小波與小波變換第1頁/共16頁小波分解樹:第2頁/共16頁小波包分解第3頁/共16頁第4頁/共16頁3小波重構(gòu)離散小波變換可以用來分解信號，也可以把分解的系數(shù)還原成原始信號，這個過程叫重構(gòu)或合成。數(shù)學(xué)上叫做逆離散小波變換（IDWT)。小波變換時包含濾波和降采樣兩個過程，而重構(gòu)時要包含濾波和升采樣過程。重構(gòu)方法如圖8-10第5頁/共16頁

在分解和重構(gòu)過程中濾波器的選擇是一個重要的研究問題。在分解階段，降采樣會引起畸變，叫做混疊。這就要求在分解和重構(gòu)階段精心選擇關(guān)系緊密但不一定一致的濾波器才有可能取消這種混疊。通常采用正交鏡像濾波器系統(tǒng)，它是由低通分解濾波器和高通分解濾波器以及重構(gòu)濾波器構(gòu)成。第6頁/共16頁8.1.4小波定義在數(shù)學(xué)上，小波定義為對給定函數(shù)局部化的函數(shù)。小波可由一個定義在有限區(qū)間的函數(shù)來構(gòu)造，稱為母小波或叫做基本小波。一組小波基函數(shù)可由縮放和平移基本小波來生成

函數(shù)f(x)以小波為基的連續(xù)小波變換定義為函數(shù)f(x)與的內(nèi)積，

第7頁/共16頁第二節(jié)哈爾函數(shù)8.2.1哈爾基函數(shù)哈爾函數(shù)是小波系列中最簡單的小波。基函數(shù)是一組線性無關(guān)的函數(shù)，可以用來構(gòu)造任意給定的信號。哈爾基函數(shù)由一組分段常值函數(shù)組成的函數(shù)集。它定義在[0，1）上，每一個分段常值函數(shù)的數(shù)值在一個小的范圍里是“1”，其他地方為“0”。

第8頁/共16頁下面以圖像為例并使用線性代數(shù)中的矢量空間來說明哈爾基函數(shù)。如果一幅圖像僅由1個像素組成，這幅圖像在整個[0，1）上就是一個常值函數(shù)。用表示這個常值函數(shù)，用表示由這個常值函數(shù)生成的矢量空間，這個常值函數(shù)叫做框函數(shù),它是構(gòu)成矢量空間的基.第9頁/共16頁如果一幅圖像由2個像素組成，這幅圖像在[0，1）區(qū)間中有兩個等間隔的子區(qū)間：

[0，1/2）和[1/2，1），每個區(qū)間各有一個常值函數(shù)。第10頁/共16頁可以按照這種方法繼續(xù)定義基函數(shù)和由它生成的矢量空間。第11頁/共16頁

哈爾基尺度函數(shù)定義為公式其中，j為尺度因子，改變j使函數(shù)圖形縮小或放大；i為平移參數(shù)，改變i使函數(shù)沿x軸方向平移?？臻g矢量定義為

第12頁/共16頁8.2.2哈爾小波函數(shù)小波函數(shù)通常用表示。與框函數(shù)對應(yīng)的小波稱為基本哈爾小波函數(shù)定義如下：表達(dá)式

第13頁/共16頁哈爾小波尺度函數(shù)定義為

用小波函數(shù)構(gòu)成的矢量空間用表示表達(dá)式

其中，sp表示線性生成；j為尺度因子，改變j使函數(shù)圖像縮小或放大；i為平移參數(shù)，改變i使函數(shù)沿x軸方向平移。

第