第一章基本概念

1、試對下列隨機試驗各寫出一個樣本空間：

(1)擲一顆骰子；

(2)一個口袋中有5個外形相同的球，編號分別為1、2、3、4、5,從中同時取出3個球;

(3)10只產(chǎn)品中有3只是次品，每次從中任取一只(取出后不放回)，直到將3只次品全

部取出，記錄抽取的次數(shù)；

(4)對某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如果查

出2件次品就停止檢查，或者查滿4件也就停止檢查，記錄檢查結(jié)果。

解：⑴。={1,2,3,4,5,6}

(2)。={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5))

5個球中選3各球進行組合，有仁=10種。

(3)。={3,4,5,6,7,8,9,10}

最少抽取的次數(shù)是每次取出的都是次品；最多抽取的次數(shù)是把10只產(chǎn)品全部取

出，總能抽出3個是次品。

(4)用數(shù)字1代表正品，數(shù)字0代表次品；樣本空間包括查出2件是次品和查滿4件

產(chǎn)品這兩種情況。

Q={(0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,1),(0,1,1,1))

2、工廠對一批產(chǎn)品作出廠前的最后檢查，用抽樣檢查方法，約定，從這批產(chǎn)品中任意取出

4件產(chǎn)品來做檢查，若4件產(chǎn)品全合格就允許這批產(chǎn)品正常出廠；若有1件次品就再作進

一步檢查；若有2件次品則將這批產(chǎn)品降級后出廠；若有2件以上次品就不允許出廠。試

寫出這一試驗的樣本空間，并將“正常出廠”、“再作檢查”、“降級出廠”、“不予出廠”這

4個事件用樣本空間的子集表示。

解：用數(shù)字1代表正品，數(shù)字。代表次品

設(shè)="正常出廠”；=“再作檢查”；=“降級出廠”；D=“不予出廠”

A={(1,1,1,1))

B={(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(14,1,0)}

C={(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,0,0)}

D={(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0))

Q=AuBuCuO

={(1,1,1,1),(0,1,1,1),(1,0,1,D,(1,1,0,1),(1,1,1,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1),

(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0)}

3、設(shè)A、B、C是三個事件，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：

(1)A與B都發(fā)生，但C不發(fā)生；

(2)A發(fā)生，但B與C可能發(fā)生也可能不發(fā)生；

(3)這三個事件都發(fā)生；

(4)這三個事件都不發(fā)生；

(5)這三個事件中至少有一個發(fā)生；

(6)這三個事件中最多有一個發(fā)生；

(7)這三個事件中至少有兩個發(fā)生；

(8)這三個事件中最多有兩個發(fā)生；

(9)這三個事件中恰有--個發(fā)生；

(10)這三個事件中恰有兩個發(fā)生。

解：(1)ABC

(2)4

(3)ABC

(4)ABC

(5)AuBuC

(6)ABCuABCuABCuABC

(7)ABuAC<JBC

(8)ABC

(9)ABC\JABC<JABC

(10)ABCuABCuABC

4、設(shè)A={1,2,345,6},A={1,2,3},B={2,3,4},C={4,5,6},試用C的子集表示出下列事件;

(2)1UB;(3)B-A;(4)ABC;(5)A(BuC).

解：(1)不6={4}(2)A口8={2,3,4,5,6}(3)6—4={1,2,3,5,6}

(4)ABC={4,5,6}(5)A(5uC)={l,4,5,6}

5、對三個任意給定的事件A、B、C：

(1)試化簡(Au8)(5uC)(2)試將AuBuC表成互斥事件之和

(3)化簡(4+8)(A+豆)(彳+8)(彳+豆)(4)ItfslAB+AB+AB+AB-AB

解(1)(AuB)(5oC)=[oC)]u[B(BuC)]=[ABu/1CJu[BuBC]

=ABvjACuB=B<JAC

(2)A^BuC=(A-AB)+(B-BC)+(C-AC)+ABC

(3)(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)^(A+AB+BA+BB)(A+AB+BA+BB)

=(A+BB)(A+BB)=AA=<^

(4)AB+AB+AB+AB-AB^(A+A)B+(A+A)B-AB

=B+B-AB=CiAB=AB

6、指出下列各題是否正確(提示，可借助文氏圖)

(1)A^B=AB^JB(2)NB=ADB

(3)AuBC=ABC(4)A6(A8)=①

(5)若AuB,則4=48(6)若A5=0),CuA,則BC=0)

