壓軸題

經(jīng)典難題（1）

1、已知:如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，/PAD=/PDA=15°.

求證:△PBC是正三角形.（初二）

2、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CDXAB,EF1AB,EG1C0.

求證：CD=GF.（初二）

AB

3、如圖，已知四邊形ABCD、ABCD都是正方形，A2.B?、C2,D2分別是AA「BB「

CCi、DDi的中點(diǎn).

求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC

的延長線交MN于E、F.

求證:NDEN=NF.

經(jīng)典難題（二）

M

1、已知：AABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），0為外心，且OM_LBC于M.

（1）求證：AH=20M；

（2）若NBAC=60°,求證：AH=AO.（初二）

2、設(shè)MN是圓O外一直線，過0作OAJ.MN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于B、C

及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題:M

設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)LD、EB

求證：CE=CF.（初二）

BC

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/7AC,且CE=CA,直線EC交DA延長線于F.

3、E

求證：PA=PF.（初二）

4、如圖，PC切圓0于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于

B、D.求證：AB=DC,BC=AD.（初三）

P

經(jīng)典難題

C

1、已知：AABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn),PA=3,PB=4,PC=5.

求：NAPB的度數(shù).（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且NPBA=NPDA.

求證：/PAB=/PCB.（初二）

3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB?CD+AD?BC=AC。

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且

AE=CF.求證：ZDPA=ZDPC.（初二）

久力D

經(jīng)典難題（五）/

/

BEC

,+PB+PC,求證：后WLV2.

1、設(shè)P是邊長為1的正AABC內(nèi)任?點(diǎn)，L=PA

A

,求PA+PB+PC的^^

2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)

B4

J

3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長.

AK_________________D

E分別是AB、AC上的，/,/DC3弋

4、如圖，AABC中，ZABC=ZACB=80°,D、

ZEBA=20°,求NBED的度數(shù).

經(jīng)典難題（一）力、

BC

1.如下圖做GH_LAB,連接EOo由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/GFH=NOEG

2.如下圖做aDGC使與4ADP全等，可得4PDG為等邊△,從而可得

△DGC絲4APD絲ZXCGP,得出PC=AD=DC,和NDCG=NPCG=15°

所以NDCP=30°,從而得出APBC是正三角形

3.如下圖連接BG和AB份別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點(diǎn),

連接EB2并延長交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長交A?Q于G點(diǎn)，

由AzE=/AB=/BC=FB?,EB2rAB=4BC=FCI,又/GFQ+NQ=90°和

NGEB2+NQ=90°,所以/GEB?=NGFQ又/BZFC2=NA2EB2,

可得△B2FC2g4人2￡82,所以A2B2=B2c2,

又/GFQ+/HB2F=90°和NGFQ=NEB2A2,

從而可得NA?B2c2=90°,

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM,所以可得NQMF=/F,ZQNM-Z

DEN和NQMN=/QNM,從而得出/DEN=NF。

經(jīng)典難題（二）

1.⑴延長AD到F連BF,做0G1AF,

又/F=/ACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2（GH+HD）=2OM

（2）連接OB,0C,既得/BOC=120°,

從而可得/BOM=60°,

所以可得0B=20M=AH=A0,

得證。

3.作OF_LCD,0G1BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。

「ADACCD2FDFD

ABAEBE2BGBG

山此可得4ADF絲ZXABG,從而可得NAFC=/AGE。

又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/AFC=/AOP和NAGE=NAOQ,

ZAOP=ZAOQ,從而可得AP=AQ。

4.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG,CI,FH0可得PQ=史士生

2

[IjAEGA^AAIC,可得EG=AI,由△BFH四△CBL可得FH=BI。

從而可得PQ=AI+BI=—,從而得證。

22

D

經(jīng)典難題（三）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)^ADE,至IJZXABG,連接CG

由于NABG=NADE=90°+450=135°

從而可得B,G,D在一條直線上，可得4AGB絲Z\CGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得4AGC為等邊三角形。

ZAGB=30°,既得NEAC=30°,從而可得NAEC=75°。

又ZEFC=ZDFA=450+30°=75°

可證：CE=CF,

2.連接BD作CHLDE,可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=30°,所以ZCAE=ZCEA=ZAED=15°,

又/FAE=90°+45°+150=150°,

從而可知道NF=15°,從而得出AE=AF?

3.作FG_LCD,FE1BE,可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

tan/BAP=tan/EPF=—=---------------，可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出4ABP也ZXPEF,

得到PA=PF，得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)4ABP60°,連接PQ,則△PBQ是正三角形。

可得APQC是直角三角形。

所以NAPB=150°。

2.作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AE〃DC,BE〃PC.

可以得出NABP=/ADP=NAEP,可得：

AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）。

可得NBAP=/BEP=/BCP,得證。

3.在BD取一點(diǎn)E,使/BCE=/ACD,既得△BECsaADC,可得:

BEAD八

—=——，即anAD?BC=BE?AC,①

BCAC

XZACB=ZDCE,可得△ABCs/XDEC,既得

ABDE/

——=——，n即nAB?CD=DE?AC,②

ACDC

由①+②可得：AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC?BD,得證。

A

,過作，，，由人社=一^=。尸°，可得:

4DAQAEAG±CFSr\uL.2Surv

AEPQAEPQ?

------=------，由AE=FC。

22

可得DQ=DG,可得NDPA=/DPC（角平分線逆定理）。

經(jīng)典難題(五)

1.(1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC60°,可得4PBE為等邊三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在--條直線上,

即如下圖：可得最小1=

(2)過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D,F。

由于ZAPD>ZATP=ZADP,

①

推出AD>AP②

又BP+DP>BP③

和PF+FC>PC④

又DF=AF

由①②③④可得：最大L〈2；

由