線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1行列式（一）行列式概念和性質(zhì)1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和3、行列式性質(zhì)：（用于化簡(jiǎn)行列式）（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變（2）兩行（列）互換，行列式變號(hào)（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。（6）兩行成比例，行列式的值為0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積5、副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線元素的乘積乘6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則7、n階（n≥2）范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法證明★8、對(duì)角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）展開9、按行展開定理：（1）任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，則（7）若A與B相似，則|A|=|B|（五）克萊姆法則11、克萊姆法則：（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解（2）如果非齊次線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同解，則它的系數(shù)行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。2矩陣（一）矩陣的運(yùn)算1、矩陣乘法注意事項(xiàng)：（1）矩陣乘法要求前列后行一致；（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時(shí)，可以用交換律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（5條）（1）（A+B）T=AT+BT（2）（kA）T=kAT（3）（AB）T=BTAT（4）|A|T=|A|（5）（AT）T=A（二）矩陣的逆3、逆的定義：AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1注：A可逆的充要條件是|A|≠04、逆的性質(zhì)：（5條）（1）（kA）-1=1/k·A-1(k≠0)（2）（AB）-1=B-1·A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（AT）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解（2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）（三）矩陣的初等變換6、初等行（列）變換定義：（1）兩行（列）互換；（2）一行（列）乘非零常數(shù)c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j(luò)）★（四）矩陣的秩9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O（2）r（An×n）=n（滿秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。10、秩的性質(zhì)：（7條）（1）A為m×n階矩陣，則r（A）≤min（m,n）（2）r（A±B）≤r（A）±（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一個(gè)可逆矩陣）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×s矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2）A為數(shù)字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣12、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）（1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1（2）（kA）*=kn-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A|n-2·A★（8）r（A*）=n（r（A）=n）；r（A*）=1（r（A）=n-1）；r（A*）=0（r（A）＜n-1）（六）分塊矩陣13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。14、分塊矩陣求逆：3向量（一）向量的概念及運(yùn)算1、向量的內(nèi)積：（α，β）=αTβ=βTα2、長(zhǎng)度定義：||α||=3、正交定義：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1（二）線性組合和線性表示5、線性表示的充要條件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解?！?2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗(yàn)）6、線性表示的充分條件：（了解即可）若α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，α1，α2，…，αs，β線性相關(guān)，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。7、線性表示的求法：（大題第二步）設(shè)α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，β可由其線性表示。（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡(jiǎn)形|系數(shù)）行最簡(jiǎn)形：每行第一個(gè)非0的數(shù)為1，其余元素均為0（三）線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)8、線性相關(guān)注意事項(xiàng)：（1）α線性相關(guān)←→α=0（2）α1，α2線性相關(guān)←→α1，α2成比例9、線性相關(guān)的充要條件：向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)（1）←→有個(gè)向量可由其余向量線性表示；（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于個(gè)數(shù)特別地，n個(gè)n維列向量α1，α2，…，αn線性相關(guān)（1）←→r（α1，α2，…，αn）＜n（2）←→|α1，α2，…，αn|=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆10、線性相關(guān)的充分條件：（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)（2）部分相關(guān)，則整體相關(guān)（3）高維相關(guān)，則低維相關(guān)（4）以少表多，多必相關(guān)★推論：n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)11、線性無(wú)關(guān)的充要條件向量組α1，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)（1）←→任意向量均不能由其余向量線性表示；（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s特別地，n個(gè)n維向量α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)←→r（α1，α2，…，αn）=n←→|α1，α2，…，αn|≠0←→矩陣可逆12、線性無(wú)關(guān)的充分條件：（1）整體無(wú)關(guān)，部分無(wú)關(guān)（2）低維無(wú)關(guān)，高維無(wú)關(guān)（3）正交的非零向量組線性無(wú)關(guān)（4）不同特征值的特征向量無(wú)關(guān)13、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)判定（1）定義法★（2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無(wú)關(guān)【專業(yè)知識(shí)補(bǔ)充】（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數(shù)），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。（2）若n維列向量α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，β1，β2，β3可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無(wú)關(guān)?！