(7)若AuB,則BuA(8)若8uA,貝=B

(9)若A+C=8+C,貝ljA=8(10)^A-C=B-C,貝U4=8

解：(1)ABuB=(AuB)n(BuB)=AuB正確

(2)AB=B-A^AuB錯誤

(3)AuBC=(AuB)n(AuC)=ABr^AC^ABC錯誤

(4)A8(A^)=AB萬=Ac(D=①正確

(5)若AuB,AB=A正確

(6)若A8=a),Cu45lj8CuAB=<D,..BC=<D正確

(7)AczB,BuA正確

(8)若BuA,則=錯誤

(9)若A+C=B+C,A可以不等于8。當(dāng)AuC,BuC時，A#5等式也成立。錯誤

(10)若A-C=B-C,A可以不等于B。當(dāng)仁uA,DuB時，4wB等式也成立錯誤

7、對投擲一對均勻骰子的試驗，可給出兩個樣本空間Q和Q如下：Q是由第一顆骰子與

第二顆骰子出現(xiàn)點數(shù)的對子組成，有

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

o=<

(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

.(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

而居由兩顆骰子出現(xiàn)點數(shù)之和組成，有0=｛2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12｝。在求出現(xiàn)“點數(shù)之和

等于7”的概率時，依。計算的依計算得p=_L,試分別解釋得此結(jié)果的依

36611

據(jù)，哪一個結(jié)果正確？怎樣理解這一正確結(jié)果？

解：這兩個結(jié)果都是依古典概率公式算得，因為骰子是均勻的，故每次投擲出現(xiàn)哪一個點

數(shù)均應(yīng)是等可能的，所以有理由認(rèn)為對樣本空間Q,其樣本點是具等可能性的，據(jù)此用古

典概率公式算出的結(jié)果。=色是正確的，因為。中有6個樣本點使點數(shù)之和等于7,而Q中

36

共有36個樣本點。這個概率的意義是說明在作大量次數(shù)投擲一對均勻骰子的試驗時，約有

:那么多次會碰上點之和為7的結(jié)果。依Q計算得p=(,同樣也用了古典概率公式，Q,

中共有11個樣本點，而點數(shù)之和等于7只是1個樣本點，所以得p=\,但是，對招而

言，其樣本點的等可能性明顯是不成立的。

8、假設(shè)發(fā)現(xiàn)了一顆不均勻的骰子，由于它，使得在進行擲一對骰子的試驗時一，在上題的樣

本空間Q中出現(xiàn)偶數(shù)和(如(1,1)、(1,3)……)的次數(shù)比奇數(shù)和(如(2.1)、(2,3)……)

的次數(shù)多一倍，求下列事件的概率：

(1)點數(shù)和小于6；(2)點數(shù)和等于8；(3)點數(shù)和是偶數(shù)

解：(1)在本題中，由于樣本空間。中出現(xiàn)偶數(shù)和的次數(shù)比奇數(shù)和的次數(shù)多一倍，因此樣

本空間O中共有36+18=54個樣本點；而點數(shù)和小于6這一事件分為點數(shù)和出現(xiàn)偶數(shù)并小

于6和點數(shù)和出現(xiàn)奇數(shù)并小于6這兩個事件，點數(shù)和出現(xiàn)偶數(shù)并小于6的事件包含

｛(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)｝共8個樣本點，而點數(shù)和出現(xiàn)奇數(shù)并小于6的事件

包括｛(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(4,1)｝共6個樣本點,因此點數(shù)和小于這一事件包括8+6=

