變換的MATLAB函數(shù)是：ztrans(fn,n,z)：求fn的Z變換像函數(shù)F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z變換原函數(shù)f(n)。例9-6求數(shù)列fn=e-2n的Z變換及其逆變換。9.3.2函數(shù)的泰勒級數(shù)MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)，其調(diào)用格式為：taylor(f,v,n,a)該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項(即變量v的n-1次冪)為止，n的缺省值為6。v的缺省值與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a處展開，a的缺省值是0。例9-8求函數(shù)在指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開式。9.4符號方程求解9.4.1符號代數(shù)方程求解在MATLAB中，求解用符號表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(s)：求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解變量為默認(rèn)變量。solve(s,v)：求解符號表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解變量為v。solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符號表達(dá)式s1,s2,…,sn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別v1,v2,…,vn。例9-9解下列方程。9.4.2符號常微分方程求解在MATLAB中，用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù)。例如，Dy表示y'，D2y表示y''，Dy(0)=5表示y'(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y'''+y''+y'-x+5=0。符號常微分方程求解可以通過函數(shù)dsolve來實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：dsolve(e,c,v)該函數(shù)求解常微分方程e在初值條件c下的特解。參數(shù)v描述方程中的自變量，省略時按缺省原則