解數(shù)學(xué)問(wèn)題美的原則第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—對(duì)稱(chēng)性原則對(duì)稱(chēng)性給人一種圓滿(mǎn)而勻稱(chēng)的美感與享受。數(shù)學(xué)中對(duì)立統(tǒng)一的概念、運(yùn)算、命題、圖形等在結(jié)構(gòu)與形式的很多方面體現(xiàn)對(duì)稱(chēng)美。數(shù)學(xué)解題可以從對(duì)稱(chēng)美的角度出發(fā)，或分析式子的對(duì)稱(chēng)、或變換調(diào)整對(duì)稱(chēng)元素關(guān)系、或補(bǔ)形構(gòu)造對(duì)稱(chēng)等等，這常能打開(kāi)我們的解題思路、優(yōu)化解題過(guò)程。雖然數(shù)學(xué)沒(méi)有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離。因?yàn)槊赖闹饕问骄褪侵刃颉蚍Q(chēng)和確定性，這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則?！獊喞锸慷嗟碌诙?yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—對(duì)稱(chēng)性原則例1、設(shè)有一直角QOP，試在OP邊上求一點(diǎn)A，在OQ邊上求一點(diǎn)B，在直角內(nèi)求一點(diǎn)C，使BC+CA等于定長(zhǎng)l，且使四邊形ACBO的面積最大。

分析：從條件看，動(dòng)點(diǎn)太多，難于直接確定點(diǎn)的位置。由命題“周長(zhǎng)一定的凸邊形中，以正邊形的面積為最大”，但需要補(bǔ)形？？？第三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—對(duì)稱(chēng)性原則例1、設(shè)有一直角QOP，試在OP邊上求一點(diǎn)A，在OQ邊上求一點(diǎn)B，在直角內(nèi)求一點(diǎn)C，使BC+CA等于定長(zhǎng)l，且使四邊形ACBO的面積最大。

第四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—對(duì)稱(chēng)性原則例2、若y=x2(0≤x≤1)與x=1，x軸圍成的圖形面積是1/3，那么y=x2與(0≤x≤1)圍成的圖形面積是多少？分析：不規(guī)則圖形的面積，如何求？如何變成規(guī)則的？第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—對(duì)稱(chēng)性原則例2、若y=x2(0≤x≤1)與x=1，x軸圍成的圖形面積是1/3，那么y=x2與(0≤x≤1)圍成的圖形面積是多少？

第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—對(duì)稱(chēng)性原則例3、求y=cosx(0≤x≤2π)與y=1圍成的圖形面積分析：不規(guī)則圖形的面積，如何求？如何變成規(guī)則的？第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日到底是什么使我們感到一個(gè)解答，一個(gè)證明優(yōu)美呢?那就是為了部分之間的和諧、對(duì)稱(chēng)，恰到好處的平衡。一句話(huà)，那就是井然有序，統(tǒng)一協(xié)調(diào)，從而使我們對(duì)整體以及細(xì)節(jié)都能有清楚的認(rèn)識(shí)和理解，這正是產(chǎn)生偉大成果的征兆?！嫾尤R解數(shù)學(xué)問(wèn)題—和諧性原則對(duì)稱(chēng)是和諧美的一種表現(xiàn)之一。除了對(duì)稱(chēng)，和諧美有廣泛含義，包括不同數(shù)學(xué)對(duì)象或同一對(duì)象的部分與整體所存在的內(nèi)在統(tǒng)一規(guī)律。在數(shù)學(xué)解題中，可以從條件與結(jié)論的和諧，數(shù)、式、形的和諧、解題方法與思維策略的和諧等方面來(lái)探尋解題思路。和諧美的原則能夠?qū)蛭覀兘忸}思路的自然流淌，迅速制定解題計(jì)劃與策略。第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—和諧性原則第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—和諧性原則第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—和諧性原則分析：表面上看，不等式兩邊一邊是式，一邊是數(shù)，風(fēng)馬牛不相及。僅考慮左邊，可以將左邊轉(zhuǎn)化為柯西不等式來(lái)證明，但這需要化簡(jiǎn)技巧。從兩邊考慮，應(yīng)該和諧共處，左邊每個(gè)不等式應(yīng)該能夠化簡(jiǎn)到分子分母可以約掉的情況。第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—和諧性原則第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—和諧性原則分析：不等式左邊是n個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)之和，而右邊是一個(gè)超越型的對(duì)數(shù)式，不屬于“同類(lèi)”，對(duì)求實(shí)數(shù)a的范圍阻礙較大，和諧性原則告訴我們，得先化簡(jiǎn)左邊的和式。第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日沒(méi)有一個(gè)極美的東西不是在勻稱(chēng)中有著某種奇特。美在于奇特而令人驚異?！喔鈹?shù)學(xué)問(wèn)題—奇異性原則數(shù)學(xué)中奇異是指數(shù)學(xué)理論延伸、或方法拓廣、或和諧性遭到破壞后，而產(chǎn)生新奇或變異的理論與方法等。追求奇異是創(chuàng)新的導(dǎo)火線(xiàn)。但這種奇異美與前述的和諧美是相互對(duì)立而統(tǒng)一的關(guān)系，必須把它們結(jié)合起來(lái)，以能在新的高度達(dá)到更好的和諧與統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)解題中，追求奇異美則導(dǎo)向方法的奇思妙想、結(jié)論的新穎奇特，使人感到“既在情理之中，又在意料之外”。第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—奇異性原則據(jù)考證，勾股定理的發(fā)現(xiàn)超過(guò)4000年，它是改變?nèi)祟?lèi)50大科學(xué)定理之一，是世界上證明方法最多的定理，超過(guò)500多種?！盁o(wú)字證明或圖說(shuō)”(proofwithoutwords)的一種是最值得推崇的。例7、勾股定理的證明方法與推廣。第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—奇異性原則例7、勾股定理的證明方法與推廣。stsin(α+β)=(scosα)(tsinβ)+(ssinα)(tcosβ)第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—奇異性原則例8、分析：兩個(gè)等式中既含有代數(shù)式x3和4y3，又含有超越式sinx和sinxsiny，不和諧，需要通過(guò)參數(shù)ａ聯(lián)系!第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日在數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)以簡(jiǎn)單、自然為上?！獑螇柦鈹?shù)學(xué)問(wèn)題—簡(jiǎn)單性原則簡(jiǎn)單性既是數(shù)學(xué)美的直觀(guān)顯現(xiàn)，又深刻反映數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。簡(jiǎn)單美不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)果的簡(jiǎn)單，譬如數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)單，而且也包括了獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的過(guò)程的簡(jiǎn)單，譬如思維過(guò)程，應(yīng)該從簡(jiǎn)單開(kāi)始。追求簡(jiǎn)單、明快是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要因素之一。第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—奇異性原則例9、求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1，b>1都有不等式分析：從不等式左邊看，具有某種對(duì)偶，不妨構(gòu)造對(duì)偶式。，

第十九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—奇異性原則例9、求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1，b>1都有不等式，

第二十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—簡(jiǎn)單性原則，

第二十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解數(shù)學(xué)問(wèn)題—簡(jiǎn)單性原則，

第二十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日你想學(xué)會(huì)游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題。——波利亞尋找題解不能教會(huì),而只能靠自己學(xué)會(huì)?！ダ锏侣c大家共勉你想學(xué)會(huì)游