14個樣本點，所以得到

54

(2)樣本空間中的樣本數(shù)同(1),包括54個樣本點；而點數(shù)和等于8這一事件包括

14

｛(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)｝共10個樣本點,所以得到p=—0

54

(3)樣本空間中的樣本數(shù)同(1),包括54個樣本點；而點數(shù)和是偶數(shù)這一-事件包括18

X2=36個樣本點，所以得到°=電。

54

9、某人忘記了一個電話號碼的最后一位數(shù)字，因此只能試著隨意地?fù)苓@位數(shù)，試求他撥號

不超過三次就能接通電話的概率是多少？若記得最后一位是奇數(shù)，則此概率又是多少？

解：隨意撥電話號碼的最后一個數(shù)字，其樣本空間。共有10個樣本點，而他撥號不超過三

次這一事件包括3個樣本點，所以「=3二0.3；若記得最后一位是奇數(shù)，則樣本空間。?共

101

有5個樣本點，同樣他撥號不超過三次這一事件還是包括3個樣本點，所以0=；=0.6。

10、房間中有4人，試問沒有2個人的生日在同一個月份的概率是多少？

解：樣本空間。共有124個樣本點，而沒有2個人的生日在同一月份這一事件包括個A二樣

44

本點，因此P=常

11、從1、3、5、7、9這五個數(shù)字中等可能地，有放回地接連抽取三個數(shù)字，試求下列事

件的概率：

A=｛三個數(shù)字全不相同｝,B=｛三個數(shù)字中不含1及5｝,。=｛三個數(shù)字中5出現(xiàn)了兩次｝

解：樣本空間。共有53個樣本點：事件A中包含個樣本點，因此〃尸孝■=0.48,事件B

33

中包含33個樣本點，因此「2=下=0.216；事件C中包含C；C：=12個個樣本點，因此

12、將十本不同的書放置到一級空書架上去，求其中指定的某三本書恰好放在一起的概率。

解：樣本空間。共有A：；=10!個樣本點，而其中指定的某三本數(shù)恰好放在一起這一事件包括

用履=3!.8!個樣本點，因此夕=卑。

Ao

13、將3個球放置到4個盒子中去，求下列事件的概率：

（1）A是沒有一個盒子里有2個球；（2）B是3個球全在一個盒子內(nèi)。

解：將球與盒子均作編號后處理，即球與盒子都是可辨別的，則樣本空間Q共有43個樣本

八占、、??

（1）事件A中包含禺個樣本點，因此化=親

(2)事件B中包含C：=4個樣本點，因此p2=與

4

14、教室內(nèi)10個人分別佩戴著編號從1號到10號的?；?，現(xiàn)從中任選3人并記錄其?；?/p>

的號碼，試求下列事件的概率：

(1)最小號碼是5；(2)最大號碼是5。

解：教室內(nèi)10個人分別佩戴著編號從1號到10號的?；眨慈伺c?；斩际强杀鎰e的，則

樣本空間O共有個樣本點：

(1)最小號碼是5這一事件包含第個樣本點，因為除了最小號碼是5外，其余2個號碼

是從｛6,7,8,9,10｝中抽取，故為因此P1%

(2)最大號碼是5這一事件包含個樣本點，因為除了最大號碼是5夕卜，其余2個號碼

是從｛123,4｝中抽取，故為C：,因此〃2=與。

15、盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，現(xiàn)從中有放回地抽取二次(每次取出一

只)，求下列事件的概率：

(1)A是兩次抽到的都是次品；

(2)B是一次抽到正品，另一次抽到次品。

解：燈泡是有放回抽取的，因此樣本空間。共有62個樣本點：

221

(1)事件A中包含22個樣本點，因此p1=a='

(2)事件B中包含個樣本點，因此p2d=3。

16、將上題改為無放回抽取兩次后(相當(dāng)于一次抽取2個)，再計算這些事件的概率。

解：燈泡是有放回抽取的，因此樣本空間Q共有個樣本點：

(1)事件A中包含C；=l個樣本點，因此P1=」y=-!~；

15

(2)事件B中包含C：C；=8個樣本點，因此02=*=三。

17、一公司批發(fā)出售服裝，每批100套。公司估計某顧客商欲購的那批100套服裝中有4

套是次品，12套是等級品，其余是優(yōu)質(zhì)品，客商在進貨時要從中接連抽出2套作樣品檢查,

如果在樣品中發(fā)現(xiàn)有次品，或者2套都是等級品，客商就要退貨。試求下列事件的概率：

（1）樣品中1套是優(yōu)質(zhì)品，1套是次品；（2）樣品中1套是等級品，1套是次品；

（3）退貨；（4）該批貨被接受；（5）樣品中有1套優(yōu)質(zhì)品。

解：從100套服裝中抽2取套，因此樣本空間。共有^=4950個樣本點：

（1）樣本中1套是優(yōu)質(zhì)品，1套是次品這一事件包含C：C；4=336個樣本點，因此

；_336_56

0-4950825'

（2）樣本中1套是等級品，1套是次品這一事件包含C：C：2=48個樣本點，因此

單=￡=￡；

24950825

（3）退貨，即包括樣本中套是等級品，或者有次品這?事件包含

0+CC+C：C；2+C：=456，因此P3=篇=惡；

1_749

（4）該批貨被接受，是退貨的對立事件，因此〃4=13=37^；

oZD

（5）樣本中1套是優(yōu)質(zhì)品這一事件包含仁仁+。；2瑪4=1344個樣本點，因此

，24+4。_1344_224

PsG,49508251

18、在橋牌比賽中，將52張牌任意地分給東、南、西、北四家，求在北家的13張牌中

（1）恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花的概率；

（2）恰有大牌A、K、Q、J各1張，而其余皆為小牌的概率。

解：北家的13張牌是從52張牌中任意抽取，因此樣本空間Q中包含0；；個樣本點：

（1）恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花這一事件包括個樣本點，

因此；Pl="不"

C52

（2）恰有大牌A、K、Q、J各1張，而其余皆為小牌這一事件包括C：C：C：C：C；6個樣本點，

「1「1「I「I09

因此「2=＞七｝4。

52

19、甲、乙兩人相約9點到10點間在某地點會面，約定先到者等候20分鐘，過時就可離

去。試求兩人能會面的概率。

解：以、分別表示甲、乙二人到達的時刻，于是OWXWLOMYWl,即點M落在下圖中的陰

影部分。所有的點構(gòu)成一個正方形，即有無窮多個結(jié)果。由于每人在任一時刻到達都是等

可能的，所以落在正方形內(nèi)各點都是等可能的。而兩人會面的條件是：|x—因此利

l—2xgx(|)2

—陰影部分的面積5

用幾何概型計算幾何概率為:

P一"正方形的面積I29

20、在觀察投擲一對均勻骰子100次之后，一個觀察者估計第101次投擲出現(xiàn)點數(shù)和是偶

數(shù)的概率為0.85。請評說對這一概率應(yīng)給以相對頻率解釋（即統(tǒng)計概率）還是主觀概率解

釋？試說明理由。

解：觀察者通過投擲骰子100次，從而估計第101次投擲出現(xiàn)點數(shù)和是偶數(shù)的概率為0.85,

這是對只發(fā)生一次的過程自信程度，只能作為主觀概率解釋，不是統(tǒng)計概率。

21、某地區(qū)的最新生存率統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，每10萬人中有6萬人活到了70歲以上，故而長

期在該地區(qū)生活的A先生能活到70歲以上的概率是［=0.6,對這一概率應(yīng)怎樣理解？試

說明理由。

解：這一概率只是反映了對A先生能活到70歲以上的自信程度，這一主觀概率值是依據(jù)相

對頻率數(shù)據(jù)（生存率統(tǒng)計）作出的。

第二章基本定理

1、試用概率的可加性證明，若事件B蘊含A,即BuA,則必成立P(A-B)=P(A)-P(B)；

而對任意的兩事件A,B,必成立P(A-B)=P(A-AB)=P(A)—尸(AB)。

解：8uA,貝ijA=8U(A-B),而B與A-B互不相容，因此由概率的可加性，有：

P(A)=P[BU(A-B)]=p(B)+P(A-B),從而有P(4-5)=P(A)-P(B)——(*)。

若8aA,則P(A-B)=PCA-AB),顯然ABaA,利用(*)式，有

P(A—B)=PCA-AB)=P(A)-尸(AB)

2、已知，P(A)=0.5,尸仍)=0.4,尸(AB)=0.1,試求

(1)P(AoB)；(2)P(AIB)；(3)P⑻A)；(4)P(AIB)

解(1)P(Au8)=尸(A)+P(B)-P(A8)=0.8；

/c、c/,P(AB)0.1“u

(2)P(AIB)=------=一=0.25；

P(8)0.4

(3)-⑶A)="A%里=0.2；

')P(A)0.5

(4)p(A辦絲雪如出=曳3竺2=2；

''P⑻1-P(8)l-F(B)3

3、已知A、B是獨立事件，P(A)=0.3,尸(5)=0.6,試求

(1)P(A⑻;(2)P(ADB)；(3)P(BIA)；(4)P(AIB)

解(1)P(AIB)=P(A)=0.3；

(2)P(Au8)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(6)—P(A)?P(B)=0.7；

(3)而IA)=l—P(B)=0.4；

(4)P(AIB)=l-P(A)=0.7

4、設(shè)尸(A)>0,P⑻>0,試將下列4個數(shù)：P(4),P(AB),P(A)+P(8),P(AuB)按由小

到大的順序用不等號聯(lián)結(jié)起來，并分別對每個不等號指明何時成為等號。

解：P(AUB)=P(A)+P(8)-尸(A3)

：.P(A)+P(B)>P(AUB),當(dāng)P(AB)=0時“=”成立

vAcAUB.,.P(A)<P(AUB)，當(dāng)8uA時“=”成立

vABczA：.P(AB)<P(A)<P(AUB)WP(A)+P(B),第一個等號在Au8時成立。

5、已知獨立事件A、B均不發(fā)生的概率為9，“A發(fā)生B不發(fā)生”及“A不發(fā)生B發(fā)生”

的概率相等。求P(A)。

解：根據(jù)題意可得：P(A同=P(M),根據(jù)事件A、B是獨立的可知，事件A與否以及事件

彳與B都是獨立的，從而有：P(4)P(8)=P(彳)P(8),再由對立事件的概率公式及一些簡

單計算可得P(A)=P(8),又由題意可得「(彳百)=■,結(jié)合獨立性以及P(A)=P(8)可推出

P(A)=|?