鷕（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩14、極大線性無(wú)關(guān)組不唯一15、向量組的秩:極大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩對(duì)比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)★注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★16、極大線性無(wú)關(guān)組的求法（1）α1，α2，…，αs為抽象的：定義法（2）α1，α2，…，αs為數(shù)字的：（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組（五）向量空間17、基（就是極大線性無(wú)關(guān)組）變換公式：若α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n其中，C是從基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過(guò)渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）18、坐標(biāo)變換公式：向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn的坐標(biāo)分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的過(guò)渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化設(shè)α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)（1）正交化令β1=α1（2）單位化4線性方程組（一）方程組的表達(dá)形與解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩陣形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）2、解的定義：若η=（c1，c2，…，cn）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個(gè)解（向量）（二）解的判定與性質(zhì)3、齊次方程組：（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù)）（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齊次方程組：（1）無(wú)解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）無(wú)窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性質(zhì)：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解【推廣】（1）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為Ax=b的解（當(dāng)Σki=1）Ax=0的解（當(dāng)Σki=0）（2）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1為Ax=0的s-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。變式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1（三）基礎(chǔ)解系6、基礎(chǔ)解系定義：（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs線性相關(guān)（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示→基礎(chǔ)解系即所有解的極大無(wú)關(guān)組注：基礎(chǔ)解系不唯一。任意n-r（A）個(gè)線性無(wú)關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系?！?、重要結(jié)論：（證明也很重要）設(shè)A施m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O（1）B的列向量均為方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r（A）個(gè)線性無(wú)關(guān)的解（2）A為數(shù)字的：A→初等行變換→階梯型自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系（四）解的結(jié)構(gòu)（通解）9、齊次線性方程組的通解（所有解）設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數(shù)）10、非齊次線性方程組的通解設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，η為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數(shù)）（五）公共解與同解11、公共解定義：如果α既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱α為其公共解12、非零公共解的充要條件：方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要結(jié)論（需要掌握證明）（1）設(shè)A是m×n階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A）（2）設(shè)A是m×n階矩陣，r（A）=n，B是n×s階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）5特征值與特征向量（一）矩陣的特征值與特征向量1、特征值、特征向量的定義：設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。2、特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：|λE-A|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式（λ的n次多項(xiàng)式）。|λE-A|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。注:特征方程可以寫為|A-λE|=03、重要結(jié)論：（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。（3）上（下）三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素?！?、總結(jié)：特征值與特征向量的求法（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊（2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必須有n個(gè)根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實(shí)數(shù)，不能省略)（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無(wú)關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系（共n-r（λiE-A）個(gè)解）6、性質(zhì)：（1）不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)（2）k重特征值最多k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1≤n-r（λiE-A）≤ki（3）設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii（4）當(dāng)r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）設(shè)α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則Af（A）ATA-1A*P-1AP（相似）λf（λ）λλ-1|A|λ-1λαα/ααP-1α（二）相似矩陣7、相似矩陣的定義：設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B8、相似矩陣的性質(zhì)（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、跡（即主對(duì)角線元素之和）【推廣】（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似（三）矩陣的相似對(duì)角化9、相似對(duì)角化定義：如果A與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=，稱A可相似對(duì)角化。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量10、相似對(duì)角化的充要條件（1）A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（2）A的k重特征值有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量11、相似對(duì)角化的充分條件：（1）A有n個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)）（2）A為實(shí)對(duì)稱矩陣12、重要結(jié)論：（1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特征值的個(gè)數(shù)，n-r（A）為零特征值的個(gè)數(shù)（2）若A不可相似對(duì)角化，r（A）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)（四）實(shí)對(duì)稱矩陣13、性質(zhì)（1）特征值全為實(shí)數(shù)（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ（4）A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ6二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1、二次型：（1）一般形式（2）矩陣形式（常用）2、標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（1）配方法：通過(guò)可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)先配方再換元得到?！铮?）正交變換法：通過(guò)正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n個(gè)特征值，Q為A的