6、已知A、B、C三事件兩兩獨立，ABC=(D

(1)若尸(A)=尸(8)=P(C)<一及尸(4+5+。)=一，求P(A)；

216

(2)若尸(A)=P(8)=P(C)>0,試證P(A)<(。

解：(1)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

,9

=3P(A)-3P(A)12=—

13

所以：P(A)=上或者P(A)=±(舍去)

44

(2)證明:P(2U3)=P(A)+U(B)-P(AB)=2P(A)-P(A)2

由于AUBUAUBUC，于是2P(A)—P(A)243P(A)—3P(A)2,從而尸(A)4；

注解：有反例可以說明，題中要求證明P(A)<，是不正確的，等號是可以成立的。

2

7、設(shè)已知事件A、B、C相互獨立，試證：AuB,AB,A-8與C獨立。

解(1)P[(AUB)C]=P(ACU3C)=尸(AC)+P(BC)—P(ABC)

=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)

=P(C)[P(A)+P(B)-P(A)P(5)]

=P(C)[P(A)+P(B)-P(AB)]=P(C)P(AUB)

(2)P[(AB)C]=P(ABC)=P(4)-P(B>P(C)=P(4B)-P(C)

(3)P[(A—B)C]=P[ABC]=P(A)?尸(B)P(C)=P(A萬)?尸(C)=P(A-B)-P(C)

8、設(shè)射手在相距100米處對目標(biāo)進行射擊，擊中的概率是0.6；若第一次未擊中，則進行

第二次射擊，但目標(biāo)將被移遠使距離拉成了150米；若第二次仍未擊中，則進行第三次射

擊，此時已是相距200米了。設(shè)射手擊中目標(biāo)的概率與距離成反比，求射手擊中目標(biāo)的概

率。

解：設(shè)A="相距100米射擊擊中”；B="相距150米射擊擊中”；C="相距200米射擊擊

中；D="擊中目標(biāo)”；

-inn——100

P(A)=0.6；P(B/A)=—x0.6=0.4；P(C/AB)=——x0.6=0.3；

150200

P(￡>)=P(AUBUC)=P(A)+P(BA)+P(CAB)=0.6+0.4x0.4+0.4x0.6x0.3=0.832

9、投擲兩個均勻的骰子，試求：

(1)若已知點數(shù)和是偶數(shù)時一，點數(shù)和等于8的概率；

(2)若已知點數(shù)和是奇數(shù)時，點數(shù)和大于6的概率；

(3)若已知點數(shù)和大于6時，點數(shù)和是奇數(shù)的概率；

解(1)設(shè)4="點數(shù)和是偶數(shù)”，5產(chǎn)“點數(shù)和等于點

P(始4)=，(4g)=P(與)=工。(參照第一章第7題)

11p(A)P(A)18

(2)設(shè)&="點數(shù)和是奇數(shù)”，層="點數(shù)和大于6”

P(44)_12

P(當(dāng)IA2"

P(A2)-18

P(Ag)1212

(3)P(AIB)=22

22P@)1+2+3+…+621

10、三個人獨立地同時破譯一密碼，若各人能譯出的概率分布是工，求次密碼能

534

被他們破譯出的概率。

解：設(shè)人="甲譯出密碼"；8=乙譯出密碼"；C=丙譯出密碼”

P(A)=LP(B)=-,P(C)=-

534

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+PCO-P(AB)-P(AC)—尸(BC)+P(ABC)

111111111111471213

=—H1-------------X-----------X-----------X—+—X—X—=-------------------1=一

5345354343456060605

_______2343

或者尸(/HjBUC)=l-P(ABC)=l-P(^)P(B)P(C)=l--x-x-=-o

11、盒中裝有編號自1到10的十張卡片，現(xiàn)從中任意抽看兩張的編號，第一次看一張，看

后放回，混合后再抽看一張。若記第一張卡片的編號為第二張卡片的編號為《、，現(xiàn)

令4=值=4},B=g+=7},試求尸⑶A）及尸（A⑻。

依pz..sp(AB)11

解：Pn(8DIA)=------=「一=——

P(4)Co10

八/P（A5）1

P（AIB）=------=-

P（B）6

12、袋中裝有10個白球和20個黃球，今從中取出5個球（不放回），接著再取出10個球。

求第一次取出全是黃球目第二次取出黃、白球各半的概率。

解：設(shè)八="第一次取出的全是黃球"；B="第二次取出的黃、白球各半”；

P(AB)=P(A)-P(BlA)=

13、袋中裝有a只白球，b只黃球，現(xiàn)從袋中任意取出1個球，觀察顏色后再旋即放回袋中，

并另加入c只與之同色的球。如此觀察了三次，試求前兩次取得黃球第三次取得白球的概

率。

解：4="第一次取黃球”；A2：“第二次取黃球”;A,：“第三次取白球”;

b+ca

p(AA，4)=P(A),P(A,IA)p(4144)=----

a-\-ha+b+c〃+/?+2c

14、對一批空調(diào)設(shè)備70臺要作驗收檢查，規(guī)定檢查時對任意抽出的2臺設(shè)備作樣本進行檢

查，先抽1臺，不放回地再抽第二臺，樣本中只要有1臺式次品就退貨，否則就通過。生

產(chǎn)廠知道這批產(chǎn)品中有3臺是次品，試求下列事件的概率：

（1）這批貨獲得通過；（2）樣本中恰有1臺次品；（3）這批空調(diào)設(shè)備被退貨。

解：4=”第一次抽到次品"；&="第二次抽到次品”；D=“被退貨”。

67661474

(1)(A4)=p(%)P(刃4)

70691610

(2)（辦1144）=「（私）+尸（A]A2）=P（4）P（&l4）+P（A）P（4四）

=-67--3-P-3--6-7--1-3-4

706970691610

---1474136

(3)P(D)=l-P(44)=1-Y匕=上2

-16101610

15、B公司在坊廠和多廠生產(chǎn)電視機顯像管，每周產(chǎn)量共3000個，其中8廠生產(chǎn)1800個

有1%為次品，廠生產(chǎn)1200個有2%是次品。現(xiàn)從每周的產(chǎn)品中任選一個，求下列事件

的概率：

（1）選出的產(chǎn)品是次品；

（2）已知選出產(chǎn)品是次品，它是由區(qū)廠生產(chǎn)的；

(3)已知選出產(chǎn)品是正品，它是由用廠生產(chǎn)的;

解:設(shè)A=”選出的產(chǎn)品是次品”，則/(A田)=1%,P(AIB2)=2%

32

(1)P(A)=P(AI8P-P(B,)+P(NIB?)P(B2)=1%X-+2%X-=1.4%

3

l%x-々

(2)____1=3

1.4%7

I箱_尸(彳⑻尸出)」一尸⑷外叫.297

(3)r\D,I/AJ—=——

尸(A)1-1.4%493

16、用某種方法檢測產(chǎn)品，若產(chǎn)品是次品，經(jīng)檢驗為次品的概率是90%；若產(chǎn)品是正品，

經(jīng)檢驗定為正品的概率為99%?，F(xiàn)從含5%次品的一批產(chǎn)品中任取一件進行進行檢驗，求下

列事件的概率：

(1)經(jīng)檢驗定為次品；

(2)經(jīng)檢驗定位次品而實為正品。

解：A=“次品”，B="某方法檢驗為次品”。

P(8IA)=0.9,F(511)=0.99,P(A)=0.05

(1)P(B)=P(BIA)P(A)+P(B\A)P(A)=0.9x0.05+[1-P(BIA)]P(A)

=0.9x0.05+0.01X0.95=0.045+0.0095=0.0545

⑵P㈤=⑷5)=「^^=1-窗=?！?

17、某大學(xué)一個年級的學(xué)生有5000名，其中男、女士的比例為2:3,已知在男生中有10%

選修會計學(xué)，女生中有6%選修會計學(xué)，現(xiàn)從這5000名學(xué)生中任選一人，求下列事件的概

率：

(1)這位學(xué)生是選修會計學(xué)的女生；

(2)這位學(xué)生是未選修會計學(xué)的男生；

(3)這位學(xué)生是選修會計學(xué)的學(xué)生；

2

解：男生人數(shù)：5000x-=2000,男生選修會計人數(shù)：2000x10%=200

5

女生人數(shù)：5000x-=3000,女生選修會計人數(shù)：3000x6%=180

5000

(2)P(B)=竺”

5000

(3)-9)=200+18。=出

50005000

18、用X射線檢查肺癌的可靠性有些列數(shù)據(jù)，肺癌患者通過檢查被確診的有98%,而未患

肺癌者經(jīng)檢查有99%可正確確診為未患肺癌，誤診率為2%及1%。在某人口密集的工業(yè)區(qū),

估計有3%的人患肺癌，先現(xiàn)從該地區(qū)任選1人檢查，試求：

(1)若此人被診斷成患肺癌，他確患此病的概率；

(2)若此人被診斷成未患肺癌，他實患此病的概率；

(3)解釋以上結(jié)論的意義。

解：A="用X光查肺癌”，B="患有肺癌”，

則/(8)=3%,P(A15)=98%,P(IlB)=99%

(1)P(A)=P(AIB)P(8)+尸(A唐)P(B)=98%x3%+[l-P(AIB)]P(B)

=98%x3%+l%x97%=0.0391

PCA\ByP(B)98%x3%c

P(BIA)=--------------=-----------------=1).7519

P(A)98%x3%+l%x97%

P(AIB)P(g)(1-98%)X3%

(2)P(5IA)==0.0006

P(A)1-0.0391

(3)該結(jié)論說明X射線檢查用于確診肺癌的可靠性一般，并不令人滿意，而用于排除肺

癌的可靠性很好。

19、將兩種信息分別編碼成0或1傳送出去，由于信道存在著干擾可能導(dǎo)致收到的信息與

發(fā)送的不一致。設(shè)0被誤收為1的概率是0。2,1被誤收為0的概率為0.01；整個傳送過

程中，0與1的傳送次數(shù)比為7:3,試求當(dāng)收到信息0時一，原發(fā)信息也是0的概率。

解：設(shè)4=“發(fā)送0”，才=“發(fā)送1”，8=“接收0"，豆=“接收1”。

P(A)=0.7,P(A)=0.3,P(B\A)=Q.O2,P{BIA)=0.01

P(8IA)P(A)______(1-0.02)x0.7686

P(AIB)=

P(BIA)尸(A)+P(BI彳)尸(彳)((1-0.02)x0.7+0.01x0.3-689

20、某公司準(zhǔn)備向市場推出一批廉價的計算機，公司營銷部預(yù)估，暢銷的概率是0.5,銷路

一般的概率是0.3,滯銷的概率是0.2?，F(xiàn)決定先行試銷，以檢驗銷路情況，營銷部估計，

若計算機暢銷，則在試用期內(nèi)賣出200臺以上的概率是0.9,；若銷路一般，則試銷賣出200

臺以上的概率是0.5；若銷路不佳，則試銷賣出200臺以上的概率僅為0.1,倘若試銷結(jié)束

后，實際賣出數(shù)達200臺以上，試求下列事件的概率：

(1)這批計算機暢銷；

(2)這批計算機的銷售一般；

（3）這批計算機的銷路不佳；

（4）這批計算機暢銷貨銷路還可以。

解：4=“暢銷”；4=“一般"；4=“滯銷”;B="賣出200臺以上”。

P(A)=0.5,P(A2)=0.3,尸(A,)=02

P⑻A)=0.9,P⑻&)=S5,P⑻A,)=0.1

P(B)=P[B\A)P(A)+P(BI4)P(A2)+P(BIA3)P(A3)=0.9X0.5+0.5x0.3+0.1x0.2=0.62

(1)P(仆8)=尸⑻4)尸(4)=^^=。726

1P(B)0.62

⑵「(4⑻」⑻&)P(&)=絲但=0242

-P(B)0.62

(3)P(4IB)=1-P(AiIB)-P(A2IB)=0.032

A

（4）P（AU&?B）=P（AIB）+P（2IB）=0.968

21、設(shè)盒中有5個外形一樣而均勻性不同的硬幣，每個硬幣經(jīng)拋擲出現(xiàn)字面的概率分別為

||3

、=

Pi=0，p,=z，pa，p4=-?p,=l，試求下列事件的概率：

（1）任取一個硬幣拋擲出現(xiàn)字面；

（2）任取一個硬幣拋擲后出現(xiàn)字面，這個硬幣是第i個硬幣（i=l,2,3,4,5）；

（3）若將（2）中的這個硬幣再拋擲1次，又出現(xiàn)字面。

解：設(shè)人="字面”，A,="拋擲第i個硬幣出現(xiàn)字面”。

(1)P(A)=尸(A")P(與)+尸(AIB2)P(旦)+…+尸(41生)P(2)

?111.1l113

=0--+-x-+---+lx-=-[r0n+-+-+-+l]=0.5

54555424

P(BJA)=尸(A由)尸出)=.=o

(2)

1P(A)0.5

11

-x-i

P=5=—=0.1

20.510

11

—x—

P(6/A)=軍=0.2

—3X一1

P(B/A)=需=0.3

P(線IA)=,=0.4

(3)C="再次出現(xiàn)字面”

P(C)=P[CI(BIIA)]-P(5,IA)+PfCI(B2IA)]P(B2IA)+---+P[CI(B5\A)]P(B5IA)

]13

=Ox0+-x0.1+-x0.2+-xO.3+1x0.4=0.75

424

22、甲乙丙三人向同一飛機射擊，設(shè)擊中概率分別是0.4,0.5,0.7o若有一人擊中，則飛

機被擊落的概率是0.2；若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率是0.6；若三人全擊中，則飛

機定被擊落，試求飛機被擊落的概率。

解：設(shè)劣="一人擊中”；A2：“兩人擊中”；人3=“三人擊中”；B="飛機被擊落”；

G="甲射擊"；G=“乙射擊"；。3=“丙射擊”。

p(4)=尸(c,c2c3Uc,c2c3U

=P(C1C2C3)+P(C,C2C3)+P(cc2c3)

=p(cpP(c2)p(3)+尸(c.)p(c2)P(3)+P(c.)p(c2)P(c3)

=0.4X0.5X0.3+0.6X0.5x0.3+0.6x0.5x0.7=0.36

P(A2)=P(C,C2C,UC,C2C3UC,C2C3)

=p(c,c2c3)+P(G3G)+P(C,C2C3)

=P(C1)P(C2)P(C3)+P(C,)P(C2)P(C3)+P(C1)P(C2)P(C3)

=0.4x0.5x0.3+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

P(4)=P(ClC2C3)=0.4x0.5x0.7=0.14

P(B)=P(6I4)P(A)+P(8I4)「(4)+P(8?&)「(4)

=0.2x0.36+0.6x0.41+1x0.14=0.458

23、用某種儀器檢驗電子元件，若元件是正品，經(jīng)檢驗定為正品的概率是0.99；若元件是

次品，經(jīng)檢驗被定為正品的概率是0.05,當(dāng)有大批元件送檢時，檢驗員只能從一批元件抽

取樣本來檢驗；無放回地抽取3件，對每1件獨立地進行檢驗，若3件全驗定為正品，這

批元件就可以出廠?，F(xiàn)送來元件100件，已知其中有4件次品，求這批元件能出廠的概率。

解：設(shè)4="第一次抽出的是正品”；42="第二次抽出的是正品"；&="第三次抽出的是

正品”；8產(chǎn)“第一次檢驗出的是正品"；斗=”第二次檢驗出的是正品"；&=“第三次檢

驗出的是正品”;

96

(A)

loo

959696496

P(4)=P(414)P(A)+P(A,IA.)P(4)—__x____1___x___—___

-9910099100-100

p(4)=p(A31AA2)p(AH)+P(&1AA2)p(a4)

+P(41A&)p(&4)+尸(AJA4)P(44)

9496959549695964964396

-9810099981009998100999810099~100

P(B)=P(B,\At)P(A)+P(B}IA.)P(4)=0.99x0.96+0.05x0.04=0.9524

P(B2)=P{B2IA2)P(A2)+P(B2IA2)P(A2)=0.9524

P(83)=0.9524

3

P(B,B,B3)=[0.9524]=0.8639

方法2：設(shè)4="這批原件能出廠”；用=''抽取3件元件中恰有i件次品”,i=0,1,2,3.

廠3廠2z^?1廠2「3

則有：4為)=注,P(4)=早產(chǎn),「(當(dāng))=-^,「(鳥)=昔；

。100。100。100。100

有根據(jù)獨立性，有：

223

P(AI/)=(0.99)3,P(A15,)=(0.99)*0.05,P(AIB2)=(0.05)*0.99,P(AIB3)=(0.05)

利用全概率公式：

3

p(A)=￡p(AIBj)P(BJ=0.8629

/=0

注解：兩種方法有微小誤差是因為在考慮無放回抽取問題時一，對于總量很大而抽取少數(shù)幾

件的情況，可以把每次抽取產(chǎn)品之間近似看成是相互獨立的。

24、有三箱同型號產(chǎn)品，分別裝有合格產(chǎn)品20件、12件、17件；不合格產(chǎn)品5件、4件、

5件，現(xiàn)任意打開一箱，并從箱內(nèi)任取一件進行檢驗。由于檢驗誤差，每件合格品被檢驗

誤定為不合格品的概率為0.04,不合格品被定為合格品的概率亦為0.06。試求下列事件的

概率：

(1)取出的這件產(chǎn)品經(jīng)檢驗為合格品；

(2)被驗為合格品的產(chǎn)品真是合格品。

解：設(shè)人="合格品”；B="檢驗為合格品”；G="抽出第一箱中的產(chǎn)品”；。2="抽出第

二箱中的產(chǎn)品“；C3="抽出第三箱中的產(chǎn)品”。

P(G)=P(C2)=P(G)=；

201217

P(AIG)=n，P(A\C)=-,mic)=—

23210322

p(萬IA)=0-04,P(81彳)=0?06

p

P(A)=P(4IG)(CP+P(AIC2)P(C2)+P(AIC3)P(C3)

2011211717

=—x—dx—Hx—=一

2531632239

P(彳)二

9

——7?

(1)P(B)=P(BIA)P(A)+P(514)P(A)=0?96x-+006x-=0-76

99

7

0,96x—

(2)P(AI6)=,=IA)P(A)=------------^-=0-9824

P(B)0-76

25、甲乙兩只袋,分別裝4份,8份報名表，其中女生的報名表分別有2份，6份，現(xiàn)任取一

袋并從中先后取出2份報名表。

(1)求先取出那份是女生報名表的概率

(2)已知后取出的是男生的表，求先取出那份是女生的表的概率

解：設(shè)事件A=“取甲袋”；B="取得的第一份表是男生的報名表”；C="取得的第二份表

是男生的報名表”。

11—1

根據(jù)題意,則有：P(A)=-,P(BIA)=-,P(B1X)=4

224

(1)利用全概率公式有：

--___11135

P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=-*-+-*-=-

22248

(2)利用貝葉斯公式有:

P(CI8)尸⑻

IC),而

P(C\B)P(B)+P(C\B)P(B)

P(CIB)P(B)=P(A)P(BIA)P(CIAB)+P(A)P(BIA)P(CIAB)

2231247168